Nearly-poised 4F3の変換公式の3次類似
前の記事
でも見たように,
Saalschützの和公式
から$k$が非負整数のとき,
\begin{align}
\F32{a+k,-\frac k2,\frac{1-k}2}{\frac 12+b,1+a-b}1=\frac{4^k\left(b,\frac 12+a-b\right)_k}{(2b,1+2a-2b)_k}
\end{align}
となる. これを用いることで,
前の記事
で示したWhippleのNearly-poised${}_4F_3$の変換公式と同様の議論でその3次類似と言えるものが得られると思ったので, 今回はそれを導きたいと思う.
冒頭の式の両辺に
\begin{align}
\frac{(a,-n)_k}{k!(w)_k}
\end{align}
を掛けて足し合わせると,
\begin{align}
&\F43{a,b,\frac 12+a-b,-n}{2b,1+2a-2b,w}4\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(a,-n)_k}{k!(w)_k}\sum_{0\leq j}\frac{\left(a+k,-\frac k2,\frac{1-k}2\right)_j}{j!\left(\frac 12+b,1+a-b\right)_j}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(a)_{k+j}(-n)_k}{(k-2j)!(w)_k}\sum_{0\leq j}\frac{1}{j!\left(\frac 12+b,1+a-b\right)_j4^j}\\
&=\sum_{0\leq j}\frac{1}{j!\left(\frac 12+b,1+a-b\right)_j4^j}\sum_{0\leq k}\frac{(a)_{k+j}(-n)_k}{(k-2j)!(w)_k}
\end{align}
ここで, Vandermondeの恒等式より
\begin{align}
&\sum_{0\leq k}\frac{(a)_{k+j}(-n)_k}{(k-2j)!(w)_k}\\
&=\frac{(a)_{3j}(-n)_{2j}}{(w)_{2j}}\sum_{0\leq k}\frac{(a+3j,2j-n)_k}{k!(w+2j)_k}\\
&=\frac{(a)_{3j}(-n)_{2j}}{(w)_{2j}}\frac{(w-a-j)_{n-2j}}{(w+2j)_{n-2j}}\\
&=\frac{(w-a)_n}{(w)_n}\frac{(a)_{3j}(-n)_{2j}(w-a+n)_{-3j}}{(w-a)_{-j}}\\
&=\frac{(w-a)_n}{(w)_n}\frac{(1+a-w)_j(a)_{3j}(-n)_{2j}}{(1-n+a-w)_{3j}}
\end{align}
であるから, これを代入して以下を得る.
$n$が非負整数のとき,
\begin{align}
&\F43{a,b,\frac 12+a-b,-n}{2b,1+2a-2b,w}4\\
&=\frac{(w-a)_n}{(w)_n}\F65{1+a-w,\frac a3,\frac{a+1}3,\frac{a+2}3,-\frac n2,\frac{1-n}2}{\frac12+b,1+a-b,\frac{1-n+a-w}3,\frac{2-n+a-w}3,\frac{3-n+a-w}3}1
\end{align}
が成り立つ.
特に$w=b$とすると以下の系を得る.
$n$が非負整数のとき,
\begin{align}
&\F32{a,\frac 12+a-b,-n}{2b,1+2a-2b}4=\frac{(b-a)_n}{(b)_n}\F54{\frac a3,\frac{a+1}3,\frac{a+2}3,-\frac n2,\frac{1-n}2}{\frac12+b,\frac{1-n+a-b}3,\frac{2-n+a-b}3,\frac{3-n+a-b}3}1
\end{align}
が成り立つ.
前の記事
と全く同様の議論により, 両辺がterminatingのときに
\begin{align}
&\F43{a,b,\frac 12+a-b,d}{2b,1+2a-2b,w}4\\
&=\frac{\Gamma(w)\Gamma(w-a-d)}{\Gamma(w-a)\Gamma(w-d)}\F65{1+a-w,\frac a3,\frac{a+1}3,\frac{a+2}3,\frac d2,\frac{d+1}2}{\frac12+b,1+a-b,\frac{1+a+d-w}3,\frac{2+a+d-w}3,\frac{3+a+d-w}3}1
\end{align}
が成り立つことが分かる. 特に, $a=-n$として以下が得られる.
$n$が非負整数のとき
\begin{align}
&\F43{-n,b,\frac 12-n-b,d}{2b,1-2n-2b,w}4\\
&=\frac{(w-d)_n}{(w)_n}\F65{1-n-w,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3,\frac d2,\frac{d+1}2}{\frac12+b,1-n-b,\frac{1-n+d-w}3,\frac{2-n+d-w}3,\frac{3-n+d-w}3}1
\end{align}
が成り立つ.
定理2で$d=1-2n-2b$とすると, 以下の系を得る.
$n$が非負整数のとき
\begin{align}
\F32{-n,b,\frac 12-n-b}{2b,w}4&=\frac{(w+2b-1)_{3n}}{(w)_n(w+2b-1)_{2n}}\F54{1-n-w,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3,\frac 12-n-b}{\frac12+b,\frac{2-2b-w}3-n,\frac{3-2b-w}3-n,\frac{4-2b-w}3-n}1
\end{align}
が成り立つ.
さらに, $w=b+\frac 12$とすると以下を得る.
$n$が非負整数のとき
\begin{align}
\F32{-n,b,\frac 12-n-b}{2b,b+\frac 12}4&=\frac{\left(3b-\frac 12\right)_{3n}}{\left(b+\frac 12\right)_n\left(3b-\frac 12\right)_{2n}}\F43{-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3,\frac 12-n-b}{\frac12+b,\frac{5}6-n-b,\frac 76-n-b}1
\end{align}
が成り立つ.
