Well-poised 2-balanced 6F5の変換公式

前の記事 でBaileyによるterminating${}_9F_8$の二項変換公式を得た. それは$n$を非負整数, $w=1+2a-b-c-d, 2+3a+n=b+c+d+e+f+g$のとき,
\begin{align} &\F98{a,1+\frac a2,b,c,d,e,f,g,-n}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+a-g,1+a+n}1\\ &=\frac{(1+a,1+a-e-f,1+w-e,1+w-f)_n}{(1+a-e,1+a-f,1+w,1+w-e-f)_n}\\ &\cdot\F98{w,1+\frac w2,w+b-a,w+c-a,w+d-a,e,f,g,-n}{\frac w2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+w-e,1+w-f,1+w-g,1+w+n}1 \end{align}
が成り立つというものだった. ここで, $e=\frac a2,f=\frac{a+1}2$としてから$g\mapsto e$とすると以下を得る.

定理1の2つ目の条件は$e=\frac 12+w+n$と表すこともできる. この左辺に現れている
\begin{align} &\F65{a,b,c,d,e,-n}{1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a+n}1 \end{align}
は下の段の和から上の段の和を引いたものが2になっていることから2-balancedであるという. 特に, $e,n$以外を固定して$n\to\infty$とすると以下の系を得る.

これはwell-poised${}_4F_3$をvery-well-poised${}_7F_6$で表す1つの公式を与えている.

次に, 前の記事 で得たBaileyの4項変換公式は$w=1+2a-c-d-e, 2+3a=b+c+d+e+f+g+h$とするとき,
\begin{align} &\F98{a,1+\frac a2,b,c,d,e,f,g,h}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+a-g,1+a-h}{1}\\ &\qquad+\frac{\Gamma(1+2b-a,a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+a-g,1+a-h)}{\Gamma(1+a,b-a,c,d,e,f,g,h)}\\ &\qquad\qquad\cdot\frac{\Gamma(b+c-a,b+d-a,b+e-a,b+f-a,b+g-a,b+h-a)}{\Gamma(1+b-c,1+b-d,1+b-e,1+b-f,1+b-g,1+b-h)}\\ &\qquad\qquad\qquad\cdot\F98{2b-a,1+\frac{2b-a}2,b,b+c-a,b+d-a,b+e-a,b+f-a,b+g-a,b+h-a}{\frac{2b-a}2,1+b-a,1+b-c,1+b-d,1+b-e,1+b-f,1+b-g,1+b-h}1\\ &=\frac{\Gamma(1+w,b-w,1+a-f,1+a-g,1+a-h,b+f-a,b+g-a,b+h-a)}{\Gamma(1+a,b-a,1+w-f,1+w-g,1+w-h,b+f-w,b+g-w,b+h-w)}\\ &\qquad\cdot \F98{w,1+\frac w2,b,w+c-a,w+d-a,w+e-a,f,g,h}{\frac w2,1+w-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+w-f,1+w-g,1+w-h}1\\ &\qquad+\frac{\Gamma(1+2b-w,w-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+a-g,1+a-h)}{\Gamma(1+a,b-a,f,g,h,1+b-f,1+b-g,1+b-h)}\\ &\qquad\qquad\cdot\frac{\Gamma(b+c-a,b+d-a,b+e-a,b+f-a,b+g-a,b+h-a)}{\Gamma(w+c-a,w+d-a,w+e-a,1+a+b-w-c,1+a+b-w-d,1+a+b-w-e)}\\ &\qquad\qquad\qquad\cdot\F98{2b-w,1+\frac{2b-w}2,b,b+c-a,b+d-a,b+e-a,b+f-w,b+g-w,b+h-w}{\frac{2b-w}2,1+b-w,1+a+b-w-c,1+a+b-w-d,1+a+b+w-e,1+b-f,1+b-g,1+b-h}1 \end{align}
が成り立つというものだった. ここで, ガンマ関数に対し$\Gamma(a_1,\dots,a_r):=\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_r)$という略記を用いている. ここにおいて, $g=\frac a2,h=\frac{a+1}2$とすると以下を得る.

これは定理1の一般化である. 実際定理2で$f=-n$とすると定理1を得る.定理2で$a=-n$とすると$w=b+f-\frac 12$となり,
\begin{align} &\F65{-n,b,c,d,e,f}{1-n-b,1-n-c,1-n-d,1-n-e,1-n-f}{1}\\ &=\frac{2^n\Gamma\left(\frac 12,1+w,b-w,1-n-f,b+f+n,b+\frac n2,b+\frac{1+n}2\right)}{\Gamma\left(b+n,1+w-f,\frac 12+w+\frac n2,1+w+\frac n2,b+f-w,b-\frac n2-w,b+\frac{1-n}2-w\right)}\\ &\qquad\cdot \F98{w,1+\frac w2,b,w+c+n,w+d+n,w+e+n,f,-\frac n2,\frac{1-n}2}{\frac w2,1+w-b,1-n-c,1-n-d,1-n-e,1+w-f,1+w+\frac n2,\frac 12+w+\frac n2}1 \end{align}
であり, 係数は
\begin{align} &\frac{2^n\Gamma\left(b+f+\frac 12,\frac 12-f,1-n-f,b+f+n,b+\frac n2,b+\frac{1+n}2\right)}{\Gamma\left(b+n,b+\frac 12,b+f+\frac n2,b+f+\frac{n+1}2,\frac{1-n}2-f,1-\frac{n}2-f\right)}\\ &=2^n\frac{(1-f)_{-n}(b+f)_n\left(b,b+\frac 12\right)_{\frac n2}}{(b)_n\left(b+f,b+f+\frac 12\right)_{\frac n2}\left(\frac 12-f,1-f\right)_{-\frac n2}}\\ &=\frac{(1-f)_{-n}(b+f,2b)_n}{(b,2b+2f)_n(1-2f)_{-n}}\\ &=\frac{(b+f,2b,2f)_n}{(b,f,2b+2f)_n} \end{align}
となる. 変数を置き換えて以下の系を得る.

このように, Baileyの${}_9F_8$変換公式から一般のterminating Well-poised 2-balanced${}_6F_5$をterminating very-well-poised 2-balanced${}_9F_8$で書く公式を与えることができることが分かった.