Non-terminating Searsの変換公式

Watsonの${}_8\phi_7$変換公式 は
\begin{align} &\Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,q^{-n}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq^{n+1}}{\frac{a^2q^{n+2}}{bcde}}\\ &=\frac{(aq,aq/de;q)_n}{(aq/d,aq/e;q)_n}\Q43{aq/bc,d,e,q^{-n}}{aq/b,aq/c,deq^{-n}/a}q \end{align}
の左辺は$b,c,d,e$に関して対称的である. これを用いることで, ${}_4\phi_3$の変換公式を示すことができる. まず, $(b,c)\leftrightarrow(d,e)$の入れ替えにより,
\begin{align} \frac{(aq,aq/de;q)_n}{(aq/d,aq/e;q)_n}\Q43{aq/bc,d,e,q^{-n}}{aq/b,aq/c,deq^{-n}/a}q&=\frac{(aq,aq/bc;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\Q43{aq/de,b,c,q^{-n}}{aq/d,aq/e,bcq^{-n}/a}q \end{align}
である. よって,
\begin{align} \Q43{aq/bc,d,e,q^{-n}}{aq/b,aq/c,deq^{-n}/a}q&=\frac{(aq/d,aq/e,aq/bc;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/de;q)_n}\Q43{aq/de,b,c,q^{-n}}{aq/d,aq/e,bcq^{-n}/a}q \end{align}
を得る.　ここで, $b\mapsto aq/b,c\mapsto aq/c$とすると,
\begin{align} \Q43{bc/aq,d,e,q^{-n}}{b,c,deq^{-n}/a}q&=\frac{(aq/d,aq/e,bc/aq;q)_n}{(b,c,aq/de;q)_n}\Q43{aq/de,aq/b,aq/c,q^{-n}}{aq/d,aq/e,aq^{2-n}/bc}q \end{align}
となる. $a\mapsto bc/aq$とすると,
\begin{align} \Q43{a,d,e,q^{-n}}{b,c,adeq^{1-n}/bc}q&=\frac{(bc/ad,bc/ae,a;q)_n}{(b,c,bc/ade;q)_n}\Q43{bc/ade,c/a,b/a,q^{-n}}{bc/ad,bc/ae,q^{1-n}/a}q \end{align}
となる. これは Searsの変換公式 である.

今度はWatsonの変換公式の一般化である non-terminating Watsonの変換公式
\begin{align} &\Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f}{\frac{a^2q^2}{bcdef}}\\ &=\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def;q)_{\infty}}\Q43{aq/bc,d,e,f}{aq/b,aq/c,def/a}{q}\\ &\qquad+\frac{(aq,aq/bc,d,e,f,a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,a^2q^2/bcdef,def/aq;q)_{\infty}}\Q43{aq/de,aq/df,aq/ef,a^2q^2/bcdef}{a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef,aq^2/def}{q} \end{align}
で同様のことを行ってみる. $(b,c)\leftrightarrow(d,e)$の入れ替えによって
\begin{align} &\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def;q)_{\infty}}\Q43{aq/bc,d,e,f}{aq/b,aq/c,def/a}{q}\\ &\qquad+\frac{(aq,aq/bc,d,e,f,a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,a^2q^2/bcdef,def/aq;q)_{\infty}}\Q43{aq/de,aq/df,aq/ef,a^2q^2/bcdef}{a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef,aq^2/def}{q}\\ &=\frac{(aq,aq/bc,aq/bf,aq/cf;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/f,aq/bcf;q)_{\infty}}\Q43{aq/de,b,c,f}{aq/d,aq/e,bcf/a}{q}\\ &\qquad+\frac{(aq,aq/de,b,c,f,a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcef;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,a^2q^2/bcdef,bcf/aq;q)_{\infty}}\Q43{aq/bc,aq/bf,aq/cf,a^2q^2/bcdef}{a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcef,aq^2/bcf}{q} \end{align}
を得る. $b\mapsto aq/b,c\mapsto aq/c$とすると,
\begin{align} &\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def;q)_{\infty}}\Q43{bc/aq,d,e,f}{b,c,def/a}{q}\\ &\qquad+\frac{(aq,bc/aq,d,e,f,abq/def,acq/def;q)_{\infty}}{(b,c,aq/d,aq/e,aq/f,bc/def,def/aq;q)_{\infty}}\Q43{aq/de,aq/df,aq/ef,bc/def}{abq/def,acq/def,aq^2/def}{q}\\ &=\frac{(aq,bc/aq,b/f,c/f;q)_{\infty}}{(b,c,aq/f,bc/afq;q)_{\infty}}\Q43{aq/de,aq/b,aq/c,f}{aq/d,aq/e,afq^2/bc}{q}\\ &\qquad+\frac{(aq,aq/de,aq/b,aq/c,f,bc/df,bc/ef;q)_{\infty}}{(b,c,aq/d,aq/e,aq/f,bc/def,afq/bc;q)_{\infty}}\Q43{bc/aq,b/f,c/f,bc/def}{bc/df,bc/ef,bc/af}{q} \end{align}
となる. さらに$a\mapsto bc/aq$とすると,
\begin{align} &\frac{(bc/a,bc/ade,bc/adf,bc/aef;q)_{\infty}}{(bc/ad,bc/ae,bc/af,bc/adef;q)_{\infty}}\Q43{a,d,e,f}{b,c,adefq/bc}{q}\\ &\qquad+\frac{(bc/a,a,d,e,f,b^2c/adef,bc^2/adef;q)_{\infty}}{(b,c,bc/ad,bc/ae,bc/af,bc/def,adef/bc;q)_{\infty}}\Q43{bc/ade,bc/adf,bc/aef,bc/def}{b^2c/adef,bc^2/adef,bcq/adef}{q}\\ &=\frac{(bc/a,a,b/f,c/f;q)_{\infty}}{(b,c,bc/af,a/f;q)_{\infty}}\Q43{bc/ade,c/a,b/a,f}{bc/ad,bc/ae,fq/a}{q}\\ &\qquad+\frac{(bc/a,bc/ade,c/a,b/a,f,bc/df,bc/ef;q)_{\infty}}{(b,c,bc/ad,bc/ae,bc/af,bc/def,f/a;q)_{\infty}}\Q43{a,b/f,c/f,bc/def}{bc/df,bc/ef,aq/f}{q} \end{align}
よって,
\begin{align} &\Q43{a,d,e,f}{b,c,adefq/bc}{q}\\ &\qquad+\frac{(a,d,e,f,b^2c/adef,bc^2/adef,bc/adef;q)_{\infty}}{(b,c,bc/ade,bc/adf,bc/aef,bc/def,adef/bc;q)_{\infty}}\Q43{bc/ade,bc/adf,bc/aef,bc/def}{b^2c/adef,bc^2/adef,bcq/adef}{q}\\ &=\frac{(a,b/f,c/f,bc/ad,bc/ae,bc/adef;q)_{\infty}}{(bc/ade,bc/adf,bc/aef,b,c,a/f;q)_{\infty}}\Q43{bc/ade,c/a,b/a,f}{bc/ad,bc/ae,fq/a}{q}\\ &\qquad+\frac{(c/a,b/a,f,bc/df,bc/ef,bc/adef;q)_{\infty}}{(b,c,bc/adf,bc/aef,bc/def,f/a;q)_{\infty}}\Q43{a,b/f,c/f,bc/def}{bc/df,bc/ef,aq/f}{q} \end{align}
を得る. 変数を入れ替えると以下のようになる.

$d=q^{-n}$とするとSearsの変換公式を復元できる. $c=q^{-n}$としてから$n\to\infty$とすると,

\begin{align} &\Q32{a,b,d}{e,f}{\frac{ef}{abd}}\\ &=\frac{(a,e/d,f/d,ef/ab;q)_{\infty}}{(ef/abd,e,f,a/d;q)_{\infty}}\Q32{d,e/a,f/a}{ef/ab,dq/a}{q}\\ &\qquad+\frac{(d,e/a,f/a,ef/bd;q)_{\infty}}{(ef/abd,e,f,d/a;q)_{\infty}}\Q32{a,e/d,f/d}{ef/bd,aq/d}{q} \end{align}
を得る. 変数を置き換えると以下のようになる.

左辺に Sears-Thomaeの変換公式
\begin{align} \Q32{a,b,c}{d,e}{\frac{de}{abc}}&=\frac{(b,de/ab,de/bc;q)_{\infty}}{(d,e,de/abc;q)_{\infty}}\Q32{d/b,e/b,de/abc}{de/ab,de/bc}b \end{align}
を適用すると,
\begin{align} \Q32{d/b,e/b,de/abc}{de/ab,de/bc}b&=\frac{(a,d/c,e/c;q)_{\infty}}{(b,de/bc,a/c;q)_{\infty}}\Q32{c,d/a,e/a}{de/ab,cq/a}{q}\\ &\qquad+\frac{(c,d/a,e/a;q)_{\infty}}{(b,de/ab,c/a;q)_{\infty}}\Q32{a,d/c,e/c}{de/bc,aq/c}{q} \end{align}
$d\mapsto bd,e\mapsto be$
\begin{align} \Q32{d,e,bde/ac}{bde/a,bde/c}b&=\frac{(a,bd/c,be/c;q)_{\infty}}{(b,bde/c,a/c;q)_{\infty}}\Q32{c,bd/a,be/a}{bde/a,cq/a}{q}\\ &\qquad+\frac{(c,bd/a,be/a;q)_{\infty}}{(b,bde/a,c/a;q)_{\infty}}\Q32{a,bd/c,be/c}{bde/c,aq/c}{q} \end{align}

$a\mapsto bde/a,c\mapsto bde/c$とすると,
\begin{align} \Q32{d,e,ac/bde}{a,c}b&=\frac{(bde/a,c/e,c/d;q)_{\infty}}{(b,c,c/a;q)_{\infty}}\Q32{bde/c,a/e,a/d}{a,aq/c}{q}\\ &\qquad+\frac{(bde/c,a/e,a/d;q)_{\infty}}{(b,a,a/c;q)_{\infty}}\Q32{bde/a,c/e,c/d}{c,cq/a}{q} \end{align}
さらに$b\mapsto ac/bde$とすると,
\begin{align} \Q32{d,e,b}{a,c}{\frac{ac}{bde}}&=\frac{(c/b,c/e,c/d;q)_{\infty}}{(ac/bde,c,c/a;q)_{\infty}}\Q32{a/b,a/e,a/d}{a,aq/c}{q}\\ &\qquad+\frac{(a/b,a/e,a/d;q)_{\infty}}{(ac/bde,a,a/c;q)_{\infty}}\Q32{c/b,c/e,c/d}{c,cq/a}{q} \end{align}
を得る. 変数を置き換えて以下を得る.