一般超幾何級数の和公式まとめ

この記事では, $(x_1,\dots,x_r)_n:=(x_1)_n\cdots(x_r)_n,\quad (x)_0:=1,\quad (x)_n:=x(x+1)\cdots(x+n-1)$と表すこととして,
\begin{align} \F{r+1}r{a_1,\dots,a_{r+1}}{b_1,\dots,b_r}{x}:=\sum_{0\leq n}\frac{(a_1,\dots,a_{r+1})_n}{n!(b_1,\dots,b_r)_n}x^n \end{align}
によって定義される一般超幾何級数の和公式をまとめたいと思う. 変数が1つの特殊なものなどは数が多くまとめきれないので, 2つ以上の変数を持つある程度一般的なものに限ってまとめようと思う. 以下, $N$は非負整数を表すものとする.

${}_1F_0$

一般二項定理

\begin{align} \F10{a}{-}x&=(1-x)^{-a} \end{align}

${}_2F_1$

Vandermondeの恒等式

\begin{align} \F21{b,-N}c{1}&=\frac{(c-b)_N}{(c)_N} \end{align}

Gaussの超幾何定理

\begin{align} \F21{a,b}c1=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)} \end{align}

Kummerの和公式

\begin{align} \F21{a,b}{1+a-b}{-1}&=\frac{\Gamma\left(1+\frac a2\right)\Gamma(1+a-b)}{\Gamma(1+a)\Gamma\left(1+\frac a2-b\right)}\\ \F21{-N,b}{1-N-b}{-1}&=\begin{cases} 0&& N\not\equiv 0\pmod 2\\ \displaystyle\frac{(b)_{\frac N2}N!}{(N/2)!(b)_N}&& N\equiv 0\pmod 2 \end{cases} \end{align}

Gaussの第二定理, Baileyの定理

\begin{align} \F21{a,b}{\frac{a+b+1}2}{\frac 12}&=\frac{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(\frac{a+b+1}2\right)}{\Gamma\left(\frac{a+1}2\right)\Gamma\left(\frac{b+1}2\right)}\\ \F21{a,1-a}c{\frac 12}&=\frac{\Gamma\left(\frac c2\right)\Gamma\left(\frac{c+1}2\right)}{\Gamma\left(\frac{a+c}2\right)\Gamma\left(\frac{1+c-a}2\right)} \end{align}

Chebyshev関数

\begin{align} \F21{a,-a}{\frac 12}{x^2}&=\cos(2a\arcsin x)\\ \F21{1+a,1-a}{\frac 32}{x^2}&=\frac{\sin(2a\arcsin x)}{2ax\sqrt{1-x^2}} \end{align}

${}_3F_2$

Saalschützの和公式

\begin{align} \F32{a,b,-N}{c,1-N+a+b-c}1=\frac{(c-a,c-b)_N}{(c,c-a-b)_N} \end{align}

Dixonの和公式

\begin{align} \F32{a,b,c}{1+a-b,1+a-c}{1}&=\frac{\Gamma\left(1+\frac a2\right)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma\left(1+\frac a2-b-c\right)}{\Gamma(1+a)\Gamma\left(1+\frac a2-b\right)\Gamma\left(1+\frac a2-c\right)\Gamma(1+a-b-c)}\\ \F32{-N,b,c}{1-N-b,1-N-c}1&=\begin{cases} 0&& N\not\equiv 0\pmod 2\\ \displaystyle\frac{(b,c)_{\frac N2}N!(b+c)_N}{(N/2)!(b+c)_{\frac N2}(b,c)_N}&& N\equiv 0\pmod 2 \end{cases} \end{align}

Watsonの和公式

\begin{align} \F32{a,b,c}{\frac{a+b+1}2,2c}{1}&=\frac{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(\frac{a+b+1}2\right)\Gamma\left(c+\frac 12\right)\Gamma\left(c+\frac{1-a-b}2\right)}{\Gamma\left(\frac{a+1}2\right)\Gamma\left(\frac{b+1}2\right)\Gamma\left(c+\frac{1-a}2\right)\Gamma\left(c+\frac{1-b}2\right)} \end{align}

Baileyによるterminating Watsonの${}_3F_2$和公式
\begin{align} \F32{a,b,-N}{\frac{a+b+1}2,-2N}1=\frac{\left(\frac{a+1}2,\frac{b+1}2\right)_N}{\left(\frac 12,\frac{a+b+1}2\right)_N} \end{align}

Whippleの和公式

\begin{align} \F32{a,1-a,c}{e,1+2c-e}{1}&=\frac{2^{1-2c}\pi\Gamma(e)\Gamma(1+2c-e)}{\Gamma\left(\frac{a+e}2\right)\Gamma\left(\frac{1+e-a}2\right)\Gamma\left(c+\frac{1-e+a}2\right)\Gamma\left(1+c-\frac{a+e}2\right)} \end{align}

Gosperの和公式

\begin{align} \F32{\frac 12+3x,\frac 12-3x,y}{\frac 12,3y}{\frac 34}&=\frac{2\Gamma\left(\frac 13+y\right)\Gamma\left(\frac 23+y\right)\cos\pi x}{\sqrt 3\Gamma\left(\frac 12+x+y\right)\Gamma\left(\frac 12-x+y\right)}\\ \F32{1+3x,1-3x,y}{\frac 32,3y-1}{\frac 34}&=\frac{2\Gamma\left(y-\frac 13\right)\Gamma\left(\frac 13+y\right)\sin\pi x}{3\sqrt 3 x\Gamma\left(y+x\right)\Gamma\left(y-x\right)} \end{align}

Karlssonの和公式 ( Gessel-Stantonの和公式 の系)

\begin{align} \F32{2a,2b,1-2b}{\frac 12+a+b,1+a-b}{\frac 14}=\frac{2^{4a/3}\Gamma\left(\frac 12+a+b\right)\Gamma(1+a-b)\Gamma\left(1+\frac{2a}3\right)}{\Gamma\left(\frac 12+\frac a3+b\right)\Gamma\left(1+\frac a3-b\right)\Gamma(1+2a)} \end{align}

Andrewsの和公式

\begin{align} \F32{-N,a+N,\frac a3}{\frac a2,\frac{a+1}2}{\frac 34}&=\begin{cases} 0&&n\not\equiv 0\pmod 3\\ \displaystyle\frac{\left(\frac a3\right)_{n/3}n!}{(n/3)!(a)_n}&&n\equiv 0\pmod 3 \end{cases} \end{align}

Non-terminating Andrewsの和公式( Verma-Jainの変換公式 の系)

\begin{align} \F32{d,a-d,\frac a3}{\frac a2,\frac{a+1}2}{\frac 34}=\frac{\Gamma(1+a)\Gamma\left(1+\frac{a-d}3\right)\Gamma\left(1+\frac{d}3\right)}{\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+d)\Gamma\left(1+\frac a3\right)} \end{align}

Non-terminating Saalschützの和公式

$1+a+b+c=d+e$のとき,
\begin{align} &\F32{a,b,c}{d,e}1+\frac{\Gamma(d-1)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+b-d)\Gamma(1+c-d)\Gamma(e)}{\Gamma(1-d)\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(1+e-d)}\F32{1+a-d,1+b-d,1+c-d}{2-d,1+e-d}1\\ &=\frac{\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+b-d)\Gamma(1+c-d)\Gamma(e)}{\Gamma(1-d)\Gamma(e-a)\Gamma(e-b)\Gamma(e-c)} \end{align}

Weiの和公式 ( non-terminating Dougallの和公式 の系)

\begin{align} &\F32{b,c,d}{e,f}{1}+\frac{\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(1+b-e)\Gamma(1+b-f)}{\Gamma(c)\Gamma(d)\Gamma(1+b-c)\Gamma(1+b-d)}\F32{b,1+b-e,1+b-f}{1+b-c,1+b-d}1\\ &=\frac{\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(1+b-e)\Gamma(1+b-f)}{\Gamma(e-c)\Gamma(f-c)\Gamma(e-d)\Gamma(f-d)} \end{align}

${}_4F_3$

Dougallの和公式 の系

\begin{align} \F43{a,1+\frac a2,b,c}{\frac a2,1+a-b,1+a-c}{-1}&=\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-b-c)}\\ \F43{a,1+\frac a2,b,c}{\frac a2,1+a-b,1+a-c}1&=\frac{\Gamma\left(\frac{1+a}2\right)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma\left(\frac{1+a}2-b-c\right)}{\Gamma(1+a)\Gamma\left(\frac{1+a}2-b\right)\Gamma\left(\frac{1+a}2-c\right)\Gamma(1+a-b-c)} \end{align}

Karlssonの和公式 ( Gessel-Stantonの和公式 の系)

\begin{align} \F43{2a,1+\frac{2a}3,2b,1-2b}{\frac{2a}3,\frac 12+a+b,1+a-b}{\frac 14}=\frac{2^{2(2a+1)/3}\Gamma\left(\frac 12+a+b\right)\Gamma(1+a-b)\Gamma\left(\frac{1+2a}3\right)}{\Gamma\left(\frac 16+\frac a3+b\right)\Gamma\left(\frac 23+\frac a3-b\right)\Gamma(1+2a)} \end{align}

Gessel-Stantonの和公式 の系

\begin{align} \F43{2a,1+\frac{2a}3,2b,1-2b}{\frac{2a}3,1+a-b,\frac 12+a+b}{-\frac 18}=\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma\left(\frac 12+a+b\right)}{\Gamma(a+1)\Gamma\left(a+\frac 12\right)} \end{align}

Bailey, Carlitzの和公式

\begin{align} \F43{-N,e+N,\frac c2,\frac{c+1}2}{c+1,\frac e2,\frac{e+1}2}{1}&=\frac{(e-c)_N}{(e)_N}\\ \F43{-N,e-1+N,\frac c2,\frac{c+1}2}{c,\frac e2,\frac{e+1}2}{1}&=\frac{e+N-1}{e+2N-1}\frac{(e-c)_N}{(e)_N} \end{align}

Clausenの公式 (係数比較して得られる等式)

\begin{align} \F43{a,b,\frac 12-a-b-N,-N}{a+b+\frac 12,1-a-N,1-b-N}1=\frac{(2a,2b,a+b)_N}{(a,b,2a+2b)_N} \end{align}

${}_5F_4$

Dougallの和公式

\begin{align} \F54{a,1+\frac a2,b,c,d}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d}1&=\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-b-c-d)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+a-b-d)\Gamma(1+a-c-d)} \end{align}

Gessel-Stantonの和公式

\begin{align} \F54{2a,1+\frac{2a}3,2b,1-2b,a-d}{\frac{2a}3,1+a-b,\frac 12+a+b,1+2d}1=\frac{\Gamma(d+1)\Gamma\left(d+\frac 12\right)\Gamma(1+a-b)\Gamma\left(\frac 12+a+b\right)}{\Gamma(a+1)\Gamma\left(a+\frac 12\right)\Gamma(1-b+d)\Gamma\left(\frac 12+b+d\right)} \end{align}

Gosperの和公式( Gasper-Rahmanの和公式 の系)

\begin{align} \F54{a,a+\frac 12,b,1-b,1+\frac a2}{\frac 12,\frac{2a-b+3}3,\frac{2a+b+2}3,\frac a2}{\frac 19}&=\frac2{\sqrt 3}\frac{\Gamma\left(1+\frac{2a-b}3\right)\Gamma\left(\frac{2a+b+2}3\right)\sin\frac{\pi(b+1)}3}{\Gamma\left(\frac{2a+2}3\right)\Gamma\left(1+\frac{2a}3\right)} \end{align}

Gosperの和公式( Gasper-Rahmanの和公式 の系)

\begin{align} \F54{a-\frac 12,a,b,2-b,1+\frac a2}{\frac 32,1+\frac{2a-b}3,\frac{2a+b+1}3,\frac a2}{\frac 19}&=\frac{\Gamma\left(\frac 23\right)\Gamma\left(\frac 43\right)\Gamma\left(\frac{2a+b+1}3\right)\Gamma\left(1+\frac{2a-b}3\right)}{\Gamma\left(\frac{2a+1}3\right)\Gamma\left(1+\frac{2a}3\right)\Gamma\left(\frac{b+2}3\right)\Gamma\left(\frac{4-b}3\right)} \end{align}

Gasperの三次和公式 の系

\begin{align} \F54{3a,1+\frac{3a}4,3b,\frac{1-3b}2,1-\frac{3b}2}{\frac{3a}4,1+a-b,\frac{3a+3b}2,\frac{3a+3b+1}2}{\frac 19}&=\frac{3^{1-3b}\Gamma(3a+3b)\Gamma(1+a-b)}{\Gamma(3a+1)\Gamma(a+2b)} \end{align}

Dougallの和公式 の系

$1+\frac{3a}2=b+c+d-N$のとき,
\begin{align} &\F54{a,b,c,d,-N}{1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a+N}{1}\\ &=\frac{(1+a,1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-c-d)_N}{(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-b-c-d)_N} \end{align}

Jacksonの和公式 の系

$b+c+d+e=1-3N$のとき,
\begin{align} &\F54{-2N,b,c,d,e}{1-2N-b,1-2N-c,1-2N-d,1-2N-e}1\\ &=\frac{(N+1,b,c,d,e,1-2N-b-c,1-2N-b-d,1-2N-c-d)_N}{(b,c,d,e)_{2N}} \end{align}

${}_6F_5$

Whippleの和公式

\begin{align} \F65{a,1+\frac a2,b,1-b,c,1-c}{\frac a2,1+a-b,a+b,1+a-c,a+c}{-1}&=\frac{2^{1-2a}\pi\Gamma(a+b)\Gamma(1+a-b)\Gamma(a+c)\Gamma(1+a-c)}{\Gamma(a)\Gamma(1+a)\Gamma\left(\frac{a+b+c}2\right)\Gamma\left(\frac{1+a-b+c}2\right)\Gamma\left(\frac{1+a+b-c}2\right)\Gamma\left(\frac{2+a-b-c}2\right)}\\ \F65{a,1+\frac a2,c,1+a-2c,d,1+2a-2c-d}{\frac a2,1+a-c,2c,1+a-d,2c+d-a}{-1}&=\frac{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(c+\frac 12\right)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(2c+d-a)}{\Gamma(1+a)\Gamma\left(\frac{d+1}2\right)\Gamma\left(c+\frac{1-d}2\right)\Gamma\left(1+a-c-\frac d2\right)\Gamma\left(2c-a+\frac d2\right)} \end{align}

Dougallの和公式 の系

$\frac 12+\frac{3a}2=b+c+d-N$のとき,
\begin{align} &\F65{a,1+\frac a2,b,c,d,-N}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a+N}{1}\\ &=\frac{(1+a,1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-c-d)_N}{(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-b-c-d)_N} \end{align}

${}_7F_6$

Dougallの和公式

$1+2a=b+c+d+e-N$のとき,
\begin{align} &\F76{a,1+\frac a2,b,c,d,e,-N}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a+N}{1}\\ &=\frac{(1+a,1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-c-d)_N}{(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-b-c-d)_N} \end{align}

Gessel-Stantonの和公式

\begin{align} \F76{2a,1+\frac{2a}3,2b,1-2b,a-d,a+d+n+\frac 12,-n}{\frac{2a}3,1+a-b,\frac 12+a+b,1+2d,-2d-2n,1+2a+2n}1&=\frac{(2a+1)_{2n}\left(\frac 12+b+d,1+d-b\right)_n}{(2d+1)_{2n}\left(\frac 12+a+b,1+a-b\right)_n}\\ \F76{a,1+\frac{2a}3,b,\frac 12+a-b,1-2d,2a+2d+n,-n}{\frac{2a}3,1+2a-2b,2b,a+d+\frac 12,1+a+\frac n2,1-d-\frac n2}1&=\begin{cases} \displaystyle \frac{\left(\frac 12,a+1,b+d,\frac 12+a-b+d\right)_m}{\left(b+\frac 12,d,1+a-b,a+d+\frac 12\right)_m}\qquad &n=2m\\ 0\qquad &n:\mathrm{odd} \end{cases} \end{align}

Gasper-Rahmanの和公式 (Gosper予想)

\begin{align} &\F76{a,a+\frac 12,b,1-b,c,\frac{2a+1}3-c,1+\frac a2}{\frac 12,\frac{2a-b+3}3,\frac{2a+b+2}3,3c,2a+1-3c,\frac a2}{1}\\ &=\frac2{\sqrt 3}\frac{\Gamma\left(c+\frac 13\right)\Gamma\left(c+\frac 23\right)\Gamma\left(1+\frac{2a-b}3\right)\Gamma\left(\frac{2a+b+2}3\right)\Gamma\left(\frac{2a+2}3-c\right)\Gamma\left(1+\frac{2a}3-c\right)\sin\frac{\pi(b+1)}3}{\Gamma\left(\frac{2a+2}3\right)\Gamma\left(1+\frac{2a}3\right)\Gamma\left(c+\frac{b+1}3\right)\Gamma\left(c+\frac{2-b}3\right)\Gamma\left(\frac{2a+b+2}3-c\right)\Gamma\left(1+\frac{2a-b}3-c\right)} \end{align}

Gasper-Rahmanの和公式

\begin{align} &\F76{a-\frac 12,a,b,2-b,c,\frac{2a+2}3-c,1+\frac a2}{\frac 32,1+\frac{2a-b}3,\frac{2a+b+1}3,3c-1,2a+1-3c,\frac a2}1\\ &=\frac{\Gamma\left(\frac 23\right)\Gamma\left(\frac 43\right)\Gamma\left(c-\frac 13\right)\Gamma\left(c+\frac 13\right)\Gamma\left(\frac{2a+b+1}3\right)\Gamma\left(1+\frac{2a-b}3\right)\Gamma\left(\frac{2a+1}3-c\right)\Gamma\left(1+\frac{2a}3-c\right)}{\Gamma\left(\frac{2a+1}3\right)\Gamma\left(1+\frac{2a}3\right)\Gamma\left(c+\frac{b-1}3\right)\Gamma\left(c+\frac{1-b}3\right)\Gamma\left(\frac{b+2}3\right)\Gamma\left(\frac{4-b}3\right)\Gamma\left(\frac{2a+b+1}3-c\right)\Gamma\left(1+\frac{2a-b}3-c\right)} \end{align}

Gasperの三次和公式

\begin{align} &\F76{3a,1+\frac{3a}4,3b,\frac{1-3b}2,1-\frac{3b}2,c,2a+b-c}{\frac{3a}4,1+a-b,\frac{3a+3b}2,\frac{3a+3b+1}2,1+3a-3c,1+3c-3a-3b}1\\ &=\frac{\Gamma(3a+3b)\Gamma(1+3a-3c)\Gamma(a+2b-c)\Gamma(1+a-b)}{\Gamma(3a+1)\Gamma(3a+3b-3c)\Gamma(a+2b)\Gamma(1+a-b-c)}\\ &\qquad\cdot\left(1+\frac{\sin 3\pi b\sin\pi c}{\sin3\pi(a+b-c)\sin \pi(a+2b)}\right) \end{align}

Non-terminating Dougallの和公式

$1+2a=b+c+d+e+f$のとき
\begin{align} &\F76{a,1+\frac a2,b,c,d,e,f}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f}{1}\\ &\qquad-\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+b-a)\Gamma(1+b-c)\Gamma(1+b-d)\Gamma(1+b-e)\Gamma(1+b-f)}\\ &\qquad\qquad\cdot\frac{\Gamma(b+c-a)\Gamma(b+d-a)\Gamma(b+e-a)\Gamma(b+f-a)\Gamma(1+2b-a)}{\Gamma(c)\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(f)}\\ &\qquad\qquad\qquad\cdot\F76{2b-a,1+\frac{2b-a}2,b,b+c-a,b+d-a,b+e-a,b+f-a}{\frac{2b-a}2,1+b-a,1+b-c,1+b-d,1+b-e,1+b-f}1\\ &=\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-c-d)\Gamma(1+a-c-e)\Gamma(1+a-c-f)}\\ &\qquad\cdot \frac{\Gamma(b+c-a)\Gamma(b+d-a)\Gamma(b+e-a)\Gamma(b+f-a)}{\Gamma(1+a-d-e)\Gamma(1+a-d-f)\Gamma(1+a-e-f)\Gamma(b-a)} \end{align}

その他

Whippleの${}_6F_5$和公式の類似

\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(2n+a)((2n+a)^2+2b(1-b)+2c(1-c)-a(2-a))(a,b,1-b,c,1-c)_n}{n!(1+a-b,a+b,1+a-c,a+c)_n}\\ &=\frac{2^{4-2a}\pi\Gamma(a+b)\Gamma(1+a-b)\Gamma(a+c)\Gamma(1+a-c)}{\Gamma(a)^2\Gamma\left(\frac{1+a-b-c}2\right)\Gamma\left(\frac{a+b-c}2\right)\Gamma\left(\frac{a-b+c}2\right)\Gamma\left(\frac{a+b+c-1}2\right)} \end{align}

Chen-Chuの和公式

\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{((2n+1)(1+a-c-d+2n)-(1-c+n)(1-d+n))(c,d,1-c,1-d)_n}{(2n+1)!(1+a-c,1+a-d)_n}\\ &=\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)}{\Gamma(a)\Gamma(1+a-c-d)} \end{align}

あとがき

他にも書いておいた方が良さそうな公式があれば追記したいと思う.