Non-terminating Whippleの変換公式のMellin-Barnes積分類似

Non-terminating Whippleの変換公式 のMellin-Barnes積分による表示は
$$\begin{array}{rl}& {}_7{F}_6[\begin{array}{c}a,1+\frac{a}{2},b,c,d,e,f\\ \frac{a}{2},1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f\end{array};1]\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(1+a-b)\mathrm{\Gamma }(1+a-c)\mathrm{\Gamma }(1+a-d)\mathrm{\Gamma }(1+a-e)\mathrm{\Gamma }(1+a-f)}{\mathrm{\Gamma }(d)\mathrm{\Gamma }(e)\mathrm{\Gamma }(f)\mathrm{\Gamma }(1+a)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-c)\mathrm{\Gamma }(1+a-d-e)\mathrm{\Gamma }(1+a-d-f)\mathrm{\Gamma }(1+a-e-f)}\\ & \cdot \frac{1}{2\pi i}{\int }_{-i\mathrm{\infty }}^{i\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(d+s)\mathrm{\Gamma }(e+s)\mathrm{\Gamma }(f+s)\mathrm{\Gamma }(1+a-b-c+s)\mathrm{\Gamma }(1+a-d-e-f-s)\mathrm{\Gamma }(-s)}{\mathrm{\Gamma }(1+a-b+s)\mathrm{\Gamma }(1+a-c+s)}ds\end{array}$$
というものだった. 今回はその類似を示す.

特に$1+2a=b+c+d+e+f$のとき,
$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2\pi i}{\int }_{-i\mathrm{\infty }}^{i\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(a+s)\mathrm{\Gamma }(1+\frac{a}{2}+s)\mathrm{\Gamma }(b+s)\mathrm{\Gamma }(c+s)\mathrm{\Gamma }(d+s)\mathrm{\Gamma }(e+s)\mathrm{\Gamma }(f+s)\mathrm{\Gamma }(b-a-s)\mathrm{\Gamma }(-s)}{\mathrm{\Gamma }(\frac{a}{2}+s)\mathrm{\Gamma }(1+a-c+s)\mathrm{\Gamma }(1+a-d+s)\mathrm{\Gamma }(1+a-e+s)\mathrm{\Gamma }(1+a-f+s)}ds\\ & =\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\Gamma }(b)\mathrm{\Gamma }(c)\mathrm{\Gamma }(b+c-a)}{\mathrm{\Gamma }(1+a-d-e)\mathrm{\Gamma }(1+a-d-f)\mathrm{\Gamma }(1+a-e-f)}\\ & \cdot \frac{1}{2\pi i}{\int }_{-i\mathrm{\infty }}^{i\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(d+s)\mathrm{\Gamma }(e+s)\mathrm{\Gamma }(f+s)\mathrm{\Gamma }(b-a-s)\mathrm{\Gamma }(-s)}{\mathrm{\Gamma }(1+a-c+s)\mathrm{\Gamma }(1+a-d+s)}ds\end{array}$$
であり, Barnesの第2補題より,
$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2\pi i}{\int }_{-i\mathrm{\infty }}^{i\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(d+s)\mathrm{\Gamma }(e+s)\mathrm{\Gamma }(f+s)\mathrm{\Gamma }(b-a-s)\mathrm{\Gamma }(-s)}{\mathrm{\Gamma }(1+a-c+s)\mathrm{\Gamma }(1+a-d+s)}ds\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(d)\mathrm{\Gamma }(e)\mathrm{\Gamma }(f)\mathrm{\Gamma }(b+d-a)\mathrm{\Gamma }(b+e-a)\mathrm{\Gamma }(b+f-a)}{\mathrm{\Gamma }(1+a-c-d)\mathrm{\Gamma }(1+a-c-e)\mathrm{\Gamma }(1+a-c-f)}\end{array}$$
であるから以下を得る.

左辺を留数定理によって展開すると,
$$\begin{array}{rl}& {}_7{F}_6[\begin{array}{c}a,1+\frac{a}{2},b,c,d,e,f\\ \frac{a}{2},1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f\end{array};1]\\ & -\frac{\mathrm{\Gamma }(1+a-b)\mathrm{\Gamma }(1+a-c)\mathrm{\Gamma }(1+a-d)\mathrm{\Gamma }(1+a-e)\mathrm{\Gamma }(1+a-f)}{\mathrm{\Gamma }(1+a)\mathrm{\Gamma }(1+b-a)\mathrm{\Gamma }(1+b-c)\mathrm{\Gamma }(1+b-d)\mathrm{\Gamma }(1+b-e)\mathrm{\Gamma }(1+b-f)}\\ & \cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(b+c-a)\mathrm{\Gamma }(b+d-a)\mathrm{\Gamma }(b+e-a)\mathrm{\Gamma }(b+f-a)\mathrm{\Gamma }(1+2b-a)}{\mathrm{\Gamma }(c)\mathrm{\Gamma }(d)\mathrm{\Gamma }(e)\mathrm{\Gamma }(f)}\\ & \cdot {}_7{F}_6[\begin{array}{c}2b-a,1+\frac{2b-a}{2},b,b+c-a,b+d-a,b+e-a,b+f-a\\ \frac{2b-a}{2},1+b-a,1+b-c,1+b-d,1+b-e,1+b-f\end{array};1]\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(1+a-c)\mathrm{\Gamma }(1+a-d)\mathrm{\Gamma }(1+a-e)\mathrm{\Gamma }(1+a-f)}{\mathrm{\Gamma }(1+a)\mathrm{\Gamma }(1+a-c-d)\mathrm{\Gamma }(1+a-c-e)\mathrm{\Gamma }(1+a-c-f)}\\ & \cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(b+c-a)\mathrm{\Gamma }(b+d-a)\mathrm{\Gamma }(b+e-a)\mathrm{\Gamma }(b+f-a)}{\mathrm{\Gamma }(1+a-d-e)\mathrm{\Gamma }(1+a-d-f)\mathrm{\Gamma }(1+a-e-f)\mathrm{\Gamma }(b-a)}\end{array}$$
と表すことができる. これはNon-terminating Dougallの和公式である.