Weiの3F2和公式

まず,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(b+n)\Gamma(a+b+c+d+n-1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(a+b+c+n)\Gamma(a+b+d+n)}\\ &=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(a+b+c+d-1)}{\Gamma(a+b+c)\Gamma(a+b+d)}\F32{a,b,a+b+c+d-1}{a+b+c,a+b+d}1 \end{align}
であり, Thomaeの変換公式
\begin{align} \F32{a,b,c}{d,e}1&=\frac{\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(d+e-a-b-c)}{\Gamma(a)\Gamma(d+e-a-b)\Gamma(d+e-a-c)}\F32{d-a,e-a,d+e-a-b-c}{d+e-a-b,d+e-a-c}1 \end{align}
において, $a\mapsto a+b+c+d-1, b\mapsto a,c\mapsto b, d\mapsto a+b+c,e\mapsto a+b+d$として,
\begin{align} &\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(a+b+c+d-1)}{\Gamma(a+b+c)\Gamma(a+b+d)}\F32{a,b,a+b+c+d-1}{a+b+c,a+b+d}1\\ &=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(a+b+c+d-1)}{\Gamma(a+b+c)\Gamma(a+b+d)}\frac{\Gamma(a+b+c)\Gamma(a+b+d)}{\Gamma(a+b+c+d-1)\Gamma(a+1)\Gamma(b+1)}\\ &\cdot\F32{1-c,1-d,1}{1+a,1+b}1\\ &=\frac 1{ab}\sum_{0\leq n}\frac{(1-c,1-d)_n}{(1+a,1+b)_n} \end{align}
である. よって,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(b+n)\Gamma(a+b+c+d+n-1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(a+b+c+n)\Gamma(a+b+d+n)}+ \sum_{0\leq n}\frac{\Gamma(c+n)\Gamma(d+n)\Gamma(a+b+c+d+n-1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(c+d+a+n)\Gamma(c+d+b+n)}\\ &=\frac 1{ab}\sum_{0\leq n}\frac{(1-c,1-d)_n}{(1+a,1+b)_n}+\frac 1{cd}\sum_{0\leq n}\frac{(1-a,1-b)_n}{(1+c,1+d)_n}\\ &=\sum_{n\in\ZZ}\frac{(1-c,1-d)_n}{(1+a,1+b)_n} \end{align}
ここで, Dougallの2H2和公式より
\begin{align} \frac 1{ab}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(1-c,1-d)_n}{(1+a,1+b)_n}&=\frac 1{ab}\frac{\Gamma(1+a)\Gamma(1+b)\Gamma(c)\Gamma(d)\Gamma(a+b+c+d-1)}{\Gamma(a+c)\Gamma(a+d)\Gamma(b+c)\Gamma(b+d)}\\ &=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(d)\Gamma(a+b+c+d-1)}{\Gamma(a+c)\Gamma(a+d)\Gamma(b+c)\Gamma(b+d)} \end{align}
だから, 定理が得られる.