Gosperによるz=3/4における3F2の和公式2
前の記事
でGosperによる2つの${}_3F_2$の和公式
\begin{align}
\F32{\frac 12+3x,\frac 12-3x,y}{\frac 12,3y}{\frac 34}&=\frac{2\Gamma\left(\frac 13+y\right)\Gamma\left(\frac 23+y\right)\cos\pi x}{\sqrt 3\Gamma\left(\frac 12+x+y\right)\Gamma\left(\frac 12-x+y\right)}\\
\F32{1+3x,1-3x,y}{\frac 32,3y-1}{\frac 34}&=\frac{2\Gamma\left(y-\frac 13\right)\Gamma\left(y+\frac 13\right)\sin\pi x}{3\sqrt 3x\Gamma(y+x)\Gamma(y-x)}
\end{align}
を示した. 一方,
前回の記事
で示した式は
\begin{align}
\cos(2x\arcsin t)&=\F21{-x,x}{\frac 12}{t^2}\\
\frac{\sin(2x\arcsin t)}{x}&=2t\sqrt{1-t^2}\F21{1-x,1+x}{\frac 32}{t^2}
\end{align}
であり, 1つ目の式はEulerの変換公式より
\begin{align}
\cos(2x\arcsin t)&=\sqrt{1-t^2}\F21{\frac 12-x,\frac 12+x}{\frac 12}{t^2}
\end{align}
と書き換えられる. これらはGosperの和公式は非常に似ているので, これらの公式を用いることで, Gosperの和公式を示すことができるのではないかと思ったので, 今回はそれを実行したいと思う. まず,
\begin{align}
\cos(2x\arcsin t)&=\sqrt{1-t^2}\F21{\frac 12-x,\frac 12+x}{\frac 12}{t^2}
\end{align}
は以下のように書き換えられる.
\begin{align}
\F21{\frac 12-3x,\frac 12+3x}{\frac 12}{\frac {3t}4}&=\frac{\cos(6x\arcsin \sqrt \frac{3t}4)}{\sqrt{1-\frac {3t}4}}
\end{align}
これに$t^{y-1}(1-t)^{2y-1}$を掛けて$(0,1)$で積分すると, 途中で三倍角の公式を用いて,
\begin{align}
&\frac{\Gamma(y)\Gamma(2y)}{\Gamma(3y)}\F32{\frac 12+3x,\frac 12-3x,y}{\frac 12,3y}{\frac 34}\\
&=\int_0^1\frac{\cos(2x\arcsin \sqrt \frac{3t}4)}{\sqrt{1-\frac {3t}4}}t^{y-1}(1-t)^{2y-1}\,dt\\
&=\frac{4^y}{3^{3y-1}}\int_0^{\frac 34}\frac{\cos(6x\arcsin \sqrt t)}{\sqrt{1-t}}t^{y-1}(3-4t)^{2y-1}\,dt\qquad t\mapsto \frac{4t}3\\
&=\frac{2^{2y+1}}{3^{3y-1}}\int_0^{\frac{\pi}3}\cos(6xt)(\sin t)^{2y-1}(3-4\sin^2 t)^{2y-1}\,dt\qquad t\mapsto \sin^2t\\
&=\frac{2^{2y+1}}{3^{3y-1}}\int_0^{\frac{\pi}3}\cos(6xt)(\sin 3t)^{2y-1}\,dt\\
&=\frac{2^{2y+1}}{3^{3y}}\int_0^{\pi}\cos(2xt)\sin^{2y-1} t\,dt\qquad t\mapsto \frac t3
\end{align}
と変形できる. ここで, Cauchyのベータ積分(
前の記事
の系2)より
\begin{align}
\int_0^{\pi}\cos(2xt)\sin^{2y-1} t\,dt&=\frac{2^{1-2y}\pi\Gamma(2y)\cos\pi x}{\Gamma\left(\frac 12+x+y\right)\Gamma\left(\frac 12-x+y\right)}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\F32{\frac 12+3x,\frac 12-3x,y}{\frac 12,3y}{\frac 34}\\
&=\frac{\Gamma(3y)}{\Gamma(y)\Gamma(2y)}\frac{2^{2y+1}}{3^{3y}}\frac{2^{1-2y}\pi\Gamma(2y)\cos\pi x}{\Gamma\left(\frac 12+x+y\right)\Gamma\left(\frac 12-x+y\right)}\\
&=\frac{\Gamma(3y)}{\Gamma(y)}\frac{1}{3^{3y}}\frac{4\pi\cos\pi x}{\Gamma\left(\frac 12+x+y\right)\Gamma\left(\frac 12-x+y\right)}\\
&=\frac{2\Gamma\left(y+\frac 13\right)\Gamma\left(y+\frac 23\right)\cos\pi x}{\sqrt 3\Gamma\left(\frac 12+x+y\right)\Gamma\left(\frac 12-x+y\right)}\\
\end{align}
となって1つ目のGosperの和公式が得られた. 同様に,
\begin{align}
\frac{\sin(2x\arcsin t)}{x}&=2t\sqrt{1-t^2}\F21{1-x,1+x}{\frac 32}{t^2}
\end{align}
を
\begin{align}
\F21{1-3x,1+3x}{\frac 32}{\frac{3t}4}&=\frac{\sin(6x\arcsin\sqrt{\frac{3t}4})}{6x\sqrt{\frac{3t}4\left(1-\frac{3t}4\right)}}
\end{align}
と書き換えて, $t^{y-1}(1-t)^{2y-2}$を掛けて$(0,1)$で積分すると
\begin{align}
&\frac{\Gamma(y)\Gamma(2y-1)}{\Gamma(3y-1)}\F32{1-3x,1+3x,y}{\frac 32,3y-1}{\frac 34}\\
&=\int_0^1\frac{\sin(6x\arcsin\sqrt{\frac{3t}4})}{6x\sqrt{\frac{3t}4\left(1-\frac{3t}4\right)}}t^{y-1}(1-t)^{2y-2}\,dt\\
&=\frac{2^{2y-1}}{3^{3y-1}x}\int_0^\frac 34\frac{\sin(6x\arcsin\sqrt{t})}{\sqrt{t\left(1-t\right)}}t^{y-1}(3-4t)^{2y-2}\,dt\qquad t\mapsto\frac{4t}3\\
&=\frac{2^{2y}}{3^{3y-1}x}\int_0^{\frac{\pi}3}\sin(6xt)(\sin t)^{2y-2}(3-4\sin^2 t)^{2y-2}\,dt\qquad t\mapsto\sin^2 t\\
&=\frac{2^{2y}}{3^{3y-1}x}\int_0^{\frac{\pi}3}\sin(6xt)(\sin 3t)^{2y-2}\,dt\\
&=\frac{2^{2y}}{3^{3y}x}\int_0^{\pi}\sin(2xt)\sin^{2y-2} t\,dt\qquad t\mapsto \frac t3
\end{align}
ここで, Cauchyのベータ積分(
前の記事
の系2)より
\begin{align}
\int_0^{\pi}\sin(2xt)\sin^{2y-2} t\,dt&=\frac{2^{2-2y}\pi\Gamma(2y-1)\sin\pi x}{\Gamma(y+x)\Gamma(y-x)}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\F32{1-3x,1+3x,y}{\frac 32,3y-1}{\frac 34}\\
&=\frac{\Gamma(3y-1)}{\Gamma(y)\Gamma(2y-1)}\frac{2^{2y}}{3^{3y}x}\frac{2^{2-2y}\pi\Gamma(2y-1)\sin\pi x}{\Gamma(y+x)\Gamma(y-x)}\\
&=\frac{\Gamma(3y-1)}{\Gamma(y)}\frac{1}{3^{3y}x}\frac{4\pi\sin\pi x}{\Gamma(y+x)\Gamma(y-x)}\\
&=\frac{2\Gamma\left(y-\frac 13\right)\Gamma\left(y+\frac 13\right)\sin\pi x}{3\sqrt 3x\Gamma(y+x)\Gamma(y-x)}
\end{align}
となって2つ目のGosperの和公式も得られる.
このように, Chebyshev関数の超幾何関数による表示, 三倍角の公式とCauchyのベータ積分を用いることによって, Gosperの2つの和公式に簡潔な別証明を与えることができるのは面白いと思った.
追記
これらの証明はChuの2017年の論文に書かれているようである.
