Karlssonによるz=1/4における3F2の和公式
Baileyによる${}_3F_2$の3次変換公式
\begin{align}
&(1-x)^{-3a}\F32{a,a+\frac 13,a+\frac 23}{b,c}{-\frac{27x}{4(1-x)^3}}\\
&=\F32{3a,\frac 12+b-c,\frac 12+c-b}{b,c}{\frac x4}\qquad b+c=3a+\frac 32
\end{align}
において, $x\to 1$を考える. 左辺はMellin-Barnes積分を用いて
\begin{align}
&(1-x)^{-3a}\F32{a,a+\frac 13,a+\frac 23}{b,c}{-\frac{27x}{4(1-x)^3}}\\
&=(1-x)^{-3a}\frac{\Gamma(b)\Gamma(c)}{\Gamma(3a)}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(3a+3s)\Gamma(-s)}{\Gamma(b+s)\Gamma(c+s)}\left(\frac{x}{4(1-x)^3}\right)^s\,ds\\
&=\left(\frac{4}{x}\right)^a\frac{\Gamma(b)\Gamma(c)}{\Gamma(3a)}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(-3s)\Gamma(a+s)}{\Gamma(b-a-s)\Gamma(c-a-s)}\left(\frac{4(1-x)^3}{x}\right)^{s}\,ds\qquad s\mapsto -a-s\\
&=\left(\frac{4}{x}\right)^a\frac{\Gamma(b)\Gamma(c)}{\Gamma(3a)}\left(\frac 13\frac{\Gamma(a)}{\Gamma(b-a)\Gamma(c-a)}-\frac{\Gamma\left(a+\frac 13\right)}{3\Gamma\left(b-a-\frac 13\right)\Gamma\left(c-a-\frac 13\right)}\left(\frac 4x\right)^{\frac 13}(1-x)+O((1-x)^2)\right)\qquad x\to 1
\end{align}
と展開できるから, $x\to 1$を考えると
\begin{align}
\F32{3a,\frac 12+b-c,\frac 12+c-b}{b,c}{\frac 14}&=\frac{ 4^a\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c)}{3\Gamma(3a)\Gamma(b-a)\Gamma(c-a)}
\end{align}
が成り立つことが分かる. さらに,
\begin{align}
&x^a\F32{3a,\frac 12+b-c,\frac 12+c-b}{b,c}{\frac x4}\\
&=\frac{4^a\Gamma(b)\Gamma(c)}{\Gamma(3a)}\left(\frac 13\frac{\Gamma(a)}{\Gamma(b-a)\Gamma(c-a)}-\frac{\Gamma\left(a+\frac 13\right)}{3\Gamma\left(b-a-\frac 13\right)\Gamma\left(c-a-\frac 13\right)}\left(\frac 4x\right)^{\frac 13}(1-x)+O((1-x)^2)\right)
\end{align}
の両辺を$x$で微分してから$x\to 1$とすると,
\begin{align}
&a\F43{3a,1+a,\frac 12+b-c,\frac 12+c-b}{a,b,c}{\frac 14}\\
&=\frac{4^{a+\frac 13}\Gamma\left(a+\frac 13\right)\Gamma(b)\Gamma(c)}{3\Gamma(3a)\Gamma\left(b-a-\frac 13\right)\Gamma\left(c-a-\frac 13\right)}
\end{align}
つまり, 以下を得る.
$b+c=3a+\frac 32$のとき,
\begin{align}
\F32{3a,\frac 12+b-c,\frac 12+c-b}{b,c}{\frac 14}&=\frac{4^a\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c)}{3\Gamma(3a)\Gamma(b-a)\Gamma(c-a)}\\
\F43{3a,1+a,\frac 12+b-c,\frac 12+c-b}{a,b,c}{\frac 14}&=\frac{4^{a+\frac 13}\Gamma\left(a+\frac 13\right)\Gamma(b)\Gamma(c)}{\Gamma(3a+1)\Gamma\left(b-a-\frac 13\right)\Gamma\left(c-a-\frac 13\right)}
\end{align}
が成り立つ.
1つ目の式は
\begin{align}
\F32{6a,2b,1-2b}{3a+b+\frac 12,3a-b+1}{\frac 14}&=\frac{16^a\Gamma\left(3a+b+\frac 12\right)\Gamma(3a-b+1)\Gamma(2a+1)}{\Gamma\left(a+b+\frac 12\right)\Gamma(a-b+1)\Gamma(6a+1)}
\end{align}
と書き換えることができ, Karlssonの論文にはこの形で書かれている. 2つ目の式は
\begin{align}
\frac{(1+a)_n}{(a)_n}&=\frac{n+a}a
\end{align}
であるから, 1つ目の式と上手く足し合わせて
\begin{align}
\F32{3a+1,\frac 12+b-c,\frac 12+c-b}{b,c}{\frac 14}
\end{align}
を用いて書くこともでき, Karlssonの論文にはこの形でパラメータを上のように置き換えた形で書かれている.
定理1は3次変換公式の特殊化として得られる和公式であるので, 3次の和公式と呼ぶのが妥当かもしれない. 他の${}_3F_2$の3次の和公式の例として,
前の記事
においてVerma-Jainの3次変換公式の系として得られる$z=\frac 34$における和公式
\begin{align}
\F32{d,a-d,\frac a3}{\frac a2,\frac{a+1}2}{\frac 34}=\frac{\Gamma(1+a)\Gamma\left(1+\frac{a-d}3\right)\Gamma\left(1+\frac d3\right)}{\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+d)\Gamma\left(1+\frac a3\right)}
\end{align}
があるが, 他にもこのような2変数の3次の和公式がどれぐらいあるのかは気になるところである.
Ramanujanの公式
定理1の2つ目の式において, $b=c=1$とすると, $a=\frac 16$となり,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(6n+1)\binom{2n}n^3}{2^{8n}}&=\frac{4}{\pi}
\end{align}
を得る. これはRamanujanによる$\frac 1{\pi}$の公式の中でも特にシンプルなものである.
追記
定理1の2つの等式はGessel-Stantonによる1982年の公式
\begin{align}
\F54{2a,1+\frac{2a}3,2b,1-2b,a-d}{\frac{2a}3,1+a-b,\frac 12+a+b,1+2d}{\frac 14}&=\frac{\Gamma(d+1)\Gamma\left(d+\frac 12\right)\Gamma(1+a-b)\Gamma\left(\frac 12+a+b\right)}{\Gamma(a+1)\Gamma\left(a+\frac 12\right)\Gamma(1-b+d)\Gamma\left(\frac 12+b+d\right)}
\end{align}
の特別な場合になっているようである.
