Gasper-RahmanによるGosper予想のq類似

前の記事 でGosperによる和公式
\begin{align} \F32{\frac 12+3x,\frac 12-3x,y}{\frac 12,3y}{\frac 34}&=\frac{2\Gamma\left(\frac 13+y\right)\Gamma\left(\frac 23+y\right)\cos\pi x}{\sqrt 3\Gamma\left(\frac 12+x+y\right)\Gamma\left(\frac 12-x+y\right)} \end{align}
を示した. その一般化として次のような和公式が知られている.
\begin{align} &\F76{a,a+\frac 12,b,1-b,c,\frac{2a+1}3-c,1+\frac a2}{\frac 12,\frac{2a-b+3}3,\frac{2a+b+2}3,3c,2a+1-3c,\frac a2}{1}\\ &=\frac2{\sqrt 3}\frac{\Gamma\left(c+\frac 13\right)\Gamma\left(c+\frac 23\right)\Gamma\left(1+\frac{2a-b}3\right)\Gamma\left(\frac{2a+b+2}3\right)\Gamma\left(\frac{2a+2}3-c\right)\Gamma\left(1+\frac{2a}3-c\right)\sin\frac{\pi(b+1)}3}{\Gamma\left(\frac{2a+2}3\right)\Gamma\left(1+\frac{2a}3\right)\Gamma\left(c+\frac{b+1}3\right)\Gamma\left(c+\frac{2-b}3\right)\Gamma\left(\frac{2a+b+2}3-c\right)\Gamma\left(1+\frac{2a-b}3-c\right)} \end{align}
この等式はGosperによって予想され, Gessel-Stantonの1982年の論文で示せなかった予想として残っていたが, Gasper-Rahmanによって1990年に示された. その論文において, Gasper-Rahmanはこの等式の$q$類似を示しており, 今回はそれについて解説したいと思う.

Terminatingな場合

前の記事 で示したGasper-Rahmanのbibasic超幾何級数の和公式は以下のようなものである.
\begin{align} &\sum_{k=-m}^n\frac{(1-adp^kq^k)(1-bp^k/dq^k)}{(1-ad)(1-b/d)}\frac{(a,b;p)_k(c,ad^2/bc;q)_k}{(dq,adq/b;q)_k(adp/c,bcp/d;p)_k}q^k\\ &=\frac{(1-a)(1-b)(1-c)(1-ad^2/bc)}{d(1-ad)(1-b/d)(1-c/d)(1-ad/bc)}\\ &\cdot \left(\frac{(ap,bp;p)_n(cq,ad^2q/bc;q)_n}{(dq,adq/b;q)_n(adp/c,bcp/d;p)_n}-\frac{(c/ad,d/bc;p)_{m+1}(1/d,b/ad;q)_{m+1}}{(1/c,bc/ad^2;q)_{m+1}(1/a,1/b;p)_{m+1}}\right) \end{align}
ここにおいて, $m=0$とすると,
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\frac{(1-adp^kq^k)(1-bp^k/dq^k)}{(1-ad)(1-b/d)}\frac{(a,b;p)_k(c,ad^2/bc;q)_k}{(dq,adq/b;q)_k(adp/c,bcp/d;p)_k}q^k\\ &=\frac{(1-a)(1-b)(1-c)(1-ad^2/bc)}{d(1-ad)(1-b/d)(1-c/d)(1-ad/bc)}\\ &\cdot \left(\frac{(ap,bp;p)_n(cq,ad^2q/bc;q)_n}{(dq,adq/b;q)_n(adp/c,bcp/d;p)_n}-\frac{(1-c/ad)(1-d/bc)(1-1/d)(1-b/ad)}{(1-1/c)(1-bc/ad^2)(1-1/a)(1-1/b)}\right)\\ &=\frac{(1-a)(1-b)(1-c)(1-ad^2/bc)}{d(1-ad)(1-b/d)(1-c/d)(1-ad/bc)}\frac{(ap,bp;p)_n(cq,ad^2q/bc;q)_n}{(dq,adq/b;q)_n(adp/c,bcp/d;p)_n}\\ &\qquad-\frac{a^2d(1-c/ad)(1-d/bc)(1-1/d)(1-b/ad)}{(1-ad)(1-b/d)(1-c/d)(1-ad/bc)}\\ &=\frac{(1-a)(1-b)(1-c)(1-ad^2/bc)}{d(1-ad)(1-b/d)(1-c/d)(1-ad/bc)}\frac{(ap,bp;p)_n(cq,ad^2q/bc;q)_n}{(dq,adq/b;q)_n(adp/c,bcp/d;p)_n}\\ &\qquad-\frac{(1-d)(1-ad/b)(1-ad/c)(1-bc/d)}{d(1-ad)(1-b/d)(1-c/d)(1-ad/bc)} \end{align}
となる. さらに, $c=q^{-n}$とすると, 第1項が消えて,
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\frac{(1-adp^kq^k)(1-bp^k/dq^k)}{(1-ad)(1-b/d)}\frac{(a,b;p)_k(q^{-n},ad^2q^n/b;q)_k}{(dq,adq/b;q)_k(adpq^n,bp/dq^n;p)_k}q^k\\ &=-\frac{(1-d)(1-ad/b)(1-adq^n)(1-bq^{-n}/d)}{d(1-ad)(1-b/d)(1-q^{-n}/d)(1-adq^n/b)}\\ &=\frac{(1-d)(1-ad/b)(1-adq^n)(1-dq^{n}/b)}{(1-ad)(1-d/b)(1-dq^{n})(1-adq^n/b)} \end{align}
ここで, $q=p^3$としてから$p\mapsto q, d\mapsto c$とすると,
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k(q^{-3n},ac^2q^{3n}/b;q^3)_k}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(acq^{3n+1},bq^{1-3n}/c;q)_k}q^{3k}\\ &=\frac{(1-c)(1-ac/b)(1-acq^{3n})(1-cq^{3n}/b)}{(1-ac)(1-c/b)(1-cq^{3n})(1-acq^{3n}/b)} \end{align}
を得る. 両辺に
\begin{align} \frac{(ac^2/b;q^3)_n(c/b;q)_{3n}}{(q^3;q^3)_n(acq;q)_{3n}}A_n \end{align}
を掛けて$0\leq n$に関して足し合わせて,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(ac^2/b;q^3)_n(cq/b;q)_{3n}}{(q^3;q^3)_n(ac;q)_{3n}}\frac{(1-c)(1-ac/b)}{(1-cq^{3n})(1-acq^{3n}/b)}A_n\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(ac^2/b;q^3)_n(c/b;q)_{3n}}{(q^3;q^3)_n(acq;q)_{3n}}A_n\\ &\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k(q^{-3n},ac^2q^{3n}/b;q^3)_k}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(acq^{3n+1},bq^{1-3n}/c;q)_k}q^{3k}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k}q^{3k}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(ac^2/b;q^3)_{n+k}(c/b;q)_{3n}}{(q^3;q^3)_n(acq;q)_{3n+k}}A_n\frac{(q^{-3n};q^3)_k}{(bq^{1-3n}/c;q)_k}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k}\left(\frac cb\right)^kq^{k(k+1)}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(ac^2/b;q^3)_{n+k}(c/b;q)_{3n-k}}{(q^3;q^3)_{n-k}(acq;q)_{3n+k}}A_n\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k}\left(\frac cb\right)^kq^{k(k+1)}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(ac^2/b;q^3)_{n+2k}(c/b;q)_{3n+2k}}{(q^3;q^3)_{n}(acq;q)_{3n+4k}}A_{n+k}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k(ac^2/b;q^3)_{2k}(c/b;q)_{2k}}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(acq;q)_{4k}}\left(\frac cb\right)^kq^{k(k+1)}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(ac^2q^{6k}/b;q^3)_{n}(cq^{2k}/b;q)_{3n}}{(q^3;q^3)_{n}(acq^{4k+1};q)_{3n}}A_{n+k} \end{align}
ここで,
\begin{align} A_n&=\frac{1-a^2cq^{6n}/b}{1-ac^2/b}\frac{(d,e;q^3)_n}{(ac^2q^3/bd,ac^2q^3/be;q^2)_n}z^n \end{align}
と選ぶと,
\begin{align} W(a;b_1,\dots,b_r;q;z):=\Q{r+3}{r+2}{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b_1,\dots,b_r}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b_1,\dots,aq/b_r}{q;z} \end{align}
として,
\begin{align} &W(ac^2/b;c,d,e,ac/b,cq/b,cq^2/b,cq^3/b;q^3;z)\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(ac^2/b;q^3)_n(cq/b;q)_{3n}}{(q^3;q^3)_n(ac;q)_{3n}}\frac{(1-c)(1-ac/b)}{(1-cq^{3n})(1-acq^{3n}/b)}\frac{1-ac^2q^{6n}/b}{1-ac^2/b}\frac{(d,e;q^3)_n}{(ac^2q^3/bd,ac^2q^3/be;q^2)_n}z^n\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k(ac^2/b;q^3)_{2k}(c/b;q)_{2k}}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(acq;q)_{4k}}\left(\frac cb\right)^kq^{k(k+1)}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(ac^2q^{6k}/b;q^3)_{n}(cq^{2k}/b;q)_{3n}}{(q^3;q^3)_{n}(acq^{4k+1};q)_{3n}}\frac{1-a^2cq^{6n+6k}/b}{1-ac^2/b}\frac{(d,e;q^3)_{n+k}}{(ac^2q^3/bd,ac^2q^3/be;q^2)_{n+k}}z^{n+k}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k(ac^2q^3/b;q^3)_{2k}(c/b;q)_{2k}}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(acq;q)_{4k}}\left(\frac cb\right)^kq^{k(k+1)}\\ &\qquad\cdot\frac{(d,e;q^3)_k}{(ac^2q^3/bd,ac^2q^3/be;q^3)_k}z^k\\ &\qquad\cdot W(ac^2q^{6k}/b;dq^{3k},eq^{3k},cq^{2k}/b,cq^{2k+1}/b,cq^{2k+2}/b;q^3;z) \end{align}
ここで, $d=q^{-3n},e=a^2bcq^{3n},z=q^3$とすると, Jacksonの${}_8\phi_7$和公式 より,
\begin{align} &W(ac^2/b;c,q^{-3n},a^2bcq^{3n},ac/b,cq/b,cq^2/b,cq^3/b;q^3;q^3)\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k(ac^2q^3/b;q^3)_{2k}(c/b;q)_{2k}}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(acq;q)_{4k}}\left(\frac cb\right)^kq^{k(k+1)}\\ &\qquad\cdot\frac{(q^{-3n},a^2bcq^{3n};q^3)_k}{(ac^2q^{3n+3}/b,cq^{3-3n}/ab^2;q^3)_k}q^{3k}\\ &\qquad\cdot W(ac^2q^{6k}/b;q^{3k-3n},a^2bcq^{3n+3k},cq^{2k}/b,cq^{2k+1}/b,cq^{2k+2}/b;q^3;q^3)\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k(ac^2q^3/b;q^3)_{2k}(c/b;q)_{2k}}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(acq;q)_{4k}}\left(\frac cb\right)^kq^{k(k+1)}\\ &\qquad\cdot\frac{(q^{-3n},a^2bcq^{3n};q^3)_k}{(ac^2q^{3n+3}/b,cq^{3-3n}/ab^2;q^3)_k}q^{3k}\\ &\qquad\cdot \frac{(ac^2q^{6k+3}/b,abq^{2k+2},abq^{2k+1},abq^{2k};q^3)_{n-k}}{(acq^{4k+3},acq^{4k+2},acq^{4k+1},ab^2/c;q^3)_{n-k}}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k(ac^2q^3/b;q^3)_{2k}(c/b;q)_{2k}}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(acq;q)_{4k}}\left(\frac cb\right)^kq^{k(k+1)}\\ &\qquad\cdot\frac{(q^{-3n},a^2bcq^{3n};q^3)_k}{(ac^2q^{3n+3}/b,cq^{3-3n}/ab^2;q^3)_k}q^{3k}\frac{(ac^2q^{6k+3}/b;q^3)_{n-k}(abq^{2k};q)_{3n-3k}}{(acq^{4k+1};q)_{3n-3k}(ab^2/c;q^3)_{n-k}}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k(ac^2q^3/b;q^3)_{n+k}(c/b;q)_{2k}}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(acq;q)_{3n+k}(ab;q)_{2k}}\left(\frac cb\right)^kq^{k(k+1)}\\ &\qquad\cdot\frac{(q^{-3n},a^2bcq^{3n};q^3)_k}{(ac^2q^{3n+3}/b,cq^{3-3n}/ab^2;q^3)_k}q^{3k}\frac{(ab;q)_{3n-k}}{(ab^2/c;q^3)_{n-k}}\\ &=\frac{(ab;q)_{3n}(ac^2q^3/b;q^3)_n}{(acq;q)_{3n}(ab^2/c;q^3)_n}\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k(c/b;q)_{2k}(q^{-3n},a^2bcq^{3n};q^3)_k}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(ab;q)_{2k}(acq^{3n+1},q^{1-3n}/ab;q)_{k}}q^{3k}\\ &=\frac{(ab;q)_{3n}(ac^2q^3/b;q^3)_n}{(acq;q)_{3n}(ab^2/c;q^3)_n}\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{4k}}{1-ac}\frac{(a,b;q)_k(cq/b;q)_{2k}(q^{-3n},a^2bcq^{3n};q^3)_k}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(ab;q)_{2k}(acq^{3n+1},q^{1-3n}/ab;q)_{k}}q^{k} \end{align}
よって, 以下を得る.

定理1において, 特に$b=q/a$とすると,
\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{4k}}{1-ac}\frac{(a,q/a;q)_k(ac;q)_{2k}(q^{-3n},abq^{3n+1};q^3)_k}{(cq^3,a^2cq^2;q^3)_k(q;q)_{2k}(acq^{3n+1},q^{-3n};q)_{k}}q^{k}\\ &=\frac{(acq;q)_{3n}(q^2/ac;q^3)_n}{(q;q)_{3n}(a^2c^2q^2;q^3)_n}W(a^2c^2/q;c,q^{-3n},acq^{3n+1},a^2c/q,acq;q^3;q^3)\\ &=\frac{(acq;q)_{3n}(q^2/ac;q^3)_n}{(q;q)_{3n}(a^2c^2q^2;q^3)_n}\frac{(a^2c^2q^2,q^3,aq,q^2/a;q^3)_n}{(a^2cq^2,cq^3,acq,q^2/ac;q^3)_n}\\ &=\frac{(aq,q^2/a,acq^2,acq^3;q^3)_n}{(q,q^2,a^2cq^2,cq^3;q^3)_n} \end{align}
つまり, 以下を得る.

Non-terminatingへの一般化

次に, 定理1をnon-terminatingに拡張することを考える. 定理1の証明の過程の式
\begin{align} &W(ac^2/b;c,d,e,ac/b,cq/b,cq^2/b,cq^3/b;q^3;z)\\&=\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k(ac^2q^3/b;q^3)_{2k}(c/b;q)_{2k}}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(acq;q)_{4k}}\left(\frac cb\right)^kq^{k(k+1)}\\ &\qquad\cdot\frac{(d,e;q^3)_k}{(ac^2q^3/bd,ac^2q^3/be;q^3)_k}z^k\\ &\qquad\cdot W(ac^2q^{6k}/b;dq^{3k},eq^{3k},cq^{2k}/b,cq^{2k+1}/b,cq^{2k+2}/b;q^3;z) \end{align}
において, $z=q^3, e=a^2bc/d$とすると,
\begin{align} &W(ac^2/b;c,d,a^2bc/d,ac/b,cq/b,cq^2/b,cq^3/b;q^3;q^3)\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k(ac^2q^3/b;q^3)_{2k}(c/b;q)_{2k}}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(acq;q)_{4k}}\left(\frac cb\right)^kq^{k(k+1)}\\ &\qquad\cdot\frac{(d,a^2bc/d;q^3)_k}{(ac^2q^3/bd,cdq^3/ab^2;q^3)_k}q^{3k}\\ &\qquad\cdot W(ac^2q^{6k}/b;dq^{3k},a^2bcq^{3k}/d,cq^{2k}/b,cq^{2k+1}/b,cq^{2k+2}/b;q^3;q^3) \end{align}
となる. ここで, non-terminating Jacksonの和公式 より,
\begin{align} &W(ac^2q^{6k}/b;dq^{3k},a^2bcq^{3k}/d,cq^{2k}/b,cq^{2k+1}/b,cq^{2k+2}/b;q^3;q^3)\\ &=\frac{(ac^2q^{6k+3}/b,dq^{k+3}/ab,dq^{k+2}/ab,dq^{k+1}/ab,abq^{2k+2},abq^{2k+1},abq^{2k},bdq^{-3k}/ac^2;q^3)_{\infty}}{(cdq^{3k+3}/ab^2,acq^{4k+3},acq^{4k+2},acq^{4k+1},ab^2/c,dq^{-k}/ac,dq^{1-k}/ac,dq^{2-k}/ac;q^3)_{\infty}}\\ &\qquad+\frac{bdq^{-3k}}{ac^2}\frac{(ac^2q^{6k+3}/b,bdq^{3-3k}/ac^2,d^2q^{3}/a^2bc,bdq^{k+3}/c,bdq^{k+2}/c,bdq^{k+1}/c,a^2bcq^{3k}/d,cq^{2k}/b,cq^{2k+1}/b,cq^{2k+2}/b;q^3)_{\infty}}{(ac^2q^{3k+3}/bd,cdq^{3k+3}/ab^2,acq^{4k+3},acq^{4k+2},acq^{4k+1},ab^2/c,dq^{-k}/ac,dq^{1-k}/ac,dq^{2-k}/ac,bd^2q^3/ac^2;q^3)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot W(bd^2/ac^2;dq^{3k},ab^2/c,dq^{-k}/ac,dq^{1-k}/ac,dq^{2-k}/ac;q^3;q^3)\\ &=\frac{(ac^2q^{6k+3}/b,bdq^{-3k}/ac^2;q^3)_{\infty}(dq^{k+1}/ab,abq^{2k};q)_{\infty}}{(cdq^{3k+3}/ab^2,ab^2/c;q^3)_{\infty}(acq^{4k+1},dq^{-k}/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad+\frac{bdq^{-3k}}{ac^2}\frac{(ac^2q^{6k+3}/b,bdq^{3-3k}/ac^2,d^2q^{3}/a^2bc,a^2bcq^{3k}/d;q^3)_{\infty}(bdq^{k+1}/c,cq^{2k}/b;q)_{\infty}}{(ac^2q^{3k+3}/bd,cdq^{3k+3}/ab^2,ab^2/c,bd^2q^3/ac^2;q^3)_{\infty}(acq^{4k+1},dq^{-k}/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot W(bd^2/ac^2;dq^{3k},ab^2/c,dq^{-k}/ac,dq^{1-k}/ac,dq^{2-k}/ac;q^3;q^3)\\ &=\frac{(ac^2q^{3}/b,bd/ac^2;q^3)_{\infty}(dq/ab,ab;q)_{\infty}}{(cdq^{3}/ab^2,ab^2/c;q^3)_{\infty}(acq,d/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(cdq^3/ab^2;q^3)_k(acq;q)_{4k}(d/ac;q)_{-k}}{(ac^2q^3/b;q^3)_{2k}(bd/ac^2;q^3)_{-k}(dq/ab;q)_k(ab;q)_{2k}}\\ &\qquad+\frac{bd}{ac^2}\frac{(ac^2q^{3}/b,bdq^{3}/ac^2,d^2q^{3}/a^2bc,a^2bc/d;q^3)_{\infty}(bdq/c,c/b;q)_{\infty}}{(ac^2q^{3}/bd,cdq^{3}/ab^2,ab^2/c,bd^2q^3/ac^2;q^3)_{\infty}(acq,d/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(ac^2q^3/bd,cdq^3/ab^2;q^3)_k(acq;q)_{4k}(d/ac;q)_{-k}}{(ac^2q^3/b;q^3)_{2k}(bdq^3/ac^2;q^3)_{-k}(a^2bc/d;q^3)_k(bdq/c;q)_k(c/b;q)_{2k}}q^{-3k}\\ &\qquad\cdot W(bd^2/ac^2;dq^{3k},ab^2/c,dq^{-k}/ac,dq^{1-k}/ac,dq^{2-k}/ac;q^3;q^3)\\ &=\frac{(ac^2q^{3}/b,bd/ac^2;q^3)_{\infty}(dq/ab,ab;q)_{\infty}}{(cdq^{3}/ab^2,ab^2/c;q^3)_{\infty}(acq,d/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(cdq^3/ab^2,ac^2q^3/bd;q^3)_k(acq;q)_{4k}}{(ac^2q^3/b;q^3)_{2k}(dq/ab,acq/d;q)_k(ab;q)_{2k}}\left(\frac cb\right)^kq^{-k(k+1)}\\ &\qquad+\frac{bd}{ac^2}\frac{(ac^2q^{3}/b,bdq^{3}/ac^2,d^2q^{3}/a^2bc,a^2bc/d;q^3)_{\infty}(bdq/c,c/b;q)_{\infty}}{(ac^2q^{3}/bd,cdq^{3}/ab^2,ab^2/c,bd^2q^3/ac^2;q^3)_{\infty}(acq,d/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(ac^2q^3/bd,cdq^3/ab^2,ac^2/bd;q^3)_k(acq;q)_{4k}}{(ac^2q^3/b;q^3)_{2k}(a^2bc/d;q^3)_k(bdq/c,acq/d;q)_k(c/b;q)_{2k}}\left(\frac bc\right)^kq^{-k(k+1)}\\ &\qquad\cdot W(bd^2/ac^2;dq^{3k},ab^2/c,dq^{-k}/ac,dq^{1-k}/ac,dq^{2-k}/ac;q^3;q^3) \end{align}
であるから(Gasper-Rahmanの論文においてはこの等式に誤植が含まれていると思われるので注意.), これを代入すると,
\begin{align} &W(ac^2/b;c,d,a^2bc/d,ac/b,cq/b,cq^2/b,cq^3/b;q^3;q^3)\\ &=\frac{(ac^2q^{3}/b,bd/ac^2;q^3)_{\infty}(dq/ab,ab;q)_{\infty}}{(cdq^{3}/ab^2,ab^2/c;q^3)_{\infty}(acq,d/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k(ac^2q^3/b;q^3)_{2k}(c/b;q)_{2k}}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(acq;q)_{4k}}\left(\frac cb\right)^kq^{k(k+1)}\\ &\qquad\cdot\frac{(d,a^2bc/d;q^3)_k}{(ac^2q^3/bd,cdq^3/ab^2;q^3)_k}q^{3k}\\ &\qquad\cdot \frac{(cdq^3/ab^2,ac^2q^3/bd;q^3)_k(acq;q)_{4k}}{(ac^2q^3/b;q^3)_{2k}(dq/ab,acq/d;q)_k(ab;q)_{2k}}\left(\frac cb\right)^kq^{-k(k+1)}\\ &\qquad+\frac{bd}{ac^2}\frac{(ac^2q^{3}/b,bdq^{3}/ac^2,d^2q^{3}/a^2bc,a^2bc/d;q^3)_{\infty}(bdq/c,c/b;q)_{\infty}}{(ac^2q^{3}/bd,cdq^{3}/ab^2,ab^2/c,bd^2q^3/ac^2;q^3)_{\infty}(acq,d/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k(ac^2q^3/b;q^3)_{2k}(c/b;q)_{2k}}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(acq;q)_{4k}}\left(\frac cb\right)^kq^{k(k+1)}\\ &\qquad\cdot\frac{(d,a^2bc/d;q^3)_k}{(ac^2q^3/bd,cdq^3/ab^2;q^3)_k}q^{3k}\\ &\qquad\cdot\frac{(ac^2q^3/bd,cdq^3/ab^2,ac^2/bd;q^3)_k(acq;q)_{4k}}{(ac^2q^3/b;q^3)_{2k}(a^2bc/d;q^3)_k(bdq/c,acq/d;q)_k(c/b;q)_{2k}}\left(\frac bc\right)^kq^{-k(k+1)}\\ &\qquad\cdot W(bd^2/ac^2;dq^{3k},ab^2/c,dq^{-k}/ac,dq^{1-k}/ac,dq^{2-k}/ac;q^3;q^3)\\ &=\frac{(ac^2q^{3}/b,bd/ac^2;q^3)_{\infty}(dq/ab,ab;q)_{\infty}}{(cdq^{3}/ab^2,ab^2/c;q^3)_{\infty}(acq,d/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k(c/b;q)_{2k}(d,a^2bc/d;q^3)_k}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(ab;q)_{2k}(dq/ab,acq/d;q)_k}q^{3k}\\ &\qquad-\frac{(ac^2q^{3}/b,bd/ac^2,d^2q^{3}/a^2bc,a^2bc/d;q^3)_{\infty}(bdq/c,c/b;q)_{\infty}}{(ac^2/bd,cdq^{3}/ab^2,ab^2/c,bd^2q^3/ac^2;q^3)_{\infty}(acq,d/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k(d,ac^2/bd;q^3)_k}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(bdq/c,acq/d;q)_k}q^{3k}\\ &\qquad\cdot W(bd^2/ac^2;dq^{3k},ab^2/c,dq^{-k}/ac,dq^{1-k}/ac,dq^{2-k}/ac;q^3;q^3)\\ &=\frac{(ac^2q^{3}/b,bd/ac^2;q^3)_{\infty}(dq/ab,ab;q)_{\infty}}{(cdq^{3}/ab^2,ab^2/c;q^3)_{\infty}(acq,d/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{4k}}{1-ac}\frac{(a,b;q)_k(cq/b;q)_{2k}(d,a^2bc/d;q^3)_k}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(ab;q)_{2k}(dq/ab,acq/d;q)_k}q^{k}\\ &\qquad-\frac{(ac^2q^{3}/b,bd/ac^2,d^2q^{3}/a^2bc,a^2bc/d;q^3)_{\infty}(bdq/c,c/b;q)_{\infty}}{(ac^2/bd,cdq^{3}/ab^2,ab^2/c,bd^2q^3/ac^2;q^3)_{\infty}(acq,d/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k(d,ac^2/bd;q^3)_k}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(bdq/c,acq/d;q)_k}q^{3k}\\ &\qquad\cdot W(bd^2/ac^2;dq^{3k},ab^2/c,dq^{-k}/ac,dq^{1-k}/ac,dq^{2-k}/ac;q^3;q^3) \end{align}
を得る. ここで, 右辺第2項の足し合わせる順番を入れ替えて,
\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k(d,ac^2/bd;q^3)_k}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(bdq/c,acq/d;q)_k}q^{3k}\\ &\qquad\cdot W(bd^2/ac^2;dq^{3k},ab^2/c,dq^{-k}/ac,dq^{1-k}/ac,dq^{2-k}/ac;q^3;q^3)\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k(d,ac^2/bd;q^3)_k}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(bdq/c,acq/d;q)_k}q^{3k}\\ &\qquad\cdot \sum_{0\leq j}\frac{(1-bd^2q^{6j}/ac^2)(bd^2/ac^2,dq^{3k},ab^2/c,dq^{-k}/ac,dq^{1-k}/ac,dq^{2-k}/ac;q^3)_j}{(1-bd/ac^2)(q^3,bdq^{3-3k}/ac^2,d^2q^3/a^2bc,bdq^{k+3}/c,bdq^{k+2}/c,bdq^{k+1}/c;q^3)_j}q^{3j}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k}q^{3k}\\ &\qquad\cdot \sum_{0\leq j}\frac{(1-bd^2q^{6j}/ac^2)(bd^2/ac^2,ab^2/c;q^3)_j(d;q^3)_{k+j}(ac^2/bd;q^3)_{k-j}}{(1-bd/ac^2)(q^3,d^2q^3/a^2bc;q^3)_j(bdq/c;q)_{k+3j}(acq/d;q)_{k-3j}}\left(\frac{d^2}{a^2bc}\right)^jq^{3j^2}\\ &=\sum_{0\leq j}\frac{(1-bd^2q^{6j}/ac^2)(bd^2/ac^2,ab^2/c;q^3)_j}{(1-bd/ac^2)(q^3,d^2q^3/a^2bc;q^3)_j}\left(\frac{d^2}{a^2bc}\right)^jq^{3j^2}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k(d;q^3)_{k+j}(ac^2/bd;q^3)_{k-j}}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(bdq/c;q)_{k+3j}(acq/d;q)_{k-3j}}q^{3k}\\ &=\sum_{0\leq j}\frac{(1-bd^2q^{6j}/ac^2)(bd^2/ac^2,ab^2/c,d;q^3)_j(d/ac;q)_{3j}}{(1-bd/ac^2)(q^3,d^2q^3/a^2bc,bdq^3/ac^2;q^3)_j(bdq/c;q)_{3j}}q^{3j}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k(dq^{3j},ac^2q^{-3j}/bd;q^3)_{k}}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(bdq^{3j+1}/c,acq^{1-3j}/d;q)_{k}}q^{3k} \end{align}
ここで, 冒頭で述べたGasper-Rahmanのbibasic超幾何級数の和公式の系
\begin{align} &\sum_{k=0}^n\frac{(1-adp^kq^k)(1-bp^k/dq^k)}{(1-ad)(1-b/d)}\frac{(a,b;p)_k(c,ad^2/bc;q)_k}{(dq,adq/b;q)_k(adp/c,bcp/d;p)_k}q^k\\ &=\frac{(1-a)(1-b)(1-c)(1-ad^2/bc)}{d(1-ad)(1-b/d)(1-c/d)(1-ad/bc)}\frac{(ap,bp;p)_n(cq,ad^2q/bc;q)_n}{(dq,adq/b;q)_n(adp/c,bcp/d;p)_n}\\ &\qquad-\frac{(1-d)(1-ad/b)(1-ad/c)(1-bc/d)}{d(1-ad)(1-b/d)(1-c/d)(1-ad/bc)} \end{align}
において, $n\to\infty$として, $q=p^3$としてから$p\mapsto q^3$とすると,
\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{(1-adq^{4k})(1-b/dq^{2k})}{(1-ad)(1-b/d)}\frac{(a,b;q)_k(c,ad^2/bc;q^3)_k}{(dq^3,adq^3/b;q^3)_k(adq/c,bcq/d;q^3)_k}q^{3k}\\ &=\frac{1}{d(1-ad)(1-b/d)(1-c/d)(1-ad/bc)}\frac{(a,b;q)_{\infty}(c,ad^2/bc;q^3)_{\infty}}{(dq^3,adq^3/b;q^3)_{\infty}(adq/c,bcq/d;q)_{\infty}}\\ &\qquad-\frac{(1-d)(1-ad/b)(1-ad/c)(1-bc/d)}{d(1-ad)(1-b/d)(1-c/d)(1-ad/bc)} \end{align}
となる. $d\mapsto c, c\mapsto dq^{3j}$とすると,
\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k(dq^{3j},ac^2q^{-3j}/bd;q^3)_{k}}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(bdq^{3j+1}/c,acq^{1-3j}/d;q)_{k}}q^{3k}\\ &=\frac{1}{c(1-ac)(1-b/c)(1-dq^{3j}/c)(1-acq^{-3j}/bd)}\frac{(a,b;q)_{\infty}(dq^{3j},ac^2q^{-3j}/bd;q^3)_{\infty}}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_{\infty}(acq^{1-3j}/d,bdq^{3j+1}/c;q)_{\infty}}\\ &\qquad+\frac{(1-c)(1-ac/b)(1-dq^{3j}/ac)(1-bdq^{3j}/c)}{(1-ac)(1-c/b)(1-dq^{3j}/c)(1-bdq^{3j}/ac)}\\ &=\frac{1-acq^{-3j}/d}{c(1-ac)(1-b/c)(1-dq^{3j}/c)(1-acq^{-3j}/bd)}\frac{(a,b;q)_{\infty}(dq^{3j},ac^2q^{-3j}/bd;q^3)_{\infty}}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_{\infty}(acq^{-3j}/d,bdq^{3j+1}/c;q)_{\infty}}\\ &\qquad+\frac{(1-c)(1-ac/b)(1-dq^{3j}/ac)(1-bdq^{3j}/c)}{(1-ac)(1-c/b)(1-dq^{3j}/c)(1-bdq^{3j+1}/ac)}\\ &=-\frac{1-dq^{3j}/ac}{(1-ac)(1-c/b)(1-dq^{3j}/c)(1-bdq^{3j}/ac)}\frac{(a,b;q)_{\infty}(d,ac^2/bd;q^3)_{\infty}}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_{\infty}(ac/d,bdq/c;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(bdq^3/ac^2;q^3)_j(bdq/c;q)_{3j}}{(d;q^3)_j(dq/ac;q)_{3j}}\left(\frac{d^2}{a^2bc}\right)^jq^{3j^2}\\ &\qquad+\frac{(1-c)(1-ac/b)(1-dq^{3j}/ac)(1-bdq^{3j}/c)}{(1-ac)(1-c/b)(1-dq^{3j}/c)(1-bdq^{3j}/ac)}\\ &=\frac{d}{ac(1-ac)(1-c/b)(1-dq^{3j}/c)(1-bdq^{3j}/ac)}\frac{(a,b;q)_{\infty}(d,ac^2/bd;q^3)_{\infty}}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_{\infty}(acq/d,bdq/c;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(bdq^3/ac^2;q^3)_j(bdq/c;q)_{3j}}{(d;q^3)_j(d/ac;q)_{3j}}\left(\frac{d^2}{a^2bc}\right)^jq^{3j^2}\\ &\qquad+\frac{(1-c)(1-ac/b)(1-dq^{3j}/ac)(1-bdq^{3j}/c)}{(1-ac)(1-c/b)(1-dq^{3j}/c)(1-bdq^{3j}/ac)} \end{align}
であるから, 先ほどの第2項は,
\begin{align} &\sum_{0\leq j}\frac{(1-bd^2q^{6j}/ac^2)(bd^2/ac^2,ab^2/c,d;q^3)_j(d/ac;q)_{3j}}{(1-bd/ac^2)(q^3,d^2q^3/a^2bc,bdq^3/ac^2;q^3)_j(bdq/c;q)_{3j}}q^{3j}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(1-acq^{4k})(1-bq^{-2k}/c)}{(1-ac)(1-b/c)}\frac{(a,b;q)_k(dq^{3j},ac^2q^{-3j}/bd;q^3)_{k}}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(bdq^{3j+1}/c,acq^{1-3j}/d;q)_{k}}q^{3k}\\ &=\frac{d}{ac(1-ac)(1-c/b)}\frac{(a,b;q)_{\infty}(d,ac^2/bd;q^3)_{\infty}}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_{\infty}(acq/d,bdq/c;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(1-bd^2q^{6j}/ac^2)(bd^2/ac^2,ab^2/c,d;q^3)_j(d/ac;q)_{3j}}{(1-bd/ac^2)(q^3,d^2q^3/a^2bc,bdq^3/ac^2;q^3)_j(bdq/c;q)_{3j}}q^{3j}\\ &\qquad\cdot\frac 1{(1-dq^{3j}/c)(1-bdq^{3j}/ac)}\frac{(bdq^3/ac^2;q^3)_j(bdq/c;q)_{3j}}{(d;q^3)_j(d/ac;q)_{3j}}\left(\frac{d^2}{a^2bc}\right)^jq^{3j^2}\\ &\qquad+\sum_{0\leq j}\frac{(1-bd^2q^{6j}/ac^2)(bd^2/ac^2,ab^2/c,d;q^3)_j(d/ac;q)_{3j}}{(1-bd/ac^2)(q^3,d^2q^3/a^2bc,bdq^3/ac^2;q^3)_j(bdq/c;q)_{3j}}q^{3j}\\ &\qquad\cdot \frac{(1-c)(1-ac/b)(1-dq^{3j}/ac)(1-bdq^{3j}/c)}{(1-ac)(1-c/b)(1-dq^{3j}/c)(1-bdq^{3j}/ac)}\\ &=\frac{d}{ac(1-ac)(1-c/b)}\frac{(a,b;q)_{\infty}(d,ac^2/bd;q^3)_{\infty}}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_{\infty}(acq/d,bdq/c;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(1-bd^2q^{6j}/ac^2)(bd^2/ac^2,ab^2/c;q^3)_j}{(1-bd/ac^2)(q^3,d^2q^3/a^2bc;q^3)_j}\frac 1{(1-dq^{3j}/c)(1-bdq^{3j}/ac)}\left(\frac{d^2q^3}{a^2bc}\right)^jq^{3j^2}\\ &\qquad+\frac{(1-c)(1-ac/b)(1-d/ac)(1-bd/c)}{(1-ac)(1-c/b)(1-d/c)(1-bd/ac)}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(1-bd^2q^{6j}/ac^2)(bd^2/ac^2,ab^2/c,d;q^3)_j(dq/ac;q)_{3j}}{(1-bd/ac^2)(q^3,d^2q^3/a^2bc,bdq^3/ac^2;q^3)_j(bd/c;q)_{3j}}q^{3j}\frac{(1-d/c)(1-bd/ac)}{(1-dq^{3j}/c)(1-bdq^{3j}/ac)}\\ &=\frac{d}{ac(1-ac)(1-c/b)(1-d/c)(1-bd/ac)}\frac{(a,b;q)_{\infty}(d,ac^2/bd;q^3)_{\infty}}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_{\infty}(acq/d,bdq/c;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(1-bd^2q^{6j}/ac^2)(bd^2/ac^2,ab^2/c,d/c,bd/ac;q^3)_j}{(1-bd/ac^2)(q^3,d^2q^3/a^2bc,dq^3/c,bdq^3/ac;q^3)_j}\left(\frac{d^2q^3}{a^2bc}\right)^jq^{3j^2}\\ &\qquad+\frac{(1-c)(1-ac/b)(1-d/ac)(1-bd/c)}{(1-ac)(1-c/b)(1-d/c)(1-bd/ac)}\\ &\qquad\cdot W(bd^2/ac^2;ab^2/c,d,d/c,bd/ac,dq/ac,dq^2/ac,dq^3/ac;q^3;q^3) \end{align}
となる. よって,
\begin{align} &W(ac^2/b;c,d,a^2bc/d,ac/b,cq/b,cq^2/b,cq^3/b;q^3;q^3)\\ &=\frac{(ac^2q^{3}/b,bd/ac^2;q^3)_{\infty}(dq/ab,ab;q)_{\infty}}{(cdq^{3}/ab^2,ab^2/c;q^3)_{\infty}(acq,d/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{4k}}{1-ac}\frac{(a,b;q)_k(cq/b;q)_{2k}(d,a^2bc/d;q^3)_k}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(ab;q)_{2k}(dq/ab,acq/d;q)_k}q^{k}\\ &\qquad-\frac{(ac^2q^{3}/b,bd/ac^2,d^2q^{3}/a^2bc,a^2bc/d;q^3)_{\infty}(bdq/c,c/b;q)_{\infty}}{(ac^2/bd,cdq^{3}/ab^2,ab^2/c,bd^2q^3/ac^2;q^3)_{\infty}(acq,d/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{d}{ac(1-ac)(1-c/b)(1-d/c)(1-bd/ac)}\frac{(a,b;q)_{\infty}(d,ac^2/bd;q^3)_{\infty}}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_{\infty}(acq/d,bdq/c;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(1-bd^2q^{6j}/ac^2)(bd^2/ac^2,ab^2/c,d/c,bd/ac;q^3)_j}{(1-bd/ac^2)(q^3,d^2q^3/a^2bc,dq^3/c,bdq^3/ac;q^3)_j}\left(\frac{d^2q^3}{a^2bc}\right)^jq^{3j^2}\\ &\qquad-\frac{(ac^2q^{3}/b,bd/ac^2,d^2q^{3}/a^2bc,a^2bc/d;q^3)_{\infty}(bdq/c,c/b;q)_{\infty}}{(ac^2/bd,cdq^{3}/ab^2,ab^2/c,bd^2q^3/ac^2;q^3)_{\infty}(acq,d/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(1-c)(1-ac/b)(1-d/ac)(1-bd/c)}{(1-ac)(1-c/b)(1-d/c)(1-bd/ac)}\\ &\qquad\cdot W(bd^2/ac^2;ab^2/c,d,d/c,bd/ac,dq/ac,dq^2/ac,dq^3/ac;q^3;q^3)\\ &=\frac{(ac^2q^{3}/b,bd/ac^2;q^3)_{\infty}(dq/ab,ab;q)_{\infty}}{(cdq^{3}/ab^2,ab^2/c;q^3)_{\infty}(acq,d/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{4k}}{1-ac}\frac{(a,b;q)_k(cq/b;q)_{2k}(d,a^2bc/d;q^3)_k}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(ab;q)_{2k}(dq/ab,acq/d;q)_k}q^{k}\\ &\qquad-\frac{d}{ac(1-d/c)(1-bd/ac)}\frac{(d,ac^2q^{3}/b,bd/ac^2,d^2q^{3}/a^2bc,a^2bc/d;q^3)_{\infty}(a,b,cq/b;q)_{\infty}}{(cq^3,acq^3/b,cdq^{3}/ab^2,ab^2/c,bd^2q^3/ac^2;q^3)_{\infty}(ac,d/ac,acq/d;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(1-bd^2q^{6j}/ac^2)(bd^2/ac^2,ab^2/c,d/c,bd/ac;q^3)_j}{(1-bd/ac^2)(q^3,d^2q^3/a^2bc,dq^3/c,bdq^3/ac;q^3)_j}\left(\frac{d^2q^3}{a^2bc}\right)^jq^{3j^2}\\ &\qquad-\frac{(ac^2q^{3}/b,bd/ac^2,d^2q^{3}/a^2bc,a^2bc/d;q^3)_{\infty}(bd/c,cq/b;q)_{\infty}}{(ac^2/bd,cdq^{3}/ab^2,ab^2/c,bd^2q^3/ac^2;q^3)_{\infty}(ac,dq/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(1-c)(1-ac/b)}{(1-d/c)(1-bd/ac)}W(bd^2/ac^2;ab^2/c,d,d/c,bd/ac,dq/ac,dq^2/ac,dq^3/ac;q^3;q^3) \end{align}
つまり,
\begin{align} &\frac{(ac^2q^{3}/b,bd/ac^2;q^3)_{\infty}(dq/ab,ab;q)_{\infty}}{(cdq^{3}/ab^2,ab^2/c;q^3)_{\infty}(acq,d/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{4k}}{1-ac}\frac{(a,b;q)_k(cq/b;q)_{2k}(d,a^2bc/d;q^3)_k}{(cq^3,acq^3/b;q^3)_k(ab;q)_{2k}(dq/ab,acq/d;q)_k}q^{k}\\ &=W(ac^2/b;c,d,a^2bc/d,ac/b,cq/b,cq^2/b,cq^3/b;q^3;q^3)\\ &\qquad+\frac{(ac^2q^{3}/b,bd/ac^2,d^2q^{3}/a^2bc,a^2bc/d;q^3)_{\infty}(bd/c,cq/b;q)_{\infty}}{(ac^2/bd,cdq^{3}/ab^2,ab^2/c,bd^2q^3/ac^2;q^3)_{\infty}(ac,dq/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(1-c)(1-ac/b)}{(1-d/c)(1-bd/ac)}W(bd^2/ac^2;ab^2/c,d,d/c,bd/ac,dq/ac,dq^2/ac,dq^3/ac;q^3;q^3)\\ &\qquad+\frac{d}{ac(1-d/c)(1-bd/ac)}\frac{(d,ac^2q^{3}/b,bd/ac^2,d^2q^{3}/a^2bc,a^2bc/d;q^3)_{\infty}(a,b,cq/b;q)_{\infty}}{(cq^3,acq^3/b,cdq^{3}/ab^2,ab^2/c,bd^2q^3/ac^2;q^3)_{\infty}(ac,d/ac,acq/d;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(1-bd^2q^{6j}/ac^2)(bd^2/ac^2,ab^2/c,d/c,bd/ac;q^3)_j}{(1-bd/ac^2)(q^3,d^2q^3/a^2bc,dq^3/c,bdq^3/ac;q^3)_j}\left(\frac{d^2q^3}{a^2bc}\right)^jq^{3j^2} \end{align}
を得る. ここで, 第3項は Watsonの変換公式 のlimitting case
\begin{align} &\sum_{0\leq j}\frac{(1-aq^{2j})(a,d,e,f;q)_j}{(1-a)(q,aq/d,aq/e,aq/f;q)_j}\left(\frac{a^2q}{def}\right)^jq^{j^2}\\ &=\frac{(aq,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/e,aq/f;q)_{\infty}}\Q21{e,f}{aq/d}{\frac{aq}{ef}} \end{align}
より,
\begin{align} &\sum_{0\leq j}\frac{(1-bd^2q^{6j}/ac^2)(bd^2/ac^2,ab^2/c,d/c,bd/ac;q^3)_j}{(1-bd/ac^2)(q^3,d^2q^3/a^2bc,dq^3/c,bdq^3/ac;q^3)_j}\left(\frac{d^2q^3}{a^2bc}\right)^jq^{3j^2}\\ &=\frac{(bd^2q^3/ac^2,q^3;q^3)_{\infty}}{(dq^3/c,bdq^3/ac;q^3)_{\infty}}\Q21{d/c,bd/ac}{d^2q^3/a^2bc}{q^3;q^3} \end{align}
となるから, これを代入して以下を得る.

定理2において, $b=q/a$とすると,
\begin{align} &\frac{(a^2c^2q^2,dq/a^2c^2;q^3)_{\infty}(d,q;q)_{\infty}}{(acdq,q^2/ac;q^3)_{\infty}(acq,d/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{4k}}{1-ac}\frac{(a,q/a;q)_k(ac;q)_{2k}(d,acq/d;q^3)_k}{(cq^3,a^2cq^2;q^3)_k(q;q)_{2k}(d,acq/d;q)_k}q^{k}\\ &=W(a^2c^2/q;c,d,acq/d,a^2c/q,acq;q^3;q^3)\\ &\qquad+\frac{(a^2c^2q^{2},dq/a^2c^2,d^2q^{2}/ac,acq/d;q^3)_{\infty}}{(a^2c^2/dq,acdq,q^2/ac,d^2q^4/a^2c^2;q^3)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(1-c)(1-a^2c/q)}{(1-d/c)(1-dq/a^2c)}W(d^2q/a^2c^2;q^2/ac,d,d/c,dq/a^2c,dq^2/ac;q^3;q^3)\\ &\qquad-\frac{(q^3,d,a^2c^2q^{2},dq/a^2c^2,d^2q^{2}/ac,acq/d;q^3)_{\infty}(a,q/a;q)_{\infty}}{(cq^3,a^2cq^2,d/c,dq/a^2c,acdq,q^2/ac;q^3)_{\infty}(dq/ac,ac/d;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q21{d/c,dq/a^2c}{d^2q^2/ac}{q^3;q^3} \end{align}
となる. ここで, non-terminating Jacksonの和公式 より,
\begin{align} &W(a^2c^2/q;c,d,acq/d,a^2c/q,acq;q^3;q^3)\\ &\qquad+\frac{(a^2c^2q^{2},dq/a^2c^2,d^2q^{2}/ac,acq/d;q^3)_{\infty}}{(a^2c^2/dq,acdq,q^2/ac,d^2q^4/a^2c^2;q^3)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(1-c)(1-a^2c/q)}{(1-d/c)(1-dq/a^2c)}W(d^2q/a^2c^2;q^2/ac,d,d/c,dq/a^2c,dq^2/ac;q^3;q^3)\\ &=\frac{(a^2c^2q^2,adq,q^3,aq,dq^2/a,d,q^2/a,dq/a^2c^2;q^3)_{\infty}}{(a^2cq^2,acdq,cq^3,acq,dq/a^2c,q^2/ac,d/c,dq^2/ac;q^3)_{\infty}} \end{align}
であるから,
\begin{align} &\frac{(a^2c^2q^2,dq/a^2c^2;q^3)_{\infty}(d,q;q)_{\infty}}{(acdq,q^2/ac;q^3)_{\infty}(acq,d/ac;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{4k}}{1-ac}\frac{(a,b;q)_k(ac;q)_{2k}(d,acq/d;q^3)_k}{(cq^3,a^2cq^2;q^3)_k(q;q)_{2k}(d,acq/d;q)_k}q^{k}\\ &=\frac{(a^2c^2q^2,adq,q^3,aq,dq^2/a,d,q^2/a,dq/a^2c^2;q^3)_{\infty}}{(a^2cq^2,acdq,cq^3,acq,dq/a^2c,q^2/ac,d/c,dq^2/ac;q^3)_{\infty}}\\ &\qquad-\frac{(q^3,d,a^2c^2q^{2},dq/a^2c^2,d^2q^{2}/ac,acq/d;q^3)_{\infty}(a,q/a;q)_{\infty}}{(cq^3,a^2cq^2,d/c,dq/a^2c,acdq,q^2/ac;q^3)_{\infty}(dq/ac,ac/d;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q21{d/c,dq/a^2c}{d^2q^2/ac}{q^3;q^3} \end{align}
つまり,
\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{1-acq^{4k}}{1-ac}\frac{(a,q/a;q)_k(ac;q)_{2k}(d,acq/d;q^3)_k}{(cq^3,a^2cq^2;q^3)_k(q;q)_{2k}(d,acq/d;q)_k}q^{k}\\ &=\frac{(acdq,q^2/ac;q^3)_{\infty}(acq,d/ac;q)_{\infty}}{(a^2c^2q^2,dq/a^2c^2;q^3)_{\infty}(d,q;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(a^2c^2q^2,adq,q^3,aq,dq^2/a,d,q^2/a,dq/a^2c^2;q^3)_{\infty}}{(a^2cq^2,acdq,cq^3,acq,dq/a^2c,q^2/ac,d/c,dq^2/ac;q^3)_{\infty}}\\ &\qquad-\frac{(acdq,q^2/ac;q^3)_{\infty}(acq,d/ac;q)_{\infty}}{(a^2c^2q^2,dq/a^2c^2;q^3)_{\infty}(d,q;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(q^3,d,a^2c^2q^{2},dq/a^2c^2,d^2q^{2}/ac,acq/d;q^3)_{\infty}(a,q/a;q)_{\infty}}{(cq^3,a^2cq^2,d/c,dq/a^2c,acdq,q^2/ac;q^3)_{\infty}(dq/ac,ac/d;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q21{d/c,dq/a^2c}{d^2q^2/ac}{q^3;q^3}\\ &=\frac{(acq^2,acq^3,d/ac,dq/ac,adq,aq,dq^2/a,q^2/a;q^3)_{\infty}}{(q,q^2,dq,dq^2,a^2cq^2,cq^3,dq/a^2c,d/c;q^3)_{\infty}}\\ &\qquad+\frac{d}{ac}\frac{(q^3,d,d^2q^{2}/ac,acq/d;q^3)_{\infty}(acq,a,q/a;q)_{\infty}}{(cq^3,a^2cq^2,d/c,dq/a^2c;q^3)_{\infty}(d,q,acq/d;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q21{d/c,dq/a^2c}{d^2q^2/ac}{q^3;q^3} \end{align}
となる. よって以下が得られた.

定理3において, $a,c,d$を$b,a^2/b,c^3$に置き換えると
\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{1-a^2q^{4k}}{1-a^2}\frac{(b,q/b;q)_k(a^2;q)_{2k}(c^3,a^2q/c^3;q^3)_k}{(a^2q^3/b,a^2bq^2;q^3)_k(q;q)_{2k}(c^3,a^2q/c^3;q)_k}q^{k}\\ &=\frac{(a^2q^2,a^2q^3,c^3/a^2,c^3q/a^2,bc^3q,bq,q^2/b,c^3q^2/b;q^3)_{\infty}}{(q,q^2,c^3q,c^3q^2,a^2bq^2,a^2q^3/b,c^3q/a^2b,bc^3/a^2;q^3)_{\infty}}\\ &\qquad+\frac{c^3}{a^2}\frac{(q^3,c^3,a^2q/c^3,c^6q^{2}/a^2;q^3)_{\infty}(b,q/b,a^2q;q)_{\infty}}{(a^2q^3/b,a^2bq^2,bc^3/a^2,c^3q/a^2b;q^3)_{\infty}(q,c^3,a^2q/c^3;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q21{bc^3/a^2,c^3q/a^2b}{c^6q^2/a^2}{q^3;q^3} \end{align}
となる. これは, 冒頭に紹介したGosper予想の$q$類似を与えている. しかし, Gasper-Rahmanの論文においては, この右辺の$\frac{c^3}{a^2}$が抜けているのではないかと思われる.

Gosper予想の導出

実際に, 上の式からGosper予想を導出したいと思う.
\begin{align} &\sum_{0\leq k}\frac{1-a^2q^{4k}}{1-a^2}\frac{(b,q/b;q)_k(a^2;q)_{2k}(c^3,a^2q/c^3;q^3)_k}{(a^2q^3/b,a^2bq^2;q^3)_k(q;q)_{2k}(c^3,a^2q/c^3;q)_k}q^{k}\\ &=\frac{(a^2q^2,a^2q^3,c^3/a^2,c^3q/a^2,bc^3q,bq,q^2/b,c^3q^2/b;q^3)_{\infty}}{(q,q^2,c^3q,c^3q^2,a^2bq^2,a^2q^3/b,c^3q/a^2b,bc^3/a^2;q^3)_{\infty}}\\ &\qquad+\frac{c^3}{a^2}\frac{(b,bq,bq^2,q/b,q^2/b,q^3/b,a^2q,a^2q^2,a^2q^3,c^6q^{2}/a^2;q^3)_{\infty}}{(q,q^2,c^3q,c^3q^2,a^2q^2/c^3,a^2q^3/c^3,a^2q^3/b,a^2bq^2,bc^3/a^2,c^3q/a^2b;q^3)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q21{bc^3/a^2,c^3q/a^2b}{c^6q^2/a^2}{q^3;q^3} \end{align}
と書き換えて, $a\mapsto q^a,b\mapsto q^b,c\mapsto q^c$としてから$q\to 1$とするとGaussの超幾何定理より,
\begin{align} &\F76{a,a+\frac 12,b,1-b,c,\frac{2a+1}3-c,1+\frac a2}{\frac 12,\frac{2a-b+3}3,\frac{2a+b+2}3,2c,2a+1-3c,\frac a2}{1}\\ &=\frac{\Gamma\left(\frac 13\right)\Gamma\left(\frac 23\right)\Gamma\left(c+\frac 13\right)\Gamma\left(c+\frac 23\right)\Gamma\left(\frac{2a+b+2}3\right)\Gamma\left(1+\frac{2a-b}3\right)\Gamma\left(c+\frac{1-2a-b}3\right)\Gamma\left(c+\frac{b-2a}3\right)}{\Gamma\left(\frac{2a+2}3\right)\Gamma\left(1+\frac{2a}3\right)\Gamma\left(c-\frac{2a}3\right)\Gamma\left(c+\frac{1-2a}3\right)\Gamma\left(c+\frac{b+1}3\right)\Gamma\left(\frac{b+1}3\right)\Gamma\left(\frac{2-b}3\right)\Gamma\left(c+\frac{2-b}3\right)}\\ &\qquad+\frac{\Gamma\left(\frac 13\right)\Gamma\left(\frac 23\right)\Gamma\left(c+\frac 13\right)\Gamma\left(c+\frac 23\right)\Gamma\left(\frac{2a+2}3-c\right)\Gamma\left(1+\frac{2a}3-c\right)\Gamma\left(1+\frac{2a-b}3\right)\Gamma\left(\frac{2a+b+2}3\right)\Gamma\left(c+\frac{b-2a}3\right)\Gamma\left(c+\frac{1-2a-b}3\right)}{\Gamma\left(2c+\frac{2-2a}3\right)\Gamma\left(\frac b3\right)\Gamma\left(\frac{b+1}3\right)\Gamma\left(\frac{b+2}3\right)\Gamma\left(\frac{1-b}3\right)\Gamma\left(\frac{2-b}3\right)\Gamma\left(1-\frac b3\right)\Gamma\left(\frac{2a+1}3\right)\Gamma\left(\frac{2a+2}3\right)\Gamma\left(1+\frac{2a}3\right)}\\ &\qquad\cdot\F21{c+\frac{b-2a}3,c+\frac{1-2a-b}3}{2c+\frac{2-2a}3}{1}\\ &=\frac{2}{\sqrt 3}\frac{\Gamma\left(c+\frac 13\right)\Gamma\left(c+\frac 23\right)\Gamma\left(\frac{2a+b+2}3\right)\Gamma\left(1+\frac{2a-b}3\right)\Gamma\left(c+\frac{1-2a-b}3\right)\Gamma\left(c+\frac{b-2a}3\right)\sin\frac{\pi(b+1)}3}{\Gamma\left(\frac{2a+2}3\right)\Gamma\left(1+\frac{2a}3\right)\Gamma\left(c+\frac{b+1}3\right)\Gamma\left(c+\frac{2-b}3\right)\Gamma\left(c-\frac{2a}3\right)\Gamma\left(c+\frac{1-2a}3\right)}\\ &\qquad+\frac{2}{\sqrt 3}\frac{\Gamma\left(c+\frac 13\right)\Gamma\left(c+\frac 23\right)\Gamma\left(\frac{2a+2}3-c\right)\Gamma\left(1+\frac{2a}3-c\right)\Gamma\left(1+\frac{2a-b}3\right)\Gamma\left(\frac{2a+b+2}3\right)\Gamma\left(c+\frac{b-2a}3\right)\Gamma\left(c+\frac{1-2a-b}3\right)\sin\frac{\pi(b+1)}3}{\Gamma\left(2c+\frac{2-2a}3\right)\Gamma\left(\frac b3\right)\Gamma\left(\frac{b+2}3\right)\Gamma\left(\frac{1-b}3\right)\Gamma\left(1-\frac b3\right)\Gamma\left(\frac{2a+1}3\right)\Gamma\left(\frac{2a+2}3\right)\Gamma\left(1+\frac{2a}3\right)}\\ &\qquad\cdot\frac{\Gamma\left(2c+\frac{2-2a}3\right)\Gamma\left(\frac{2a+1}{3}\right)}{\Gamma\left(c+\frac{2-b}3\right)\Gamma\left(c+\frac{b+1}3\right)}\\ &=\frac{2}{\sqrt 3}\frac{\Gamma\left(c+\frac 13\right)\Gamma\left(c+\frac 23\right)\Gamma\left(1+\frac{2a-b}3\right)\Gamma\left(\frac{2a+b+2}3\right)\Gamma\left(c+\frac{b-2a}3\right)\Gamma\left(c+\frac{1-2a-b}3\right)\sin\frac{\pi(b+1)}3}{\Gamma\left(\frac{2a+2}3\right)\Gamma\left(1+\frac{2a}3\right)\Gamma\left(c+\frac{b+1}3\right)\Gamma\left(c+\frac{2-b}3\right)\Gamma\left(c-\frac{2a}3\right)\Gamma\left(c+\frac{1-2a}3\right)}\\ &\qquad+\frac{2}{\sqrt 3}\frac{\Gamma\left(c+\frac 13\right)\Gamma\left(c+\frac 23\right)\Gamma\left(1+\frac{2a-b}3\right)\Gamma\left(\frac{2a+b+2}3\right)\Gamma\left(\frac{2a+2}3-c\right)\Gamma\left(1+\frac{2a}3-c\right)\Gamma\left(c+\frac{b-2a}3\right)\Gamma\left(c+\frac{1-2a-b}3\right)\sin\frac{\pi(b+1)}3}{\Gamma\left(\frac{2a+2}3\right)\Gamma\left(1+\frac{2a}3\right)\Gamma\left(c+\frac{b+1}3\right)\Gamma\left(c+\frac{2-b}3\right)\Gamma\left(\frac b3\right)\Gamma\left(\frac{b+2}3\right)\Gamma\left(\frac{1-b}3\right)\Gamma\left(1-\frac b3\right)}\\ &=\frac{2}{\sqrt 3}\frac{\Gamma\left(c+\frac 13\right)\Gamma\left(c+\frac 23\right)\Gamma\left(1+\frac{2a-b}3\right)\Gamma\left(\frac{2a+b+2}3\right)\Gamma\left(c+\frac{b-2a}3\right)\Gamma\left(c+\frac{1-2a-b}3\right)\sin\frac{\pi(b+1)}3}{\Gamma\left(\frac{2a+2}3\right)\Gamma\left(1+\frac{2a}3\right)\Gamma\left(c+\frac{b+1}3\right)\Gamma\left(c+\frac{2-b}3\right)\Gamma\left(c-\frac{2a}3\right)\Gamma\left(c+\frac{1-2a}3\right)}\\ &\qquad\cdot \left(1+\frac{\sin\frac{\pi b}3\sin\frac{\pi(b+2)}3}{\sin\pi\left(c-\frac{2a}3\right)\sin\pi\left(c+\frac{1-2a}3\right)}\right) \end{align}
ここで,
\begin{align} &1+\frac{\sin\frac{\pi b}3\sin\frac{\pi(b+2)}3}{\sin\pi\left(c-\frac{2a}3\right)\sin\pi\left(c+\frac{1-2a}3\right)}\\ &=\frac{\sin\pi\left(c-\frac{2a}3\right)\sin\pi\left(c+\frac{1-2a}3\right)+\sin\frac{\pi b}3\sin\frac{\pi(b+2)}3}{\sin\pi\left(c-\frac{2a}3\right)\sin\pi\left(c+\frac{1-2a}3\right)}\\ &=-\frac 12\frac{\cos\pi\left(2c+\frac{1-4a}3\right)-\cos\frac{\pi (1-2b)}3}{\sin\pi\left(c-\frac{2a}3\right)\sin\pi\left(c+\frac{1-2a}3\right)}\\ &=\frac{\sin\pi\left(c+\frac{1-2a-b}3\right)\sin\pi\left(c+\frac{b-2a}3\right)}{\sin\pi\left(c-\frac{2a}3\right)\sin\pi\left(c+\frac{1-2a}3\right)} \end{align}
であるから, これを代入して,
\begin{align} &\F76{a,a+\frac 12,b,1-b,c,\frac{2a+1}3-c,1+\frac a2}{\frac 12,\frac{2a-b+3}3,\frac{2a+b+2}3,3c,2a+1-3c,\frac a2}{1}\\ &=\frac{2}{\sqrt 3}\frac{\Gamma\left(c+\frac 13\right)\Gamma\left(c+\frac 23\right)\Gamma\left(1+\frac{2a-b}3\right)\Gamma\left(\frac{2a+b+2}3\right)\Gamma\left(c+\frac{b-2a}3\right)\Gamma\left(c+\frac{1-2a-b}3\right)\sin\frac{\pi(b+1)}3}{\Gamma\left(\frac{2a+2}3\right)\Gamma\left(1+\frac{2a}3\right)\Gamma\left(c+\frac{b+1}3\right)\Gamma\left(c+\frac{2-b}3\right)\Gamma\left(c-\frac{2a}3\right)\Gamma\left(c+\frac{1-2a}3\right)}\\ &\qquad\cdot\frac{\sin\pi\left(c+\frac{1-2a-b}3\right)\sin\pi\left(c+\frac{b-2a}3\right)}{\sin\pi\left(c-\frac{2a}3\right)\sin\pi\left(c+\frac{1-2a}3\right)}\\ &=\frac{2}{\sqrt 3}\frac{\Gamma\left(c+\frac 13\right)\Gamma\left(c+\frac 23\right)\Gamma\left(1+\frac{2a-b}3\right)\Gamma\left(\frac{2a+b+2}3\right)\Gamma\left(\frac{2a+2}3-c\right)\Gamma\left(1+\frac{2a}3-c\right)\sin\frac{\pi(b+1)}3}{\Gamma\left(\frac{2a+2}3\right)\Gamma\left(1+\frac{2a}3\right)\Gamma\left(c+\frac{b+1}3\right)\Gamma\left(c+\frac{2-b}3\right)\Gamma\left(\frac{2a+b+2}3-c\right)\Gamma\left(1+\frac{2a+b}3-c\right)} \end{align}
となってGosper予想が得られる.