Gessel-Stantonによる5F4の和公式

前の記事 でKarlssonによる$z=\frac 14$における超幾何級数の和公式を示した. 前の記事を書き終えた後に知ったことだが, それらはGessel-Stantonによる次のような和公式の特別な場合になっているようである.
\begin{align} \F54{2a,1+\frac{2a}3,2b,1-2b,a-d}{\frac{2a}3,1+a-b,\frac 12+a+b,1+2d}{\frac 14}=\frac{\Gamma(d+1)\Gamma\left(d+\frac 12\right)\Gamma(1+a-b)\Gamma\left(\frac 12+a+b\right)}{\Gamma(a+1)\Gamma\left(a+\frac 12\right)\Gamma(1-b+d)\Gamma\left(\frac 12+b+d\right)} \end{align}
今回は前の記事でも用いた Baileyの3次変換公式
\begin{align} &(1-x)^{-3a}\F32{a,a+\frac 13,a+\frac 23}{b,c}{-\frac{27x}{4(1-x)^3}}\\ &=\F32{3a,\frac 12+b-c,\frac 12+c-b}{b,c}{\frac x4}\qquad b+c=3a+\frac 32 \end{align}
を用いてこのGessel-Stantonによる${}_5F_4$の和公式を示したいと思う. まず, Baileyの3次変換公式は
\begin{align} &\F32{6a,2b,1-2b}{3a+b+\frac 12,3a-b+1}{\frac x4}\\ &=(1-x)^{-6a}\F32{2a,2a+\frac 13,2a+\frac 23}{3a+b+\frac 12,3a-b+1}{-\frac{27x}{4(1-x)^3}} \end{align}
と書き換えることができる. まず, この両辺に
\begin{align} \frac{x^{1-2a}}{2a}\frac{d}{dx}x^{2a} \end{align}
を作用させると,
\begin{align} &\F43{6a,2a+1,2b,1-2b}{2a,3a+b+\frac 12,3a-b+1}{\frac x4}\\ &=(1+2x)(1-x)^{-6a-1}\F32{2a+\frac 13,2a+\frac 23,2a+1}{3a+b+\frac 12,3a-b+1}{-\frac{27x}{4(1-x)^3}} \end{align}
を得る. 次に$x^{3a-d-1}(1-x)^{3d-3a}$を掛けて両辺を$(0,1)$で積分すると,
\begin{align} &\frac{\Gamma(3a-d)\Gamma(3d-3a+1)}{\Gamma(2d+1)}\F54{6a,2a+1,2b,1-2b,3a-d}{2a,3a+b+\frac 12,3a-b+1,2d+1}{\frac 14}\\ &=\int_0^1\left(\frac{x}{(1-x)^3}\right)^{3a-d}\frac{1+2x}{x(1-x)}\F32{2a+\frac 13,2a+\frac 23,2a+1}{3a+b+\frac 12,3a-b+1}{-\frac{27x}{4(1-x)^3}}\,dx\\ &=\int_0^{\infty}u^{3a-d-1}\F32{2a+\frac 13,2a+\frac 23,2a+1}{3a+b+\frac 12,3a-b+1}{-\frac{27}{4}u}\,du\qquad u=\frac{x}{(1-x)^3} \end{align}
となる. ここで, Ramanujan's master theorem より,
\begin{align} &\int_0^{\infty}u^{3a-d-1}\F32{2a+\frac 13,2a+\frac 23,2a+1}{3a+b+\frac 12,3a-b+1}{-\frac{27}{4}u}\,du\\ &=\int_0^{\infty}u^{3a-d-1}\sum_{0\leq n}\frac{(6a+1)_{3n}}{4^nn!\left(3a+b+\frac 12,3a-b+1\right)_n}(-u)^n\,du\\ &=\frac{\Gamma(3a-d)\Gamma\left(3a+b+\frac 12\right)\Gamma(3a-b+1)\Gamma(3d-3a+1)}{4^{d-3a}\Gamma(6a+1)\Gamma\left(\frac 12+b+d\right)\Gamma(1-b+d)} \end{align}
よって,
\begin{align} &\F54{6a,2a+1,2b,1-2b,3a-d}{2a,3a+b+\frac 12,3a-b+1,2d+1}{\frac 14}\\ &=\frac{\Gamma(2d+1)\Gamma\left(3a+b+\frac 12\right)\Gamma(3a-b+1)}{4^{d-3a}\Gamma(6a+1)\Gamma\left(\frac 12+b+d\right)\Gamma(1-b+d)}\\ &=\frac{\Gamma(d+1)\Gamma\left(d+\frac 12\right)\Gamma\left(3a+b+\frac 12\right)\Gamma(3a-b+1)}{\Gamma(3a+1)\Gamma\left(3a+\frac 12\right)\Gamma\left(\frac 12+b+d\right)\Gamma(1-b+d)} \end{align}
を得る. $3a\mapsto a$とすれば以下が得られる.

Gessel-Stantonの論文においては, 上の定理1の導出とは別の方法でさらに一般的な公式として
\begin{align} &\F76{2a,1+\frac{2a}3,2b,1-2b,a-d,a+d+n+\frac 12,-n}{\frac{2a}3,1+a-b,\frac 12+a+b,1+2d,-2d-2n,1+2a+2n}1\\ &=\frac{(2a+1)_{2n}\left(\frac 12+b+d,1+d-b\right)_n}{(2d+1)_{2n}\left(\frac 12+a+b,1+a-b\right)_n} \end{align}
が示されている.

$d\to\infty$の場合

前の記事 で示した和公式は$d=\frac{a}3,d=\frac{a-1}3$とすることによって得られる. 別の特殊化として, $d\to\infty$のとき以下が得られる.

$z=-\frac 18$の和公式で2つ変数がついているものがあるのは興味深い. また左辺の関数は本質的に 前の記事 においても現れた${}_4F_3$であり, 同じ${}_4F_3$が$z=\frac 14,-\frac 18$という2つの値で和公式を持つというのは面白い現象かもしれない.

特に$a=b=\frac 14$とすると, 以下の円周率の公式を得る.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(6n+1)\binom{2n}n^3}{2^{9n}}&=\frac{2\sqrt 2}{\pi} \end{align}
類似として,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\binom{2n}n^3}{2^{9n}} \end{align}
の値もガンマ関数で表せるのではないかと思われるが, 上の和公式からは得られなさそうである.