Gessel-Stantonの7F6和公式
今回は, Chuの反転公式を用いて2つのGessel-Stantonの${}_7F_6$和公式
\begin{align}
\F76{2a,1+\frac{2a}3,2b,1-2b,a-d,a+d+n+\frac 12,-n}{\frac{2a}3,1+a-b,\frac 12+a+b,1+2d,-2d-2n,1+2a+2n}1&=\frac{(2a+1)_{2n}\left(\frac 12+b+d,1+d-b\right)_n}{(2d+1)_{2n}\left(\frac 12+a+b,1+a-b\right)_n}\\
\F76{a,1+\frac{2a}3,b,\frac 12+a-b,1-2d,2a+2d+n,-n}{\frac{2a}3,1+2a-2b,2b,a+d+\frac 12,1+a+\frac n2,1-d-\frac n2}1&=\begin{cases}
\displaystyle \frac{\left(\frac 12,a+1,b+d,\frac 12+a-b+d\right)_m}{\left(b+\frac 12,d,1+a-b,a+d+\frac 12\right)_m}\qquad &n=2m\\
0\qquad &n:\mathrm{odd}
\end{cases}
\end{align}
を示す.
Chuの反転公式
前の記事
で, Gould-Hsuの反転公式を示した. それは
\begin{align}
\psi(x;n)&:=\prod_{k=0}^{n-1}(a_k+xb_k)
\end{align}
としたとき, 反転公式
\begin{align}
f(n)&=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk\psi(k;n)g(k)\\
g(n)&=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk\frac{a_k+kb_k}{\psi(n;k+1)}f(k)
\end{align}
が成り立つというものだった. これについて, 以下のような一般化が得られている.
$\psi$を上のように定義するとする. このとき, 反転公式
\begin{align}
f(n)&=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk\psi(\lambda+k;n)\psi(-k;n)\frac{\lambda+2k}{(\lambda+n)_{k+1}}g(k)\\
g(n)&=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk\frac{a_k+(\lambda+k)b_k}{\psi(\lambda+n;k+1)}\frac{a_k-kb_k}{\psi(-n;k+1)}(\lambda+k)_nf(k)
\end{align}
が成り立つ.
$\lambda\to\infty$とすると, Gould-Hsuの反転公式が得られる.
上の式を下の式に代入した等式
\begin{align}
g(n)&=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk\frac{a_k+(\lambda+k)b_k}{\psi(\lambda+n;k+1)}\frac{a_k-kb_k}{\psi(-n;k+1)}(\lambda+k)_n\\
&\qquad\cdot\sum_{m=0}^k(-1)^m\binom km\psi(\lambda+m;k)\psi(-m;k)\frac{\lambda+2m}{(\lambda+k)_{m+1}}g(m)
\end{align}
が成り立つことを示せばよい. 右辺は
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk\frac{a_k+(\lambda+k)b_k}{\psi(\lambda+n;k+1)}\frac{a_k-kb_k}{\psi(-n;k+1)}(\lambda+k)_n\\
&\qquad\cdot\sum_{m=0}^k(-1)^m\binom km\psi(\lambda+m;k)\psi(-m;k)\frac{\lambda+2m}{(\lambda+k)_{m+1}}g(m)\\
&=\sum_{m=0}^kg(m)\\
&\qquad\cdot\sum_{k=m}^n(-1)^{m+k}\binom nk\binom km\frac{\psi(\lambda+m;k)\psi(-m;k)}{\psi(\lambda+n;k+1)\psi(-n;k+1)}\frac{(\lambda+k)_n}{(\lambda+k)_{m+1}}(\lambda+2m)(a_k+(\lambda+k)b_k)(a_k-kb_k)\\
&=\sum_{m=0}^k\binom n{m}\frac{(\lambda)_n}{(\lambda)_m}g(m)\\
&\qquad\cdot(\lambda+2m)\sum_{k=m}^n(-1)^{m+k}\binom{n-m}{k-m}\frac{\psi(\lambda+m;k)\psi(-m;k)}{\psi(\lambda+n;k+1)\psi(-n;k+1)}\frac{(\lambda+n)_k}{(\lambda+m)_{k+1}}(a_k+(\lambda+k)b_k)(a_k-kb_k)
\end{align}
である. よって,
\begin{align}
(\lambda+2m)\sum_{k=m}^n(-1)^{m+k}\binom{n-m}{k-m}\frac{\psi(\lambda+m;k)\psi(-m;k)}{\psi(\lambda+n;k+1)\psi(-n;k+1)}\frac{(\lambda+n)_k}{(\lambda+m)_{k+1}}(a_k+(\lambda+k)b_k)(a_k-kb_k)&=\delta_{m,n}
\end{align}
を示せばよい. $n=m$のとき成り立つことは直接確認できる. $m< n$のとき, それは
\begin{align}
&(\lambda+m+n)\binom{n-m}{k-m}\frac{\psi(\lambda+m;k)\psi(-m;k)}{\psi(\lambda+n;k+1)\psi(-n;k+1)}\frac{(\lambda+n)_k}{(\lambda+m)_{k+1}}(a_k+(\lambda+k)b_k)(a_k-kb_k)\\
&=\binom{n-m}{k-m}\frac{\psi(\lambda+m;k)\psi(-m;k)}{\psi(\lambda+n;k+1)\psi(-n;k+1)}\frac{(\lambda+n)_{k}}{(\lambda+m)_{k+1}}\\
&\qquad\cdot\frac{(n-k)(k+\lambda+n)(a_k+(\lambda+m)b_k)(a_k-mb_k)-(m-k)(k+\lambda+m)(a_k+(\lambda+n)b_k)(a_k-nb_k)}{n-m}\\
&=\binom{n-m-1}{k-m}\frac{\psi(\lambda+m;k+1)\psi(-m;k+1)}{\psi(\lambda+n;k+1)\psi(-n;k+1)}\frac{(\lambda+n)_{k+1}}{(\lambda+m)_{k+1}}\\
&\qquad+\binom{n-m-1}{k-m-1}\frac{\psi(\lambda+m;k)\psi(-m;k)}{\psi(\lambda+n;k)\psi(-n;k)}\frac{(\lambda+n)_{k}}{(\lambda+m)_{k}}
\end{align}
となることから, 望遠鏡和によって示される.
特に, $\lambda=\frac{a-b}{\mu}, a_k=b+k, b_k=\mu$とすると,
\begin{align}
\psi(x;n)&=(b+x\mu)_n
\end{align}
となり, 以下を得る.
反転公式
\begin{align}
f(n)&=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk(a+\mu k,b-\mu k)_n\frac{\frac{a-b}{\mu}+2k}{\left(\frac{a-b}{\mu}+n\right)_{k+1}}g(k)\\
g(n)&=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk\frac{a+\mu k+k}{(a+\mu n)_{k+1}}\frac{b-\mu k+k}{(b-\mu n)_{k+1}}\left(\frac{a-b}{\mu}+k\right)_nf(k)
\end{align}
が成り立つ.
Gessel-Stantonの和公式1
非負整数$n$に対し,
\begin{align}
&\F76{2a,1+\frac{2a}3,2b,1-2b,a-d,a+d+n+\frac 12,-n}{\frac{2a}3,1+a-b,\frac 12+a+b,1+2d,-2d-2n,1+2a+2n}1\\
&=\frac{(2a+1)_{2n}\left(\frac 12+b+d,1+d-b\right)_n}{(2d+1)_{2n}\left(\frac 12+a+b,1+a-b\right)_n}
\end{align}
が成り立つ.
Dougallの${}_7F_6$和公式より,
\begin{align}
&\F76{a+d+\frac 12,\frac{2a+2d+3}4,b+d+\frac12,1-b+d,a+\frac n2,a+\frac{n+1}2,-n}{\frac{2a+2d+1}4,1+a-b,a+b+\frac12,d+\frac{3-n}2,d+\frac{2-n}2,a+d+n+\frac32}{1}\\
&=\frac{\left(2b,1-2b,a-d,a+d+\frac32\right)_n}{\left(2d+2,-1-2d,1+a-b,a+b+\frac12\right)_n}
\end{align}
が成り立つ. この左辺は
\begin{align}
&\F76{a+d+\frac 12,\frac{2a+2d+3}4,b+d+\frac12,1-b+d,a+\frac n2,a+\frac{n+1}2,-n}{\frac{2a+2d+1}4,1+a-b,a+b+\frac12,d+\frac{3-n}2,d+\frac{2-n}2,a+d+n+\frac32}{1}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{2k+a+d+\frac 12}{a+d+\frac 12}\frac{\left(a+d+\frac 12,b+d+\frac 12,1-b+d,-n\right)_k(2a+n)_{2k}}{k!\left(1+a-b,a+b+\frac 12,a+d+n+\frac 32\right)_k(2d+2-n)_{2k}}\\
&=\frac{n+a+d+\frac 12}{a+d+\frac 12}\sum_{0\leq n}(-1)^k\binom nk\frac{(2a+n)_{2k}}{(2d+2-n)_{2k}}\frac{2k+a+d+\frac 12}{\left(n+a+d+\frac 12\right)_{k+1}}\\
&\qquad\cdot \frac{\left(a+d+\frac 12,b+d+\frac 12,1-b+d\right)_k}{\left(1+a-b,a+b+\frac 12\right)_k}\\
&=\frac{n+a+d+\frac 12}{a+d+\frac 12}\frac{1}{(2a,-1-2d)_n}\sum_{0\leq n}(-1)^k\binom nk(2a+2k,-1-2d-2k)_n\frac{2k+a+d+\frac 12}{\left(n+a+d+\frac 12\right)_{k+1}}\\
&\qquad\cdot \frac{(2a)_{2k}\left(a+d+\frac 12,b+d+\frac 12,1-b+d\right)_k}{(2d+2)_{2k}\left(1+a-b,a+b+\frac 12\right)_k}
\end{align}
となるから, これは
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk(2a+2k,-1-2d-2k)_n\frac{2k+a+d+\frac 12}{\left(n+a+d+\frac 12\right)_{k+1}}\\
&\qquad\cdot\frac{(2a)_{2k}\left(a+d+\frac 12,b+d+\frac 12,1-b+d\right)_k}{(2d+2)_{2k}\left(1+a-b,a+b+\frac 12\right)_k}\\
&=\frac{\left(2a,2b,1-2b,a-d,a+d+\frac12\right)_n}{\left(2d+2,1+a-b,a+b+\frac12\right)_n}
\end{align}
と書き換えられる. よって, これに系1を適用すると,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk\frac{2a+3k}{(2a+2n)_{k+1}}\frac{-1-2d-k}{(-1-2d-2n)_{k+1}}\left(k+a+d+\frac12\right)_n\\
&\qquad\cdot\frac{\left(2a,2b,1-2b,a-d,a+d+\frac12\right)_k}{\left(2d+2,1+a-b,a+b+\frac12\right)_k}\\
&=\frac{(2a)_{2n}\left(a+d+\frac 12,b+d+\frac 12,1-b+d\right)_n}{(2d+2)_{2n}\left(a+b+\frac 12,1+a-b\right)_n}
\end{align}
が得られる. この左辺は
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk\frac{2a+3k}{(2a+2n)_{k+1}}\frac{-1-2d-k}{(-1-2d-2n)_{k+1}}\left(k+a+d+\frac12\right)_n\\
&\qquad\cdot\frac{\left(2a,2b,1-2b,a-d,a+d+\frac12\right)_k}{\left(2d+2,1+a-b,a+b+\frac12\right)_k}\\
&=\frac{(2d+1)\left(a+d+\frac 12\right)_n}{(2a+2n)(2d+1+2n)}\sum_{k=0}^n\frac{(2a+3k)\left(2a,2b,1-2b,a-d,a+d+\frac12+n,-n\right)_k}{k!\left(2d+1,1+a-b,a+b+\frac12,1+2a+2n,-2d-2n\right)_k}\\
&=\frac{2a(2d+1)\left(a+d+\frac 12\right)_n}{(2a+2n)(2d+1+2n)}\F76{2a,1+\frac{2a}3,2b,1-2b,a-d,a+d+\frac12+n,-n}{\frac{2a}3,2d+1,1+a-b,a+b+\frac12,1+2a+2n,-2d-2n}{1}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\F76{2a,1+\frac{2a}3,2b,1-2b,a-d,a+d+\frac12+n,-n}{\frac{2a}3,2d+1,1+a-b,a+b+\frac12,1+2a+2n,-2d-2n}{1}=\frac{(2a+1)_{2n}\left(b+d+\frac 12,1-b+d\right)_n}{(2d+1)_{2n}\left(a+b+\frac 12,1+a-b\right)_n}
\end{align}
となって示すべき等式が得られた.
特に$a\to \infty$とすると,
\begin{align}
\F32{2b,1-2b,-n}{1+2d,-2d-2n}1&=\frac{\left(\frac 12+b+d,1+d-b\right)_n}{\left(d+\frac 12,d+1\right)_n}
\end{align}
を得る. これは
Whippleの和公式
のterminatingな場合である.
Gessel-Stantonの和公式2
非負整数$n$に対し,
\begin{align}
&\F76{a,1+\frac{2a}3,b,\frac 12+a-b,1-2d,2a+2d+n,-n}{\frac{2a}3,1+2a-2b,2b,a+d+\frac 12,1+a+\frac n2,1-d-\frac n2}1\\
&=\begin{cases}
\displaystyle \frac{\left(\frac 12,a+1,b+d,\frac 12+a-b+d\right)_m}{\left(b+\frac 12,d,1+a-b,a+d+\frac 12\right)_m}\qquad &n=2m\\
0\qquad &n:\mathrm{odd}
\end{cases}
\end{align}
が成り立つ.
Dougallの${}_7F_6$和公式より
\begin{align}
&\F76{a+d,1+\frac{a+d}2,b+d,\frac 12+a-b+d,a+n,-\frac n2,\frac{1-n}2}{\frac{a+d}2,1+a-b,b+\frac 12,1+d-n,1+a+d+\frac n2,a+d+\frac{n+1}2}1\\
&=\frac{\left(\frac 12+a-b,b,-2d,1+2a+2d\right)_n}{\left(1+2a-2b,2b,-d,a+d+\frac 12\right)_n}
\end{align}
が成り立つ. この左辺は
\begin{align}
&\F76{a+d,1+\frac{a+d}2,b+d,\frac 12+a-b+d,a+n,-\frac n2,\frac{1-n}2}{\frac{a+d}2,1+a-b,b+\frac 12,1+d-n,1+a+d+\frac n2,a+d+\frac{n+1}2}1\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{2k+a+d}{a+d}\frac{(a+d,b+d,\frac 12+a-b+d,a+n)_k(-n)_{2k}}{k!\left(1+a-b,b+\frac 12,1+d-n\right)_k(1+2a+2d+n)_{2k}}\\
&=\frac{n+2a+2d}{2a+2d}\sum_{0\leq k}\binom n{2k}\frac{(a+n)_k}{\left(1+d-n\right)_k}\frac{4k+2a+2d}{(n+2a+2d)_{2k+1}}\\
&\qquad \cdot4^k\frac{(\frac 12,a+d,b+d,\frac 12+a-b+d)_k}{\left(1+a-b,b+\frac 12\right)_k}\\
&=\frac{n+2a+2d}{2a+2d}\frac{1}{(a,-d)_n}\sum_{0\leq k}\binom n{2k}(a+k,-d-k)_n\frac{4k+2a+2d}{(n+2a+2d)_{2k+1}}\\
&\qquad \cdot4^k\frac{(a,\frac 12,a+d,b+d,\frac 12+a-b+d)_k}{\left(d+1,1+a-b,b+\frac 12\right)_k}
\end{align}
となるので, これは
\begin{align}
&\sum_{0\leq k}\binom n{2k}(a+k,-d-k)_n\frac{4k+2a+2d}{(n+2a+2d)_{2k+1}}\\
&\qquad \cdot4^k\frac{(a,\frac 12,a+d,b+d,\frac 12+a-b+d)_k}{\left(d+1,1+a-b,b+\frac 12\right)_k}\\
&=\frac{\left(a,\frac 12+a-b,b,-2d,2a+2d\right)_n}{\left(1+2a-2b,2b,a+d+\frac 12\right)_n}
\end{align}
と書き換えられる. よって, これに系1を用いると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq k}(-1)^k\binom nk\frac{a+\frac{3k}2}{\left(a+\frac n2\right)_{k+1}}\frac{-d+\frac k2}{\left(-d-\frac n2\right)_{k+1}}(k+2a+2d)_n\\
&\qquad\cdot \frac{\left(a,\frac 12+a-b,b,-2d,2a+2d\right)_k}{\left(1+2a-2b,2b,a+d+\frac 12\right)_k}\\
&=\begin{cases}
\displaystyle 4^m\frac{(a,\frac 12,a+d,b+d,\frac 12+a-b+d)_m}{\left(d+1,1+a-b,b+\frac 12\right)_m}\qquad &n=2m\\
0\qquad &n:\mathrm{odd}
\end{cases}
\end{align}
となる. ここで, 左辺は$n=2m$として,
\begin{align}
&\sum_{0\leq k}(-1)^k\binom nk\frac{a+\frac{3k}2}{\left(a+\frac n2\right)_{k+1}}\frac{-d+\frac k2}{\left(-d-\frac n2\right)_{k+1}}(k+2a+2d)_n\\
&\qquad\cdot \frac{\left(a,\frac 12+a-b,b,-2d,2a+2d\right)_k}{\left(1+2a-2b,2b,a+d+\frac 12\right)_k}\\
&=\frac{d(2a+2d)_n}{2(a+m)(d+m)}\sum_{0\leq k}\frac{(2a+3k)\left(a,\frac 12+a-b,b,1-2d,2a+2d+n,-n\right)_k}{k!\left(1+2a-2b,2b,a+d+\frac 12,1+a+\frac n2,1-d-\frac n2\right)_k}\\
&=\frac{ad(2a+2d)_n}{(a+m)(d+m)}\F76{a,1+\frac{2a}3,b,\frac 12+a-b,1-2d,2a+2d+n,-n}{\frac{2a}3,1+2a-2b,2b,a+d+\frac 12,1+a+\frac n2,1-d-\frac n2}1
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\F76{a,1+\frac{2a}3,b,\frac 12+a-b,1-2d,2a+2d+n,-n}{\frac{2a}3,1+2a-2b,2b,a+d+\frac 12,1+a+\frac n2,1-d-\frac n2}1\\
&\qquad\cdot \frac{\left(a,\frac 12+a-b,b,-2d,2a+2d\right)_k}{\left(1+2a-2b,2b,a+d+\frac 12\right)_k}\\
&=\begin{cases}
\displaystyle \frac{(a+1,\frac 12,b+d,\frac 12+a-b+d)_m}{\left(d,1+a-b,b+\frac 12,a+b+\frac 12\right)_m}\qquad &n=2m\\
0\qquad &n:\mathrm{odd}
\end{cases}
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
特に, $a\to\infty$とすると,
\begin{align}
\F32{b,1-2d,-n}{2b,1-d-\frac n2}1&=\begin{cases}
\displaystyle \frac{\left(\frac 12,b+d\right)_m}{\left(b+\frac 12,d\right)_m}\qquad &n=2m\\
0\qquad &n:\mathrm{odd}
\end{cases}
\end{align}
を得る. これは
Watsonの和公式
のterminatingな場合である.
