Whippleの6F5和公式の類似
Whippleの${}_6F_5$和公式
は
\begin{align}
&\F65{a,1+\frac a2,b,1-b,c,1-c}{\frac a2,1+a-b,a+b,1+a-c,a+c}{-1}\\
&=2^{1-2a}\pi\frac{\Gamma(a+b)\Gamma(1+a-b)\Gamma(a+c)\Gamma(1+a-c)}{\Gamma(a)\Gamma(1+a)\Gamma\left(\frac{a+b+c}2\right)\Gamma\left(\frac{1+a-b+c}2\right)\Gamma\left(\frac{1+a+b-c}2\right)\Gamma\left(\frac{2+a-b-c}2\right)}
\end{align}
で与えられる和公式である. 今回はその類似となる公式を与えていきたい. まず, Whippleの${}_7F_6$変換公式
\begin{align}
&\F76{a,1+\frac a2,b,c,d,e,-N}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a+N}{1}\\
&=\frac{(1+a,1+a-d-e)_N}{(1+a-d,1+a-e)_N}\F43{1+a-b-c,d,e,-N}{1+a-b,1+a-c,d+e-N-a}{1}
\end{align}
において, $N\to\infty$として
\begin{align}
&\F65{a,1+\frac a2,b,c,d,e}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e}{-1}\\
&=\frac{\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-d-e)}\F32{1+a-b-c,d,e}{1+a-b,1+a-c}{1}
\end{align}
を得る. ここで, $c=1-b, d=1-e$としてから$e\mapsto c$とすると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(2n+a)(a,b,1-b,c,1-c)_n}{n!(1+a-b,a+b,1+a-c,a+c)_n}\\
&=\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(a+c)}{\Gamma(a)^2}\sum_{0\leq n}\frac{(a,c,1-c)_n}{n!(1+a-b,a+b)_n}
\end{align}
ここで, $e\mapsto e+1$とすると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(2n+a)(a,b,c,d,e+1)_n}{n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d,a-e)_n}\\
&=\frac{\Gamma(1+a-d)\Gamma(a-e)}{\Gamma(a)\Gamma(a-d-e)}\sum_{0\leq n}\frac{(1+a-b-c,d,e+1)_n}{n!(1+a-b,1+a-c)_n}
\end{align}
を得る. ここで,
\begin{align}
\frac{(e+1)_n}{(a-e)_n}&=\frac{(n+e)(n+a-e)}{e(a-e)}\frac{(e)_n}{(1+a-e)_n}
\end{align}
などを用いて整理すると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(2n+a)(n+e)(n+a-e)(a,b,c,d,e)_n}{n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e)_n}\\
&=\frac{\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)}{\Gamma(a)\Gamma(a-d-e)}\sum_{0\leq n}\frac{(n+e)(1+a-b-c,d,e)_n}{n!(1+a-b,1+a-c)_n}
\end{align}
を得る. ここで, $c=1-b, d=1-e$としてから, $e\mapsto c$とすると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(2n+a)(n+c)(n+a-c)(a,b,1-b,c,1-c)_n}{n!(1+a-b,a+b,1+a-c,a+c)_n}\\
&=\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(a+c)}{\Gamma(a)^2}\sum_{0\leq n}\frac{(a-1)(n+c)(a,c,1-c)_n}{n!(1+a-b,a+b)_n}
\end{align}
を得る. $a+b=2, e+f=2c+1$のときに成り立つLavoieによる1987年の結果
\begin{align}
\F32{a,b,c}{e,f}{1}&=\frac{2^{1-2a}\Gamma(e)\Gamma(f)}{(a-1)(c-1)\Gamma(e-a)\Gamma(f-a)}\\
&\qquad\cdot\left(\frac{\Gamma\left(\frac{e-a}2\right)\Gamma\left(\frac{f-a}2\right)}{\Gamma\left(\frac{e-b}2\right)\Gamma\left(\frac{f-b}2\right)}-\frac{\Gamma\left(\frac{e-a+1}2\right)\Gamma\left(\frac{f-a+1}2\right)}{\Gamma\left(\frac{e-b+1}2\right)\Gamma\left(\frac{f-b+1}2\right)}\right)
\end{align}
をWhippleの和公式を用いて整理して得られる式
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\left((a-1)n+\frac{(a-b)(a+b-1)-c(1-c)}2\right)\frac{(a,c,1-c)_n}{n!(1+a-b,a+b)_n}\\
&=\frac{2^{2-2c}\pi\Gamma(a+b)\Gamma(1+a-b)}{\Gamma\left(\frac{1+a-b-c}2\right)\Gamma\left(\frac{a+b-c}2\right)\Gamma\left(\frac{a-b+c}2\right)\Gamma\left(\frac{a+b+c-1}2\right)}
\end{align}
を用いれば, 先ほどの式
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(2n+a)(a,b,1-b,c,1-c)_n}{n!(1+a-b,a+b,1+a-c,a+c)_n}\\
&=\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(a+c)}{\Gamma(a)^2}\sum_{0\leq n}\frac{(a,c,1-c)_n}{n!(1+a-b,a+b)_n}
\end{align}
と合わせて,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(2n+a)\left((n+c)(n+a-c)+c(1-a)+\frac{(a-b)(a+b-1)-c(1-c)}{2}\right)(a,b,1-b,c,1-c)_n}{n!(1+a-b,a+b,1+a-c,a+c)_n}\\
&=\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(a+c)}{\Gamma(a)^2}\sum_{0\leq n}\left((a-1)n+\frac{(a-b)(a+b-1)-c(1-c)}2\right)\frac{(a,c,1-c)_n}{n!(1+a-b,a+b)_n}\\
&=\frac{2^{2-2a}\pi\Gamma(a+b)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(a+c)}{\Gamma(a)^2\Gamma\left(\frac{1+a-b-c}2\right)\Gamma\left(\frac{a+b-c}2\right)\Gamma\left(\frac{a-b+c}2\right)\Gamma\left(\frac{a+b+c-1}2\right)}
\end{align}
を得る. 左辺の多項式の中身は
\begin{align}
&(n+c)(n+a-c)+c(1-a)+\frac{(a-b)(a+b-1)-c(1-c)}{2}\\
&=\left(n+\frac a2\right)^2+\frac{a^2}4+\frac{b(1-b)+c(1-c)-a}2
\end{align}
である. まとめると以下を得る.
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(2n+a)((2n+a)^2+2b(1-b)+2c(1-c)-a(2-a))(a,b,1-b,c,1-c)_n}{n!(1+a-b,a+b,1+a-c,a+c)_n}\\ &=\frac{2^{4-2a}\pi\Gamma(a+b)\Gamma(1+a-b)\Gamma(a+c)\Gamma(1+a-c)}{\Gamma(a)^2\Gamma\left(\frac{1+a-b-c}2\right)\Gamma\left(\frac{a+b-c}2\right)\Gamma\left(\frac{a-b+c}2\right)\Gamma\left(\frac{a+b+c-1}2\right)} \end{align}
例として, $b=c=\frac 12$の場合,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(2n+a)((2n+a)^2+(a-1)^2)(a)_n\left(\frac 12\right)_n^4}{n!\left(a+\frac 12\right)_n^4}&=\frac{2^{4-2a}\pi\Gamma\left(a+\frac 12\right)^4}{\Gamma(a)^2\Gamma\left(\frac a2\right)^4}
\end{align}
を得る.
この定理1が書かれている論文は見たことがないが, さすがに既知の結果ではないかと思っている. 念のため数値も確認したが, 正しそうである.
追記
Shi-Zhangの2017年の論文でもう一つの
Whippleの${}_6F_5$和公式
\begin{align}
&\F65{a,1+\frac a2,c,1+a-2c,d,1+2a-2c-d}{\frac a2,1+a-c,2c,1+a-d,2c+d-a}{-1}\\
&=\frac{\Gamma\left(\frac 12\right)\Gamma\left(c+\frac 12\right)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(2c+d-a)}{\Gamma(1+a)\Gamma\left(\frac{d+1}2\right)\Gamma\left(c+\frac{1-d}2\right)\Gamma\left(1+a-c-\frac d2\right)\Gamma\left(2c-a+\frac d2\right)}
\end{align}
のterminatingな場合に対する定理1の類似が示されているようである.
