二重数列の漸化式（二変数漸化式）の解法その2
この記事は 二重数列の漸化式（二変数漸化式）の解法 の続編です.
この記事では次の定理1の形で表される二重数列の漸化式（二変数漸化式）を扱う.
二重数列 $\{a_{n, m} \}_{n \geq m \geq 0} \subset \mathbb{C}$ が次を満たしている.
$$
a_{n, m} = f(n) a_{n, m - 1} + g(n) a_{n - 1, m - 1}
\quad (\forall n \geq m \geq 1)
$$
ただし, $f, g$ は $\mathbb{Z}_{\geq 0}$ から $\mathbb{C}$ への写像である.
ここで $a_{k, 0}$ $(k = 0,1, \ldots)$ が既知であるとき,
$$
a_{n, m}
= \sum_{k = 0}^{m} \sum_{a_{n - k}^{(k)} + \cdots + a_{n}^{(k)} = m - k} f(n - k)^{a_{n - k}^{(k)}} \cdots f(n)^{a_{n}^{(k)}} g(n) \cdots g(n - k + 1) a_{n - k, 0}
$$
と表せる. ただし $n \geq m \geq 0$ であり, $ a_i^{(k)}$ は非負整数を動く.
$m = 0$ のとき, これが成立していることは容易に確かめられる.
$m$ までで成立していると仮定し, $m + 1$ のときに成立していることを示す.
\begin{align*}
a_{n, m + 1} &= f(n) a_{n, m} + g(n) a_{n - 1, m} \\
&= f(n) \sum_{k = 0}^{m} \sum_{a_{n - k}^{(k)} + \cdots + a_{n}^{(k)} = m - k} f(n - k)^{a_{n - k}^{(k)}} \cdots f(n)^{a_{n}^{(k)}} g(n) \cdots g(n - k + 1) a_{n - k, 0} \\
&\quad + g(n) \sum_{k = 0}^{m} \sum_{a_{n - k - 1}^{(k)} + \cdots + a_{n - 1}^{(k)} = m - k} f(n - k - 1)^{a_{n - k - 1}^{(k)}} \cdots f(n - 1)^{a_{n - 1}^{(k)}} g(n - 1) \cdots g(n - k) a_{n - k - 1, 0} \\
&= \sum_{k = 0}^{m} \sum_{a_{n - k}^{(k)} + \cdots + a_{n}^{(k)} = m - k} f(n - k)^{a_{n - k}^{(k)}} \cdots f(n)^{1 + a_{n}^{(k)}} g(n) \cdots g(n - k + 1) a_{n - k, 0} \\
&\quad + \sum_{k = 1}^{m + 1} \sum_{a_{n - k}^{(k)} + \cdots + a_{n - 1}^{(k)} = m - k + 1} f(n - k)^{a_{n - k}^{(k)}} \cdots f(n - 1)^{a_{n - 1}^{(k)}} g(n) \cdots g(n - k + 1) a_{n - k, 0} \\
&= \sum_{k = 1}^{m} \sum_{a_{n - k}^{(k)} + \cdots + a_{n}^{(k)} = m - k + 1} f(n - k)^{a_{n - k}^{(k)}} \cdots f(n)^{a_{n}^{(k)}} g(n) \cdots g(n - k + 1) a_{n - k, 0} \\
&\quad + f(n)^{m + 1} a_{n, 0} + g(n) \cdots g(n - m) a_{n - m - 1, 0} \\
&= \sum_{k = 0}^{m + 1} \sum_{a_{n - k}^{(k)} + \cdots + a_{n}^{(k)} = m - k + 1} f(n - k)^{a_{n - k}^{(k)}} \cdots f(n)^{a_{n}^{(k)}} g(n) \cdots g(n - k + 1) a_{n - k, 0}
\end{align*}
となり数学的帰納法から示された.
ここで $f(n) \equiv p$, $g(n) \equiv q$ とすると次が従う.
$p, q \in \mathbb{C}$ に対して, 二重数列 $\{a_{n, m} \}_{n \geq m \geq 0} \subset \mathbb{C}$ が次を満たしている.
$$
a_{n, m} = p a_{n, m - 1} + q a_{n - 1, m - 1}
\quad (\forall n \geq m \geq 1)
$$
ここで $a_{k, 0}$ $(k = 0,1, \ldots)$ が既知であるとき, 一般項は
$$
a_{n, m}
= \sum_{k = 0}^m \binom{m}{k} p^{m - k} q^k a_{n - k, 0}
$$
と表せる. ただし $n \geq m \geq 0$ である.
またさらに次が成立する.
定理1の状況で, さらに $f(1), f(2), \ldots$ の値が相異なるならば
$$
a_{n, m}
= \sum_{k = n - m}^{n} \sum_{i = k}^{n} \frac{f(i)^m g(n) \cdots g(k + 1) }{\prod_{k \leq j \leq n, \, j \neq i} \{f(i) - f(j)\}} a_{k, 0}
$$
と表せる. ただし $n \geq m \geq 0$ である.
これは前の記事の定理3の証明から従う.
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