Jacobi関数の対称性

$x\mapsto -x$に関する対称性

Jacobi多項式が対称性
\begin{align} P_n^{(a,b)}(-x)&=(-1)^nP_n^{(b,a)}(x) \end{align}
を持つことは良く知られている. 今回はJacobi関数に関してそのような関係式を与えようと思う. 前の記事 と同様に第1種, 第2種のJacobi関数を
\begin{align} P_{\nu}^{(a,b)}(x)&:=\frac{\Gamma(a+\nu+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,a+b+\nu+1}{a+1}{\frac{1-x}2}\\ Q_{\nu}^{(a,b)}(x)&:=\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(-a)\cos\pi a}{\pi\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,\nu+a+b+1}{a+1}{\frac{1-x}2}\\ &\qquad+\frac{\Gamma(a)\Gamma(b+\nu+1)}{\pi\Gamma(a+b+\nu+1)}\left(\frac{1-x}2\right)^{-a}\F21{-\nu-a,\nu+b+1}{1-a}{\frac{1-x}2} \end{align}
と定義する. まず超幾何関数の接続公式
\begin{align} \F21{a,b}c{x}&=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\\ &\qquad+\frac{\Gamma(c)\Gamma(a+b-c)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}(1-z)^{c-a-b}\F21{c-a,c-b}{1+c-a-b}{1-x} \end{align}
を用いると,
\begin{align} &P_{\nu}^{(a,b)}(-x)\\ &=\frac{\Gamma(a+\nu+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,a+b+\nu+1}{a+1}{\frac{1+x}2}\\ &=\frac{\Gamma(a+\nu+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(\nu+1)}\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(-b)}{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(-b-\nu)}\F21{-\nu,a+b+\nu+1}{b+1}{\frac{1-x}2}\\ &\qquad+\frac{\Gamma(a+\nu+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(\nu+1)}\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(b)}{\Gamma(-\nu)\Gamma(a+b+\nu+1)}\left(\frac{1-x}2\right)^{-b}\F21{-\nu-b,\nu+a+1}{1-b}{\frac{1-x}2}\\ &=\frac{\sin\pi(b+\nu)}{\sin\pi b}P_{\nu}^{(b,a)}(x)-\frac{\sin\pi\nu}{\pi}\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b+\nu+1)}\left(\frac{1-x}2\right)^{-b}\F21{-\nu-b,\nu+a+1}{1-b}{\frac{1-x}2}\\ &=\frac{\sin\pi(b+\nu)}{\sin\pi b}P_{\nu}^{(b,a)}(x)-\sin\pi\nu\left(Q_{\nu}^{(b,a)}(x)-\frac{\Gamma(b+\nu+1)\Gamma(-b)\cos\pi b}{\pi\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,\nu+a+b+1}{b+1}{\frac{1-x}2}\right)\\ &=\frac{\sin\pi(b+\nu)}{\sin\pi b}P_{\nu}^{(b,a)}(x)-\sin\pi\nu\left(Q_{\nu}^{(b,a)}(x)+\frac{\cos\pi b}{\sin\pi b}P_{\nu}^{(b,a)}(x)\right)\\ &=\frac{\sin\pi(b+\nu)-\sin\pi\nu\cos\pi b}{\sin\pi b}P_{\nu}^{(b,a)}(x)- Q_{\nu}^{(b,a)}(x)\sin\pi\nu\\ &=P_{\nu}^{(b,a)}(x)\cos\pi \nu -Q_{\nu}^{(b,a)}(x)\sin\pi\nu \end{align}
つまり,
\begin{align} P_{\nu}^{(a,b)}(-x)&=P_{\nu}^{(b,a)}(x)\cos\pi \nu -Q_{\nu}^{(b,a)}(x)\sin\pi\nu \end{align}
を得る. また,　ここで$x\mapsto -x$として$a,b$を入れ替えて$Q_{\nu}^{(a,b)}$に関して整理すると,
\begin{align} Q_{\nu}^{(a,b)}(-x)\sin\pi\nu&=P_{\nu}^{(a,b)}(-x)\cos\pi \nu- P_{\nu}^{(b,a)}(x)\\ &=(P_{\nu}^{(b,a)}(x)\cos\pi \nu -Q_{\nu}^{(b,a)}(x)\sin\pi\nu )\cos\pi \nu- P_{\nu}^{(b,a)}(x)\\ &=-\sin\pi\nu(P_{\nu}^{(b,a)}(x)\sin\pi \nu+Q_{\nu}^{(b,a)}(x)\cos\pi \nu) \end{align}
より,
\begin{align} Q_{\nu}^{(a,b)}(-x)&=-P_{\nu}^{(b,a)}(x)\sin\pi \nu-Q_{\nu}^{(b,a)}(x)\cos\pi \nu \end{align}
を得る. まとめると以下のようになる.

特に, $\nu=n$が整数のとき,
\begin{align} Q_n^{(a,b)}(-x)&=-(-1)^nQ_n^{(b,a)}(x) \end{align}
が成り立つことが分かる. つまり, $Q^{(a,a)}_n(x)$は奇関数である.

定理1を行列で書くと
\begin{align} \left( P_{\nu}^{(a,b)}(-x)\atop Q_{\nu}^{(a,b)}(-x)\right)&=\left(\begin{matrix}\cos\pi\nu &-\sin\pi\nu\\-\sin\pi\nu&-\cos\pi\nu\end{matrix}\right)\left( P_{\nu}^{(b,a)}(x)\atop Q_{\nu}^{(b,a)}(x)\right) \end{align}
$x\mapsto -x$の変換は二回行うと元に戻るが, 上の行列も2乗すると単位行列になっていることが確かめられる. これらの係数は$a,b$に依存していないので, 上の$P_{\nu}^{(a,b)},Q_{\nu}^{(a,b)}$の特別な場合として第1種, 第2種の超球関数, Legendre関数を定義した場合にも全く同様の対称性を満たすことが分かる.

$\nu\mapsto -\nu-a-b-1$に関する対称性

\begin{align} \F21{-\nu,a+b+\nu+1}{a+1}{\frac{1-x}2} \end{align}
は$\nu\mapsto -\nu-a-b-1$に関して不変になっていることが分かる. よって,
\begin{align} P_{-\nu-a-b-1}^{(a,b)}(x)&=\frac{\Gamma(-b-\nu)}{\Gamma(a+1)\Gamma(-a-b-\nu)}\F21{-\nu,a+b+\nu+1}{a+1}{\frac{1-x}2}\\ &=\frac{\Gamma(-b-\nu)\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(-a-b-\nu)\Gamma(a+\nu+1)}P_{\nu}^{(a,b)}(x) \end{align}
が成り立つことが分かる. 同様に
\begin{align} &Q_{-\nu-a-b-1}^{(a,b)}(x)\\ &=\frac{\Gamma(-b-\nu)\Gamma(-a)\cos\pi a}{\pi\Gamma(-a-b-\nu)}\F21{-\nu,\nu+a+b+1}{a+1}{\frac{1-x}2}\\ &\qquad+\frac{\Gamma(a)\Gamma(-a-\nu)}{\pi\Gamma(-\nu)}\left(\frac{1-x}2\right)^{-a}\F21{-\nu-a,\nu+b+1}{1-a}{\frac{1-x}2}\\ &=\frac{\Gamma(-b-\nu)\Gamma(-a)\cos\pi a}{\pi\Gamma(-a-b-\nu)}\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(a+\nu+1)}P_{\nu}^{(a,b)}(x)\\ &\qquad+\frac{\Gamma(a)\Gamma(-a-\nu)}{\pi\Gamma(-\nu)}\frac{\pi\Gamma(a+b+\nu+1)}{\Gamma(a)\Gamma(b+\nu+1)}\\ &\qquad\cdot\left(Q_{\nu}^{(a,b)}(x)-\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(-a)\cos\pi a}{\pi\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,\nu+a+b+1}{a+1}{\frac{1-x}2}\right)\\ &=-\frac{\Gamma(-b-\nu)\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(-a-b-\nu)\Gamma(a+\nu+1)}\cot\pi aP_{\nu}^{(a,b)}(x)\\ &\qquad+\frac{\Gamma(-a-\nu)\Gamma(a+b+\nu+1)}{\Gamma(-\nu)\Gamma(b+\nu+1)}\left(Q_{\nu}^{(a,b)}(x)+\cot\pi aP_{\nu}^{(a,b)}(x)\right)\\ &=\frac{\Gamma(-a-\nu)\Gamma(a+b+\nu+1)}{\Gamma(-\nu)\Gamma(b+\nu+1)}Q_{\nu}^{(a,b)}(x)\\ &\qquad+\left(\frac{\Gamma(-a-\nu)\Gamma(a+b+\nu+1)}{\Gamma(-\nu)\Gamma(b+\nu+1)}-\frac{\Gamma(-b-\nu)\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(-a-b-\nu)\Gamma(a+\nu+1)}\right)\cot\pi aP_{\nu}^{(a,b)}(x)\\ &=\frac{\Gamma(-a-\nu)\Gamma(a+b+\nu+1)}{\Gamma(-\nu)\Gamma(b+\nu+1)}Q_{\nu}^{(a,b)}(x)\\ &\qquad+\frac{\Gamma(-a-\nu)\Gamma(a+b+\nu+1)\Gamma(-b-\nu)\Gamma(\nu+1)}{\pi^2}\\ &\qquad\cdot\left(\sin\pi\nu\sin\pi(b+\nu)-\sin\pi(a+\nu)\sin\pi(a+b+\nu)\right)\cot\pi aP_{\nu}^{(a,b)}(x)\\ &=\frac{\Gamma(-a-\nu)\Gamma(a+b+\nu+1)}{\Gamma(-\nu)\Gamma(b+\nu+1)}Q_{\nu}^{(a,b)}(x)\\ &\qquad-\frac{\Gamma(-a-\nu)\Gamma(a+b+\nu+1)\Gamma(-b-\nu)\Gamma(\nu+1)}{\pi^2}P^{(a,b)}_{\nu}(x)\cos\pi a\sin\pi(2\nu+a+b)\\ &=\frac{\Gamma(-a-\nu)\Gamma(a+b+\nu+1)}{\Gamma(-\nu)\Gamma(b+\nu+1)}\left(Q_{\nu}^{(a,b)}(x)-\frac{\cos\pi a\sin\pi(2\nu+a+b)}{\sin\pi\nu\sin\pi(b+\nu)}P^{(a,b)}_{\nu}(x)\right) \end{align}
よって以下を得る.