Jacobi関数の定義と超球関数との関係
第1種Jacobi関数は
\begin{align}
P_{\nu}^{(a,b)}(x):=\frac{\Gamma(a+\nu+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,a+b+\nu+1}{a+1}{\frac{1-x}2}
\end{align}
と定義される. 第2種Jacobi関数の定義には様々な流儀があるようであるが, ここでは
特殊関数 グラフィックスライブラリー
における定義
\begin{align}
Q_{\nu}^{(a,b)}(x)&:=\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(-a)\cos\pi a}{\pi\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,\nu+a+b+1}{a+1}{\frac{1-x}2}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(a)\Gamma(b+\nu+1)}{\pi\Gamma(a+b+\nu+1)}\left(\frac{1-x}2\right)^{-a}\F21{-\nu-a,\nu+b+1}{1-a}{\frac{1-x}2}
\end{align}
を主に用いることにする. 定義から, これは第1種Jacobi関数を用いて
\begin{align}
Q_{\nu}^{(a,b)}(x)&=-\cot\pi a P_{\nu}^{(a,b)}(x)+\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(b+\nu+1)}{\sin\pi a\Gamma(\nu+1)\Gamma(a+b+\nu+1)}\left(\frac{1-x}2\right)^{-a}P_{\nu+a}^{(-a,b)}(x)
\end{align}
と表すこともできる.
超球関数との関係
第1種超球関数は
\begin{align}
C_{\nu}^{(a)}(x)&:=\frac{\Gamma(2a+\nu)}{\Gamma(2a)\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,2a+\nu}{a+\frac 12}{\frac{1-x}2}
\end{align}
される. 定義より,
\begin{align}
P_{\nu}^{(a,a)}(x)&=\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(2a+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(2a+1+\nu)}C_{\nu}^{\left(a+\frac 12\right)}(x)
\end{align}
の関係があることが分かる.
前の記事
で第2種超球関数の表示
\begin{align}
D_{\nu}^{(a)}(x)&=\frac{\Gamma(\nu+2a)\tan\pi a}{\Gamma(2a)\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,2a+\nu}{a+\frac 12}{\frac{1-x}2}\\
&\qquad+\frac{\Gamma\left(a+\frac 12\right)\Gamma\left(a-\frac 12\right)}{\pi\Gamma(2a)}\left(\frac{1-x}2\right)^{\frac 12-a}\F21{\frac 12-a-\nu,\frac 12+a+\nu}{\frac 32-a}{\frac{1-x}2}
\end{align}
を得た. 第2種Jacobi関数の定義から,
\begin{align}
&\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(2a+1+\nu)}{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(2a+1)}Q_{\nu}^{(a,a)}(x)\\
&=\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(2a+1+\nu)}{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(2a+1)}\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(-a)\cos\pi a}{\pi\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,\nu+2a+1}{a+1}{\frac{1-x}2}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(2a+1+\nu)}{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(2a+1)}\frac{\Gamma(a)\Gamma(a+\nu+1)}{\pi\Gamma(2a+\nu+1)}\left(\frac{1-x}2\right)^{-a}\F21{-\nu-a,\nu+a+1}{1-a}{\frac{1-x}2}\\
&=-\frac{\Gamma(2a+1+\nu)\cos\pi a}{\Gamma(2a+1)\Gamma(\nu+1)\sin\pi a}\F21{-\nu,\nu+2a+1}{a+1}{\frac{1-x}2}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(a)}{\pi\Gamma(2a+1)}\left(\frac{1-x}2\right)^{-a}\F21{-\nu-a,\nu+a+1}{1-a}{\frac{1-x}2}\\
&=D_{\nu}^{\left(a+\frac 12\right)}(x)
\end{align}
となる. まとめると以下のようになる.
\begin{align} P_{\nu}^{(a,a)}(x)&=\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(2a+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(2a+1+\nu)}C_{\nu}^{\left(a+\frac 12\right)}(x)\\ Q^{(a,a)}_{\nu}(x)&=\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(2a+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(2a+1+\nu)}D_{\nu}^{\left(a+\frac 12\right)}(x) \end{align}
Hobson型の定義との関係
第2種Jacobi関数の別の定義として, 分岐切断線を$(-\infty,1)$に持つHobson型の定義
\begin{align}
\tilde{Q}_{\nu}^{(a,b)}(x):=\frac 1{2^{\nu+1}(x-1)^a(x+1)^b}\int_{-1}^1(1-t)^{\nu+a}(1+t)^{\nu+b}(x-t)^{-\nu-1}\,dt
\end{align}
も考えられているようである. これは
\begin{align}
\tilde{Q}_{\nu}^{(a,b)}(x)&=\frac 1{2^{\nu+1}(x-1)^a(x+1)^b}\int_{-1}^1(1-t)^{\nu+a}(1+t)^{\nu+b}(x-t)^{-\nu-1}\,dt\\
&=\frac 1{2^{\nu+1}(x-1)^{a+\nu+1}(x+1)^b}\int_{-1}^1(1-t)^{\nu+a}(1+t)^{\nu+b}\left(1-\frac{1-t}{1-x}\right)^{-\nu-1}\,dt\\
&=\frac 1{2^{\nu+1}(x-1)^{a+\nu+1}(x+1)^b}\sum_{0\leq n}\frac{(\nu+1)_n}{n!}\left(\frac 1{1-x}\right)^n\int_{-1}^1(1-t)^{\nu+a+n}(1+t)^{\nu+b}\,dt\\
&=\frac {2^{\nu+a+b}}{(x-1)^{a+\nu+1}(x+1)^b}\sum_{0\leq n}\frac{(\nu+1)_n}{n!}\left(\frac 2{1-x}\right)^n\frac{\Gamma(\nu+a+n+1)\Gamma(\nu+b+1)}{\Gamma(2\nu+a+b+n+2)}\\
&=\frac {2^{\nu+a+b}\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(b+\nu+1)}{\Gamma(2\nu+a+b+2)(x-1)^{a+\nu+1}(x+1)^b}\F21{\nu+1,a+\nu+1}{2\nu+a+b+2}{\frac{2}{1-x}}
\end{align}
と超幾何関数を用いて表される. 先ほど定義したJacobi関数との間に以下の関係が成立する.
$0<\Im(x)$のとき,
\begin{align}
\tilde{Q}_{\nu}^{(a,b)}(x)&=\frac{\pi}2e^{-\pi ia}(Q_{\nu}^{(a,b)}(x)-iP_{\nu}^{(a,b)}(x))
\end{align}
が成り立つ. また, $\Im(x)<0$のとき,
\begin{align}
\tilde{Q}_{\nu}^{(a,b)}(x)&=\frac{\pi}2e^{\pi ia}(Q_{\nu}^{(a,b)}(x)+iP_{\nu}^{(a,b)}(x))
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
\tilde{Q}_{\nu}^{(a,b)}(x)&=\frac {2^{\nu+a+b}\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(b+\nu+1)}{\Gamma(2\nu+a+b+2)(x-1)^{a+\nu+1}(x+1)^b}\F21{\nu+1,a+\nu+1}{2\nu+a+b+2}{\frac{2}{1-x}}
\end{align}
の右辺に対し,
超幾何関数の接続公式
\begin{align}
\F21{a,b}{c}{\frac 1x}&=\frac{\Gamma(c)\Gamma(b-a)}{\Gamma(b)\Gamma(c-a)}(-x)^a\F21{a,1+a-c}{1+a-b}{x}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(c)\Gamma(a-b)}{\Gamma(a)\Gamma(c-b)}(-x)^b\F21{b,1+b-c}{1+b-a}{x}
\end{align}
を用いると,
\begin{align}
\tilde{Q}_{\nu}^{(a,b)}(x)&=\frac {2^{\nu+a+b}\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(b+\nu+1)}{\Gamma(2\nu+a+b+2)(x-1)^{a+\nu+1}(x+1)^b}\\
&\qquad\cdot\bigg(\frac{\Gamma(2\nu+a+b+2)\Gamma(a)}{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(\nu+a+b+1)}\left(\frac{x-1}2\right)^{\nu+1}\F21{\nu+1,-\nu-a-b}{1-a}{\frac{1-x}2}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(2\nu+a+b+2)\Gamma(-a)}{\Gamma(\nu+1)\Gamma(\nu+b+1)}\left(\frac{x-1}2\right)^{a+\nu+1}\F21{a+\nu+1,-b-\nu}{a+1}{\frac{1-x}2}\bigg)\\
&=\frac {2^{\nu+a+b}}{(x-1)^{a+\nu+1}(x+1)^b}\\
&\qquad\cdot\bigg(\frac{\Gamma(a)\Gamma(\nu+b+1)}{\Gamma(\nu+a+b+1)}\left(\frac{x-1}2\right)^{\nu+1}\F21{\nu+1,-\nu-a-b}{1-a}{\frac{1-x}2}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(-a)\Gamma(a+\nu+1)}{\Gamma(\nu+1)}\left(\frac{x-1}2\right)^{a+\nu+1}\F21{a+\nu+1,-b-\nu}{a+1}{\frac{1-x}2}\bigg)\\
&=\frac {2^{\nu+a}}{(x-1)^{a+\nu+1}}\bigg(\frac{\Gamma(a)\Gamma(\nu+b+1)}{\Gamma(\nu+a+b+1)}\left(\frac{x-1}2\right)^{\nu+1}\F21{-\nu-a,\nu+b+1}{1-a}{\frac{1-x}2}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(-a)\Gamma(a+\nu+1)}{\Gamma(\nu+1)}\left(\frac{x-1}2\right)^{a+\nu+1}\F21{-\nu,a+b+\nu+1}{a+1}{\frac{1-x}2}\bigg)\\
&=\frac{\Gamma(a)\Gamma(\nu+b+1)}{2\Gamma(\nu+a+b+1)}\left(\frac{x-1}2\right)^{-a}\F21{-\nu-a,\nu+b+1}{1-a}{\frac{1-x}2}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(-a)\Gamma(a+\nu+1)}{2\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,a+b+\nu+1}{a+1}{\frac{1-x}2}\\
\end{align}
ここで, $\Im(x)>0$に注意すると
\begin{align}
\left(\frac{x-1}2\right)^{-a}&=e^{-\pi ia}\left(\frac{1-x}2\right)^{-a}
\end{align}
である. 一方, 定義より,
\begin{align}
&Q_{\nu}^{(a)}(x)-iP_{\nu}^{(a,b)}(x)\\
&=\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(-a)\cos\pi a}{\pi\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,\nu+a+b+1}{a+1}{\frac{1-x}2}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(a)\Gamma(b+\nu+1)}{\pi\Gamma(a+b+\nu+1)}\left(\frac{1-x}2\right)^{-a}\F21{-\nu-a,\nu+b+1}{1-a}{\frac{1-x}2}\\
&\qquad-i\frac{\Gamma(a+\nu+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,a+b+\nu+1}{a+1}{\frac{1-x}2}\\
&=\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(-a)e^{\pi ia}}{\pi\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,\nu+a+b+1}{a+1}{\frac{1-x}2}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(a)\Gamma(b+\nu+1)}{\pi\Gamma(a+b+\nu+1)}\left(\frac{1-x}2\right)^{-a}\F21{-\nu-a,\nu+b+1}{1-a}{\frac{1-x}2}\\
\end{align}
であるから, これらより
\begin{align}
\tilde{Q}_{\nu}^{(a,b)}(x)&=\frac{\pi}2e^{-\pi ia}(Q_{\nu}^{(a,b)}(x)-iP_{\nu}^{(a,b)}(x))
\end{align}
を得る. $\Im(x)<0$の場合も全く同様である.
特に$f(x+i0):=\lim_{\varepsilon\searrow 0}f(x+i\varepsilon)$として, $-1< x<1$に対し,
\begin{align}
\tilde{Q}_{\nu}^{(a,b)}(x+i0)&=\frac{\pi}2e^{-\pi ia}(Q_{\nu}^{(a,b)}(x)-iP_{\nu}^{(a,b)}(x))\\
\tilde{Q}_{\nu}^{(a,b)}(x-i0)&=\frac{\pi}2e^{\pi ia}(Q_{\nu}^{(a,b)}(x)+iP_{\nu}^{(a,b)}(x))
\end{align}
であるから,
\begin{align}
P_{\nu}^{(a,b)}(x)&=\frac 1{\pi}(ie^{\pi ia}\tilde{Q}_{\nu}^{(a,b)}(x+i0)-ie^{-\pi ia}\tilde{Q}_{\nu}^{(a,b)}(x-i0))\\
Q_{\nu}^{(a,b)}(x)&=\frac 1{\pi}(e^{\pi ia}\tilde{Q}_{\nu}^{(a,b)}(x+i0)+e^{-\pi ia}\tilde{Q}_{\nu}^{(a,b)}(x-i0))
\end{align}
これは
前の記事
の定理3の類似と言える.
