超球関数のFourier級数展開, Nicholson型定理

前の記事 で, $\nu$が非負整数の場合にはRogers多項式に一致するような$q$超球関数$C_{\nu}(x;a|q), D_{\nu}(x;a|q)$を導入した. 今回はその古典極限について考えたい.

古典極限

$x:=\cos\theta$とする. 古典的な超球関数は
\begin{align} C_{\nu}^{(a)}(x):=\frac{\Gamma(2a+\nu)}{\Gamma(2a)\Gamma(\nu+1)}\F21{-\nu,2a+\nu}{a+\frac 12}{\frac{1-x}2} \end{align}
によって定義される. まず, 前の記事 で導入した$C_{\nu}(x;a|q)$の古典極限が$C_{\nu}^{(a)}(x)$に一致することを確認する.　$C_{\nu}(x;a|q)$の定義
\begin{align} C_{\nu}(x;a|q):=2i\sin\theta\frac{(ae^{2i\theta},ae^{-2i\theta},a,a;q)_{\infty}}{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta},a^2,q;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_{\nu}}{(q;q)_{\nu}}\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(ue^{i\theta}q,ue^{-i\theta}q;q)_{\infty}}{(aue^{i\theta},aue^{-i\theta};q)_{\infty}}u^{\nu}\,d_qu \end{align}
において, $a\mapsto q^a$として$q\to 1$とすると,
\begin{align} &\lim_{q\to 1}C_{\nu}(x;q^a|q)\\ &=2i\sin\theta(1-e^{2i\theta})^{-a}(1-e^{-2i\theta})^{-a}\frac{\Gamma(2a)}{\Gamma(a)^2}\frac{(2a)_{\nu}}{\Gamma(\nu+1)}\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}(1-ue^{i\theta})^{a-1}(1-ue^{-i\theta})^{a-1}u^{\nu}\,du\\ &=i(2\sin\theta)^{1-2a}\frac{\Gamma(2a+\nu)}{\Gamma(a)^2\Gamma(\nu+1)}\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}(1-ue^{i\theta})^{a-1}(1-ue^{-i\theta})^{a-1}u^{\nu}\,du\\ &=(2\sin\theta)^{1-2a}\frac{\Gamma(2a+\nu)}{\Gamma(a)^2\Gamma(\nu+1)}\int_{-\theta}^{\theta}(1-e^{i(\theta+\phi)})^{a-1}(1-e^{i(\phi-\theta)})^{a-1}e^{i(\nu+1)\phi}\,d\phi\\ &=(2\sin\theta)^{1-2a}\frac{\Gamma(2a+\nu)}{\Gamma(a)^2\Gamma(\nu+1)}\int_{-\theta}^{\theta}(2(\cos\phi-\cos\theta))^{a-1}e^{i(\nu+a)\phi}\,d\phi\\ &=2^{1-a}\frac{\Gamma(2a+\nu)}{\Gamma(a)^2\Gamma(\nu+1)}(\sin\theta)^{1-2a}\int_0^{\theta}(\cos\phi-\cos\theta)^{a-1}\cos(\nu+a)\phi\,d\phi\\ &=\frac{2^a\Gamma\left(a+\frac 12\right)}{\sqrt{\pi}\Gamma(a)}\frac{\Gamma(2a+\nu)}{\Gamma(2a)\Gamma(\nu+1)}(\sin\theta)^{1-2a}\int_0^{\theta}(\cos\phi-\cos\theta)^{a-1}\cos(\nu+a)\phi\,d\phi\\ &=C_{\nu}^{(a)}(x) \end{align}
となって古典的な場合に一致する. ここで, 最後の等号は 超球関数のMehler-Dirichlet型積分表示 による.

Fourier級数展開

前の記事 の定理2の古典極限を考えると
\begin{align} C_{\nu}^{(a)}(x)&=4\sin\theta(1-e^{2i\theta})^{-a}(1-e^{-2i\theta})^{-a}\frac{\Gamma(2a)\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(a)\Gamma(a+\nu+1)}\frac{(2a)_{\nu}}{\Gamma(\nu+1)}\sum_{0\leq k}\frac{(\nu+1,1-a)_k}{k!(a+\nu+1)_k}\sin(\nu+2k+1)\theta\\ &=\frac{2\Gamma(2a+\nu)}{\Gamma(a)\Gamma(a+\nu+1)}(2\sin\theta)^{1-2a}\sum_{0\leq k}\frac{(\nu+1,1-a)_k}{k!(a+\nu+1)_k}\sin(\nu+2k+1)\theta \end{align}
つまり, 以下を得る.

この類似として, 第2種の関数を以下のように定義する.

このとき, 前の記事 で定義した$D_{\nu}(x;a|q)$の古典極限が
\begin{align} \lim_{q\to 1}D_{\nu}(x;q^a|q)&=D_{\nu}^{(a)}(x) \end{align}
となることが定理1と全く同様に確かめられる.

Nicholson型定理

前の記事 の定理3の古典極限を考えると
\begin{align} &C_{\nu}^{(a)}(x)^2+D_{\nu}^{(a)}(x)^2\\ &=\left(\frac{2\Gamma(2a+\nu)}{\Gamma(a)\Gamma(a+\nu+1)}(2\sin\theta)^{1-2a}\right)^2\\ &\qquad\cdot \bigg(\frac{\Gamma(a+\nu)\Gamma(a+\nu+1)}{\Gamma(\nu+1)\Gamma(2a+\nu)}(2\sin\theta)^{2a-2}\F32{a,1-a,\frac 12}{1-\nu-a,a+\nu+1}{\frac 1{\sin^2\theta}}\\ &\qquad+\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(-a-\nu)}{\Gamma(a)\Gamma(1-a)}(2\sin\theta)^{-2\nu-2}\F32{\nu+1,2a+\nu,a+\nu+\frac 12}{a+\nu+1,2a+2\nu+1}{\frac{1}{\sin^2\theta}}\bigg)\\ &=\left(\frac{2\Gamma(2a+\nu)}{\Gamma(a)\Gamma(a+\nu+1)}(2\sin\theta)^{-a}\right)^2\\ &\qquad\cdot \bigg(\frac{\Gamma(a+\nu)\Gamma(a+\nu+1)}{\Gamma(\nu+1)\Gamma(2a+\nu)}\F32{a,1-a,\frac 12}{1-\nu-a,a+\nu+1}{\frac 1{\sin^2\theta}}\\ &\qquad+\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(-a-\nu)}{\Gamma(a)\Gamma(1-a)}(2\sin\theta)^{-2a-2\nu}\F32{\nu+1,2a+\nu,a+\nu+\frac 12}{a+\nu+1,2a+2\nu+1}{\frac{1}{\sin^2\theta}}\bigg) \end{align}
となる. つまり以下を得る.

この右辺の括弧の中身はMellin-Barnes積分を用いて,
\begin{align} &\frac{\Gamma(a+\nu)\Gamma(a+\nu+1)}{\Gamma(\nu+1)\Gamma(2a+\nu)}\F32{a,1-a,\frac 12}{1-\nu-a,a+\nu+1}{\frac 1{\sin^2\theta}}\\ &\qquad+\frac{\Gamma(a+\nu+1)\Gamma(-a-\nu)}{\Gamma(a)\Gamma(1-a)}(2\sin\theta)^{-2a-2\nu}\F32{\nu+1,2a+\nu,a+\nu+\frac 12}{a+\nu+1,2a+2\nu+1}{\frac{1}{\sin^2\theta}}\\ &=\frac{\Gamma(a+\nu)\Gamma(a+\nu+1)^2\Gamma(1-\nu-a)}{\Gamma(\nu+1)\Gamma(2a+\nu)\Gamma(a)\Gamma(1-a)\sqrt{\pi}}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(1-a+n)\Gamma\left(\frac 12+n\right)}{\Gamma(n+1)\Gamma(1-\nu-a+n)\Gamma(a+\nu+1+n)}{\frac 1{\sin^{2n}\theta}}\\ &\qquad+\frac{\Gamma(a+\nu+1)^2\Gamma(-a-\nu)\Gamma(2a+2\nu+1)}{\Gamma(\nu+1)\Gamma(2a+\nu)\Gamma(a)\Gamma(1-a)\Gamma\left(a+\nu+\frac 12\right)}(2\sin\theta)^{-2a-2\nu}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{\Gamma(\nu+1+n)\Gamma(2a+\nu+n)\Gamma\left(a+\nu+\frac 12+n\right)}{\Gamma(n+1)\Gamma(a+\nu+1+n)\Gamma(2a+2\nu+1+n)}{\frac{1}{\sin^{2n}\theta}}\\ &=\frac{\Gamma(a+\nu)\Gamma(a+\nu+1)^2\Gamma(1-\nu-a)}{\Gamma(\nu+1)\Gamma(2a+\nu)\Gamma(a)\Gamma(1-a)\sqrt{\pi}}\\ &\qquad\cdot\bigg(\sum_{0\leq n}\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(1-a+n)\Gamma\left(\frac 12+n\right)}{\Gamma(n+1)\Gamma(1-\nu-a+n)\Gamma(a+\nu+1+n)}{\frac 1{\sin^{2n}\theta}}\\ &\qquad-\sum_{0\leq n}\frac{\Gamma(\nu+1+n)\Gamma(2a+\nu+n)\Gamma\left(a+\nu+\frac 12+n\right)}{\Gamma(n+1)\Gamma(a+\nu+1+n)\Gamma(2a+2\nu+1+n)}{\frac{1}{\sin^{2n+2a+2\nu}\theta}}\bigg)\\ &=\frac{\Gamma(a+\nu+1)^2}{\Gamma(\nu+1)\Gamma(2a+\nu)\Gamma(a)\Gamma(1-a)\sqrt{\pi}}\\ &\qquad\cdot\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(1-a+s)\Gamma\left(\frac 12+s\right)\Gamma(-s)\Gamma(a+\nu-s)}{\Gamma(a+\nu+1+s)}{\frac 1{\sin^{2s}\theta}}\,ds \end{align}
と表すこともできる. 一方, 超球関数のNicholson型定理としては, Durandによる
\begin{align} C_{\nu}^{(a)}(x)^2+D_{\nu}^{(a)}(x)^2&=\frac{2^{3-2a}\Gamma(2a+\nu)}{\Gamma(a)^2\Gamma(\nu+1)}e^{-i\pi a}\int_1^{\infty}(t^2-1)^{a-1}\tilde{D}_{\nu}^{(a)}(x^2+(1-x^2)t)\,dt \end{align}
という形の結果も知られている. ここで, $\tilde{D}_{\nu}^{(a)}$は後述するDurandの第2種超球関数である. この結果を定理2から導くことはできるだろうか.

Durandの第2種超球関数との関係

Durandの第2種超球関数は
\begin{align} \tilde{D}_{\nu}^{(a)}(x)&:=e^{i\pi a}\frac{\Gamma(2a+\nu)}{\Gamma(a)\Gamma(a+\nu+1)}(2x)^{-\nu-2a}\F21{\frac 12\nu+a,\frac 12\nu+a+\frac 12}{\nu+a+1}{\frac 1{x^2}} \end{align}
によって定義される. これは$D_{\nu}^{(a)}$と表されることが多いが, 先ほど定義した$D_{\nu}^{(a)}$とは一致しないので, 少し記号を変えている. これは分枝の切断が$(-1,1)$にあり, 先ほど定義した$D_{\nu}^{(a)}$とは以下の関係がある.

この$\tilde{D}_{\nu}^{(a)}(x)$は 前の記事 で定義した$\tilde{S}_{\nu}(z;a)$のようなものである.