q超球関数の性質

前の記事 でAskey-Wilson関数
\begin{align} S_{\lambda}(z;a,b,c,d)&:=\frac{(a/z,b/z,c/z,d/z,bzq^{\lambda+1},czq^{\lambda+1},abczq^{\lambda},bcdzq^{\lambda};q)_{\infty}}{(bc,bd,cd,abq^{\lambda},acq^{\lambda},q^{\lambda+1},bcz^2q^{\lambda+1},z^{-2};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot \frac{(a^2,zq^{1-\lambda}/a;q)_{\lambda}}{(q^{1-\lambda}/a^2,a/z;q)_{\lambda}}a^{-\lambda}\\ &\qquad\cdot W(bcz^2q^{\lambda};bz,cz,zq/a,zq/d,bcq^{\lambda};adq^{\lambda})\\ r_{\lambda}(\cos\theta;a,b,c,d)&:=S_{\lambda}(e^{i\theta};a,b,c,d)+S_{\lambda}(e^{-i\theta};a,b,c,d)\\ s_{\lambda}(\cos\theta;a,b,c,d)&:=i(S_{\lambda}(e^{i\theta};a,b,c,d)-S_{\lambda}(e^{-i\theta};a,b,c,d)) \end{align}
における$(a,b,c,d)=(a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)$の場合として$q$超球関数を定義した. これらは$\lambda$が自然数の場合に第1種, 第2種の超球関数と
\begin{align} r_n(x;a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)&=\frac{1+a^2}{1+a^2q}\frac{(q;q)_n}{(a^4;q)_n}C_n(x;a^2|q)\\ s_n(x;a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)&=\frac{1+a^2}{1+a^2q}\frac{(q;q)_n}{(a^4;q)_n}D_n(x;a^2|q) \end{align}
の関係にある. 今回は, $\nu=n$において$C_n,D_n$に一致するような$C_{\nu},D_{\nu}$を導入し, その性質を調べようと思う.

$C_{\nu}$の定義

$q$積分を
\begin{align} \int_a^bf(t)\,d_qt:=\sum_{0\leq n}(bq^nf(bq^n)-aq^nf(aq^n)) \end{align}
と定義する. 前の記事 で, $C_n$が
\begin{align} C_n(\cos\theta;a|q)&=2i\sin\theta\frac{(ae^{2i\theta},ae^{-2i\theta},a,a;q)_{\infty}}{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta},a^2,q;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(ue^{i\theta}q,ue^{-i\theta}q;q)_{\infty}}{(aue^{i\theta},aue^{-i\theta};q)_{\infty}}u^n\,d_qu \end{align}
と$q$モーメントによって表されることを示した. よって, これがそのまま拡張されるような定義が自然であると考えられる. 前の記事 で示した定理1は以下のようなものである.

定理1において, Heineの変換公式 より
\begin{align} \Q21{q^{\nu+1},q/a^2}{a^2q^{\nu+1}}{a^2z^2}&=\frac{(z^2q,q^{\nu+1};q)_{\infty}}{(a^2q^{\nu+1},a^2z^2;q)_{\infty}}\Q21{a^2,a^2z^2}{z^2q}{q^{\nu+1}}\\ &=\frac{(a^2q;q)_{\nu}}{(q;q)_{\nu}}\sum_{0\leq n}\frac{(q^{n+1},z^2q^{n+1};q)_{\infty}}{(a^2q^n,a^2z^2q^n;q)_{\infty}}q^{(\nu+1)n} \end{align}
であるから,
\begin{align} &S_{\nu}(z;a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)\\ &=(1-z^2)\frac{(a^2z^2,a^2/z^2,a^2,a^2q;q)_{\infty}}{(z^2,z^{-2},a^4,q;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(a^2,zq^{1-\nu}/a;q)_{\nu}}{(q^{1-\nu}/a^2,a/z;q)_{\nu}}\frac{1+a^2}{1+a^2q^{\nu}}a^{-\nu}\sum_{0\leq n}\frac{(q^{n+1},z^2q^{n+1};q)_{\infty}}{(a^2q^n,a^2z^2q^n;q)_{\infty}}q^{(\nu+1)n} \end{align}
となる. よって,
\begin{align} &\frac{(q^{1-\nu}/a^2,a/z;q)_{\nu}}{(a^2,zq^{1-\nu}/a;q)_{\nu}}\frac{1+a^2q^{\nu}}{1+a^2}(az)^{\nu}S_{\nu}(z;a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)\\ &=(1-z^2)\frac{(a^2z^2,a^2/z^2,a^2,a^2q;q)_{\infty}}{(z^2,z^{-2},a^4,q;q)_{\infty}}z^{\nu}\sum_{0\leq n}\frac{(q^{n+1},z^2q^{n+1};q)_{\infty}}{(a^2q^n,a^2z^2q^n;q)_{\infty}}q^{(\nu+1)n} \end{align}
であるから,
\begin{align} &\frac{(a^4,q^{1-\nu}/a^2,ae^{-i\theta};q)_{\nu}}{(q,a^2,e^{i\theta}q^{1-\nu}/a;q)_{\nu}}\frac{1+aq^{\nu}}{1+a^2}a^{\nu}e^{i\nu\theta}S_{\nu}(e^{i\theta};a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)\\ &\qquad+\frac{(a^4,q^{1-\nu}/a^2,ae^{i\theta};q)_{\nu}}{(q,a^2,e^{-i\theta}q^{1-\nu}/a;q)_{\nu}}\frac{1+aq^{\nu}}{1+a^2}a^{\nu}e^{-i\nu\theta}S_{\nu}(e^{-i\theta};a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)\\ &=2i\sin\theta\frac{(a^2e^{2i\theta},a^2e^{-2i\theta},a^2,a^2;q)_{\infty}}{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta},a^4,q;q)_{\infty}}\frac{(a^4;q)_{\nu}}{(q;q)_{\nu}}\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(ue^{i\theta}q,ue^{-i\theta}q;q)_{\infty}}{(a^2ue^{i\theta},a^2ue^{-i\theta};q)_{\infty}}u^{\nu}\,d_qu \end{align}
となる. これは$q$モーメントによる表示の直接的な拡張になっているが, 左辺は$r_{\nu}$の定数倍にはなっていないようである. $r_{\nu}$とは一致しない別の第1種超球関数$C_{\nu}$を以下のように定義する.

$S_{\nu}$を少し補正したものを
\begin{align} \tilde{S}_{\nu}(z;a)&:=\frac{(a^4,q^{1-\nu}/a^2,a/z;q)_{\nu}}{(q,a^2,zq^{1-\nu}/a;q)_{\nu}}\frac{1+a^2q^{\nu}}{1+a^2}(az)^{\nu}S_{\nu}(z;a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)\\ \end{align}
とするとき, 先ほどの式は
\begin{align} \tilde{S}_{\nu}(e^{i\theta};a)+\tilde{S}_{\nu}(e^{-i\theta};a)&=C_{\nu}(\cos\theta;a^2|q) \end{align}
と書くことができる.

$C_{\nu}$のFourier級数展開

定理1は$\tilde{S}_{\nu}$に書き換えると,
\begin{align} \tilde{S}_{\nu}(z;a)&=(1-z^2)\frac{(a^2z^2,a^2/z^2,a^2,a^2q^{\nu+1};q)_{\infty}}{(z^2,z^{-2},a^4,q^{\nu+1};q)_{\infty}}z^{\nu}\Q21{q^{\nu+1},q/a^2}{a^2q^{\nu+1}}{a^2z^2} \end{align}
と書ける. つまり,
\begin{align} \tilde{S}_{\nu}(e^{i\theta};a)&=-2i\sin\theta\frac{(a^2e^{2i\theta},a^2e^{-2i\theta},a^2,a^2q^{\nu+1};q)_{\infty}}{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta},a^4,q^{\nu+1};q)_{\infty}}\frac{(a^4;q)_{\nu}}{(q;q)_{\nu}}\sum_{0\leq k}\frac{(q^{\nu+1},q/a^2;q)_k}{(q,a^2q^{\nu+1};q)_k}a^{2k}e^{i(\nu+2k+1)\theta} \end{align}
と表される. よって,
\begin{align} C_{\nu}(\cos\theta;a^2|q)=\tilde{S}_{\nu}(e^{i\theta};a)+\tilde{S}_{\nu}(e^{-i\theta};a) \end{align}
を用いると以下を得る.

これは 前の記事 で示したRogers多項式の場合のFourier級数展開と全く同様である. これらを見る限りでは, $r_{\nu}(x;a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)$と比較して, $C_{\nu}(x;a|q)$の方が自然な定義であると考えられる.

$D_{\nu}$の定義

Rogers多項式の場合を思い出すと, $D_n$は$C_n$のFourier級数展開の$\sin$を$\cos$に置き換えることによって定義された. よって, 第2種超球関数を以下のように定義するのが自然である.

先ほどと全く同様の議論により
\begin{align} D_{\nu}(\cos\theta;a^2|q)&=i(\tilde{S}_{\nu}(e^{i\theta};a)+\tilde{S}_{\nu}(e^{-i\theta};a)) \end{align}
が成り立つこと分かる.

Nicholson型定理

前の記事 で$r_{\nu}(x;a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q),s_{\nu}(x;a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)$に対してNicholson型定理を示した. 今回導入した$C_{\nu},D_{\nu}$はそれらとは一致していないのでそれらもNicholson型定理を満たしているかどうかは当然気になる問題である. しかし, それは$x:=\cos\theta$として,
\begin{align} C_{\nu}(x;a^2|q)+iD_{\nu}(x;a^2|q)&=2\tilde{S}_{\nu}(e^{-i\theta};a)\\ C_{\nu}(x;a^2|q)-iD_{\nu}(x;a^2|q)&=2\tilde{S}_{\nu}(e^{i\theta};a)\\ \end{align}
であることから, 前の記事 の定理2をそのまま用いることができ,
\begin{align} &C_{\nu}(x;a^2|q)^2+D_{\nu}(x;a^2|q)^2\\ &=4\tilde{S}_{\nu}(e^{i\theta};a)\tilde{S}_{\nu}(e^{-i\theta};a)\\ &=\left(\frac{(a^4,q^{1-\nu}/a^2;q)_{\nu}}{(q,a^2;q)_{\nu}}\frac{1+a^2q^{\nu}}{1+a^2}a^{\nu}\right)^2\frac{(ae^{i\theta},ae^{-i\theta};q)_{\nu}}{(e^{i\theta}q^{1-\nu}/a,e^{-i\theta}q^{1-\nu}/a;q)_{\nu}}\\ &\qquad\cdot 4S_{\nu}(e^{i\theta};a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)S_{\nu}(e^{-i\theta};a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)\\ &=\left(\frac{(a^4,q^{1-\nu}/a^2;q)_{\nu}}{(q,a^2;q)_{\nu}}\frac{1+a^2q^{\nu}}{1+a^2}a^{\nu}\right)^2\frac{(ae^{i\theta},ae^{-i\theta};q)_{\nu}}{(e^{i\theta}q^{1-\nu}/a,e^{-i\theta}q^{1-\nu}/a;q)_{\nu}}\\ &\qquad\cdot \left(4\sin\theta\frac{(1+a^2)(a^2,a^2q^{\nu+1},a^2e^{2i\theta},a^2e^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(1+a^2q^{\nu})(a^4,q^{\nu+1},e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\right)^2\\ &\qquad\cdot\frac{(a^2,a^2,e^{i\theta}q^{1-\nu}/a,e^{-i\theta}q^{1-\nu}/a;q)_{\nu}}{(q^{1-\nu}/a^2,q^{1-\nu}/a^2,ae^{i\theta},ae^{-i\theta};q)_{\nu}}a^{-2\nu}\\ &\qquad\cdot\bigg(\frac{(q^{\nu+1},a^4q^{\nu},e^{2i\theta}q,e^{-2i\theta}q;q)_{\infty}}{(a^2q^{\nu},a^2q^{\nu+1},a^2e^{2i\theta},a^2e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\Q54{a^2,q/a^2,\sqrt q,-\sqrt q,-q}{q^{1-\nu}/a^2,a^2q^{\nu+1},e^{2i\theta}q,e^{-2i\theta}q}{q}\\ &\qquad+\frac{(a^2,q/a^2,a^2e^{2i\theta}q^{\nu+1},a^2e^{-2i\theta}q^{\nu+1};q)_{\infty}}{(a^2q^{\nu+1},q^{-\nu}/a^2,a^2e^{2i\theta},a^2e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q54{q^{\nu+1},a^4q^{\nu},a^2q^{\nu+\frac 12},-a^2q^{\nu+\frac 12},-a^2q^{\nu+1}}{a^2q^{\nu+1},a^4q^{2\nu+1},a^2e^{2i\theta}q^{\nu+1},a^2e^{-2i\theta}q^{\nu+1}}q\bigg)\\ &=\left(4\sin\theta\frac{(a^2,a^2q^{\nu+1},a^2e^{2i\theta},a^2e^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(q,a^4q^{\nu},e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\right)^2\\ &\qquad\cdot\bigg(\frac{(q^{\nu+1},a^4q^{\nu},e^{2i\theta}q,e^{-2i\theta}q;q)_{\infty}}{(a^2q^{\nu},a^2q^{\nu+1},a^2e^{2i\theta},a^2e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\Q54{a^2,q/a^2,\sqrt q,-\sqrt q,-q}{q^{1-\nu}/a^2,a^2q^{\nu+1},e^{2i\theta}q,e^{-2i\theta}q}{q}\\ &\qquad+\frac{(a^2,q/a^2,a^2e^{2i\theta}q^{\nu+1},a^2e^{-2i\theta}q^{\nu+1};q)_{\infty}}{(a^2q^{\nu+1},q^{-\nu}/a^2,a^2e^{2i\theta},a^2e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q54{q^{\nu+1},a^4q^{\nu},a^2q^{\nu+\frac 12},-a^2q^{\nu+\frac 12},-a^2q^{\nu+1}}{a^2q^{\nu+1},a^4q^{2\nu+1},a^2e^{2i\theta}q^{\nu+1},a^2e^{-2i\theta}q^{\nu+1}}q\bigg) \end{align}
よって以下を得る.

これは 前の記事 の系1と全く同じ形に拡張されていることが分かる.