q超球関数のNicholson型定理

今回は$q$超球関数に関する. 以下のNicholson型定理を示す.
\begin{align} &C_n(x;a|q)^2+D_n(x;a|q)^2\\ &=\left(4\sin\theta\frac{(a,aq^{n+1},ae^{2i\theta},ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(q,a^2q^n,e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\right)^2\\ &\qquad\cdot\Bigg(\frac{(q^{n+1},a^2q^{n},e^{2i\theta}q,e^{-2i\theta}q;q)_{\infty}}{(aq^{n},aq^{n+1},ae^{2i\theta},ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}\Q54{a,q/a,\sqrt q,-\sqrt q,-q}{q^{1-n}/a,aq^{n+1},e^{2i\theta}q,e^{-2i\theta}q}{q}\\ &\qquad+\frac{(a,q/a,ae^{2i\theta}q^{n+1},ae^{-2i\theta}q^{n+1};q)_{\infty}}{(aq^{n+1},q^{-n}/a,ae^{2i\theta},ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q54{q^{n+1},a^2q^{n},aq^{n+\frac 12},-aq^{n+\frac 12},-aq^{n+1}}{aq^{n+1},a^2q^{2n+1},ae^{2i\theta}q^{n+1},ae^{-2i\theta}q^{n+1}}q \Bigg) \end{align}

前の記事 で, 第1種, 第2種のAskey-Wilson関数をそれぞれ
\begin{align} R_{\lambda}(z;a,b,c,d)&:=\frac{(a^2,q^{1-\lambda}/az;q)_{\lambda}}{(q^{1-\lambda}/a^2,bcd/z;q)_{\lambda}}a^{-\lambda}\\ &\qquad\cdot W\left(bcd/zq;b/z,c/z,d/z,abcdq^{\lambda-1},q^{-\lambda};\frac{zq}a\right)\\ S_{\lambda}(z;a,b,c,d)&:=\frac{(a/z,b/z,c/z,d/z,bzq^{\lambda+1},czq^{\lambda+1},abczq^{\lambda},bcdzq^{\lambda};q)_{\infty}}{(bc,bd,cd,abq^{\lambda},acq^{\lambda},q^{\lambda+1},bcz^2q^{\lambda+1},z^{-2};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(a^2,zq^{1-\lambda}/a;q)_{\lambda}}{(q^{1-\lambda}/a^2,a/z;q)_{\lambda}}a^{-\lambda}\\ &\qquad\cdot W(bcz^2q^{\lambda};bz,cz,zq/a,zq/d,bcq^{\lambda};adq^{\lambda}) \end{align}
によって導入し, それらが
\begin{align} R_{\lambda}(z;a,b,c,d)&=S_{\lambda}(z;a,b,c,d)+S_{\lambda}(z^{-1};a,b,c,d) \end{align}
によって関係していることを示した. 今回は$q$超球関数の場合である$(a,b,c,d)=(a,a\sqrt q,-a,-\sqrt q)$としたものに関するNicholson型定理を示す.

まず${}_8\phi_7$の二次変換公式( 前の記事 の系1)より
\begin{align} &S_{\lambda}(z;a,b,c,d)\\ &=\frac{(a/z,b/z,c/z,d/z,bzq^{\lambda+1},czq^{\lambda+1},abczq^{\lambda},bcdzq^{\lambda};q)_{\infty}}{(bc,bd,cd,abq^{\lambda},acq^{\lambda},q^{\lambda+1},bcz^2q^{\lambda+1},z^{-2};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(a^2,zq^{1-\lambda}/a;q)_{\lambda}}{(q^{1-\lambda}/a^2,a/z;q)_{\lambda}}a^{-\lambda}\\ &\qquad\cdot W(bcz^2q^{\lambda};bz,cz,zq/a,zq/d,bcq^{\lambda};adq^{\lambda})\\ &=\frac{(a/z,b/z,c/z,d/z,bzq^{\lambda+1},czq^{\lambda+1},abczq^{\lambda},bcdzq^{\lambda};q)_{\infty}}{(bc,bd,cd,abq^{\lambda},acq^{\lambda},q^{\lambda+1},bcz^2q^{\lambda+1},z^{-2};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(a^2,zq^{1-\lambda}/a;q)_{\lambda}}{(q^{1-\lambda}/a^2,a/z;q)_{\lambda}}a^{-\lambda}\frac{(bcz^2q^{\lambda+1},abcdq^{\lambda-1},azq^{\lambda+1},dzq^{\lambda+1};q)_{\infty}}{(abczq^{\lambda},bcdzq^{\lambda},z^2q^{\lambda+2},adq^{\lambda};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot W(z^2q^{\lambda+1};zq/a,zq/b,zq/c,zq/d,q^{\lambda+1};abcdq^{\lambda-1})\\ &=\frac{(a/z,b/z,c/z,d/z,azq^{\lambda+1},bzq^{\lambda+1},czq^{\lambda+1},dzq^{\lambda+1},abcdq^{\lambda-1};q)_{\infty}}{(bc,bd,cd,abq^{\lambda},acq^{\lambda},adq^{\lambda},q^{\lambda+1},z^{-2},z^2q^{\lambda+2};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(a^2,zq^{1-\lambda}/a;q)_{\lambda}}{(q^{1-\lambda}/a^2,a/z;q)_{\lambda}}a^{-\lambda}\\ &\qquad\cdot W(z^2q^{\lambda+1};zq/a,zq/b,zq/c,zq/d,q^{\lambda+1};abcdq^{\lambda-1}) \end{align}
と表される. よって,
\begin{align} &S_{\lambda}(z;a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)\\ &=\frac{(a^2/z^2,a^2z^2q^{2\lambda+2},a^4q^{\lambda};q)_{\infty}}{(-a^2\sqrt q,-a^2q,a^2\sqrt q,a^2q^{\lambda+\frac 12},-a^2q^{\lambda},-a^2q^{\lambda+\frac 12},q^{\lambda+1},z^{-2},z^2q^{\lambda+2};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(a^2,zq^{1-\lambda}/a;q)_{\lambda}}{(q^{1-\lambda}/a^2,a/z;q)_{\lambda}}a^{-\lambda}\\ &\qquad\cdot W(z^2q^{\lambda+1};zq/a,-zq/a,z\sqrt q/a,-z\sqrt q/a,q^{\lambda+1};a^4q^{\lambda})\\ &=\frac{(a^2/z^2,a^2z^2q^{2\lambda+2},a^4q^{\lambda},a^2q,a^2q^{\lambda};q)_{\infty}}{(a^4q,a^4q^{2\lambda},q^{\lambda+1},z^{-2},z^2q^{\lambda+2};q)_{\infty}}\frac{(a^2,zq^{1-\lambda}/a;q)_{\lambda}}{(q^{1-\lambda}/a^2,a/z;q)_{\lambda}}a^{-\lambda}\\ &\qquad\cdot W(z^2q^{\lambda+1};zq/a,-zq/a,z\sqrt q/a,-z\sqrt q/a,q^{\lambda+1};a^4q^{\lambda}) \end{align}
となる. ここで,　Gasper-Rahmanの二次変換公式( 前の記事 の定理1)と Heineの変換公式 より
\begin{align} &W(z^2q^{\lambda+1};zq/a,-zq/a,z\sqrt q/a,-z\sqrt q/a,q^{\lambda+1};a^4q^{\lambda})\\ &=\frac{(z^2q^{\lambda+2},a^4q^{2\lambda+1};q)_{\infty}}{(a^2q^{\lambda+1},a^2z^2q^{2\lambda+2};q)_{\infty}}\Q21{z^2q/a^2,q/a^2}{z^2q}{a^4q^{\lambda}}\\ &=\frac{(z^2q^{\lambda+2},a^4q^{2\lambda+1},a^2z^2;q)_{\infty}}{(a^2z^2q^{2\lambda+2},z^2q,a^4q^{\lambda};q)_{\infty}}\Q21{q^{\lambda+1},q/a^2}{a^2q^{\lambda+1}}{a^2z^2} \end{align}
であるからこれを代入して,
\begin{align} &S_{\lambda}(z;a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)\\ &=\frac{(a^2/z^2,a^2z^2q^{2\lambda+2},a^4q^{\lambda},a^2q,a^2q^{\lambda};q)_{\infty}}{(a^4q,a^4q^{2\lambda},q^{\lambda+1},z^{-2},z^2q^{\lambda+2};q)_{\infty}}\frac{(a^2,zq^{1-\lambda}/a;q)_{\lambda}}{(q^{1-\lambda}/a^2,a/z;q)_{\lambda}}a^{-\lambda}\\ &\qquad\cdot \frac{(z^2q^{\lambda+2},a^4q^{2\lambda+1},a^2z^2;q)_{\infty}}{(a^2z^2q^{2\lambda+2},z^2q,a^4q^{\lambda};q)_{\infty}}\Q21{q^{\lambda+1},q/a^2}{a^2q^{\lambda+1}}{a^2z^2}\\ &=(1-z^2)\frac{(a^2z^2,a^2/z^2,a^2,a^2q^{\lambda+1};q)_{\infty}}{(z^2,z^{-2},a^4,q^{\lambda+1};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(a^2,zq^{1-\lambda}/a;q)_{\lambda}}{(q^{1-\lambda}/a^2,a/z;q)_{\lambda}}\frac {1+a^2}{1+a^2q^{\lambda}}a^{-\lambda}\Q21{q^{\lambda+1},q/a^2}{a^2q^{\lambda+1}}{a^2z^2} \end{align}
となる. よって以下を得る.

$x:=\cos\theta$として,
\begin{align} r_{\lambda}(x;a,b,c,d)&:=S_{\lambda}(e^{i\theta};a,b,c,d)+S_{\lambda}(e^{-i\theta};a,b,c,d)\\ s_{\lambda}(x;a,b,c,d)&:=i(S_{\lambda}(e^{i\theta};a,b,c,d)-S_{\lambda}(e^{-i\theta};a,b,c,d)) \end{align}
とする. 定理1において$\lambda=n$を自然数とすると,
\begin{align} &S_n(z;a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)\\ &=(1-z^2)\frac{(a^2z^2,a^2/z^2,a^2,a^2q^{n+1};q)_{\infty}}{(z^2,z^{-2},a^4,q^{n+1};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\frac{(a^2,zq^{1-n}/a;q)_n}{(q^{1-n}/a^2,a/z;q)_n}\frac {1+a^2}{1+a^2q^n}a^{-n}\Q21{q^{n+1},q/a^2}{a^2q^{n+1}}{a^2z^2}\\ &=(1-z^2)\frac{(a^2z^2,a^2/z^2,a^2,a^2q^{n+1};q)_{\infty}}{(z^2,z^{-2},a^4,q^{n+1};q)_{\infty}}\frac {1+a^2}{1+a^2q^n}z^n\Q21{q^{n+1},q/a^2}{a^2q^{n+1}}{a^2z^2} \end{align}
となる. $z=e^{i\theta}$とすると,

\begin{align} &S_n(e^{i\theta};a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)\\ &=\frac{2\sin\theta}{i}\frac{(a^2e^{2i\theta},a^2e^{-2i\theta},a^2,a^2q^{n+1};q)_{\infty}}{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta},a^4,q^{n+1};q)_{\infty}}\frac {1+a^2}{1+a^2q^n}\sum_{0\leq k}\frac{(q^{n+1},q/a^2;q)_k}{(q,a^2q^{n+1};q)_k}a^{2k}e^{i(n+2k+1)\theta}\\ &=\frac{2\sin\theta}{i}\frac{(a^2e^{2i\theta},a^2e^{-2i\theta},a^2,a^2q;q)_{\infty}}{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta},a^4,q;q)_{\infty}}\frac {1+a^2}{1+a^2q^n}\sum_{0\leq k}\frac{(q/a^2;q)_k(q;q)_{n+k}}{(q;q)_k(a^2q;q)_{n+k}}a^{2k}e^{i(n+2k+1)\theta} \end{align}
となる. これより
\begin{align} &r_n(x;a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)\\ &=4\sin\theta\frac{(a^2e^{2i\theta},a^2e^{-2i\theta},a^2,a^2q;q)_{\infty}}{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta},a^4,q;q)_{\infty}}\frac {1+a^2}{1+a^2q^n}\sum_{0\leq k}\frac{(q/a^2;q)_k(q;q)_{n+k}}{(q;q)_k(a^2q;q)_{n+k}}a^{2k}\sin(n+2k+1)\theta\\ &s_n(x;a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)\\ &=4\sin\theta\frac{(a^2e^{2i\theta},a^2e^{-2i\theta},a^2,a^2q;q)_{\infty}}{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta},a^4,q;q)_{\infty}}\frac {1+a^2}{1+a^2q^n}\sum_{0\leq k}\frac{(q/a^2;q)_k(q;q)_{n+k}}{(q;q)_k(a^2q;q)_{n+k}}a^{2k}\cos(n+2k+1)\theta \end{align}
前の記事 において, $q$超球関数が
\begin{align} C_n(x;a|q)&=4\sin\theta\frac{(ae^{2i\theta},ae^{-i\theta},a,aq;q)_{\infty}}{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta},a^2,q;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\sum_{0\leq k}\frac{(q/a;q)_k(q;q)_{n+k}}{(q;q)_k(aq;q)_{n+k}}a^k\sin(n+2k+1)\theta \end{align}
と表されることを示し, その類似として
\begin{align} D_n(x;a|q)&:=4\sin\theta\frac{(ae^{2i\theta},ae^{-i\theta},a,aq;q)_{\infty}}{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta},a^2,q;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\sum_{0\leq k}\frac{(q/a;q)_k(q;q)_{n+k}}{(q;q)_k(aq;q)_{n+k}}a^k\cos(n+2k+1)\theta \end{align}
によって第2種$q$超球関数を導入した. これらを用いれば,
\begin{align} r_n(x;a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)&=\frac{1+a^2}{1+a^2q^n}\frac{(q;q)_n}{(a^4;q)_n}C_n(x;a^2|q)\\ s_n(x;a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)&=\frac{1+a^2}{1+a^2q^n}\frac{(q;q)_n}{(a^4;q)_n}D_n(x;a^2|q) \end{align}
と表すことができる.

Nicholson型定理

Nicholsonの定理はBessel関数に関する
\begin{align} J_{\nu}(x)^2+Y_{\nu}(x)^2&=\frac{8}{\pi^2}\int_0^{\infty}K_0(2x\sinh t)\cosh 2\nu t\,dt \end{align}
という公式である. この$q$超球関数に関する類似として以下の公式がRahmanによって示されている.

特に$\lambda=n$を非負整数として,

\begin{align} &r_n(x;a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)^2+s_n(x;a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)^2\\ &=\left(4\sin\theta\frac{(1+a^2)(a^2,a^2q^{n+1},a^2e^{2i\theta},a^2e^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(1+a^2q^n)(a^4,q^{n+1},e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\right)^2\\ &\qquad\cdot\Bigg(\frac{(q^{n+1},a^4q^{n},e^{2i\theta}q,e^{-2i\theta}q;q)_{\infty}}{(a^2q^{n},a^2q^{n+1},a^2e^{2i\theta},a^2e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\Q54{a^2,q/a^2,\sqrt q,-\sqrt q,-q}{q^{1-n}/a^2,a^2q^{n+1},e^{2i\theta}q,e^{-2i\theta}q}{q}\\ &\qquad+\frac{(a^2,q/a^2,a^2e^{2i\theta}q^{n+1},a^2e^{-2i\theta}q^{n+1};q)_{\infty}}{(a^2q^{n+1},q^{-n}/a^2,a^2e^{2i\theta},a^2e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q54{q^{n+1},a^4q^{n},a^2q^{n+\frac 12},-a^2q^{n+\frac 12},-a^2q^{n+1}}{a^2q^{n+1},a^4q^{2n+1},a^2e^{2i\theta}q^{n+1},a^2e^{-2i\theta}q^{n+1}}q \Bigg) \end{align}
となる. ここで,
\begin{align} r_n(x;a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)&=\frac{1+a^2}{1+a^2q^n}\frac{(q;q)_n}{(a^4;q)_n}C_n(x;a^2|q)\\ s_n(x;a,a\sqrt q,-a,-a\sqrt q)&=\frac{1+a^2}{1+a^2q^n}\frac{(q;q)_n}{(a^4;q)_n}D_n(x;a^2|q) \end{align}
を用いれば,

\begin{align} &C_n(x;a^2|q)^2+D_n(x;a^2|q)^2\\ &=\left(4\sin\theta\frac{(a^2,a^2q^{n+1},a^2e^{2i\theta},a^2e^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(q,a^4q^n,e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\right)^2\\ &\qquad\cdot\Bigg(\frac{(q^{n+1},a^4q^{n},e^{2i\theta}q,e^{-2i\theta}q;q)_{\infty}}{(a^2q^{n},a^2q^{n+1},a^2e^{2i\theta},a^2e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\Q54{a^2,q/a^2,\sqrt q,-\sqrt q,-q}{q^{1-n}/a^2,a^2q^{n+1},e^{2i\theta}q,e^{-2i\theta}q}{q}\\ &\qquad+\frac{(a^2,q/a^2,a^2e^{2i\theta}q^{n+1},a^2e^{-2i\theta}q^{n+1};q)_{\infty}}{(a^2q^{n+1},q^{-n}/a^2,a^2e^{2i\theta},a^2e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q54{q^{n+1},a^4q^{n},a^2q^{n+\frac 12},-a^2q^{n+\frac 12},-a^2q^{n+1}}{a^2q^{n+1},a^4q^{2n+1},a^2e^{2i\theta}q^{n+1},a^2e^{-2i\theta}q^{n+1}}q \Bigg) \end{align}
となる. $a^2\mapsto a$として以下を得る.