Rogers多項式に関するFourier級数展開

前の記事 で示した${}_2\phi_1$の三項関係式
\begin{align} \Q21{a,b}c{z}&=\frac{(abz/c,q/c;q)_{\infty}}{(q/a,az/c;q)_{\infty}}\Q21{c/a,cq/abz}{cq/az}{\frac{bq}c}\\ &\qquad-\frac{(q/c,b,c/a,az/q,q^2/az;q)_{\infty}}{(c/q,bq/c,q/a,az/c,cq/az;q)_{\infty}}\Q21{aq/c,bq/c}{q^2/c}{z} \end{align}
において, $a\mapsto e^{2i\theta}q/a,b\mapsto q/a,c\mapsto e^{2i\theta }q,z\mapsto a^2q^n$とすると,
\begin{align} \Q21{e^{2i\theta}q/a,q/a}{e^{2i\theta}q}{a^2q^n}&=\frac{(q^{n+1},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{-2i\theta},aq^n;q)_{\infty}}\Q21{a,q^{-n}}{q^{1-n}/a}{\frac{e^{-2i\theta}q}a}\\ &\qquad-\frac{(e^{-2i\theta},q/a,a,ae^{2i\theta}q^n,e^{-2i\theta}q^{1-n}/a;q)_{\infty}}{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta}q/a,ae^{-2i\theta},aq^n,q^{1-n}/a;q)_{\infty}}\Q21{q/a,e^{-2i\theta}q/a}{e^{-2i\theta}q}{a^2q^n}\\ &=\frac{(q,e^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{-2i\theta},a;q)_{\infty}}e^{-in\theta}C_n(x;a|q)\\ &\qquad-\frac{(e^{-2i\theta},ae^{2i\theta};q)_{\infty}}{(e^{2i\theta},ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{-2in\theta}\Q21{q/a,e^{-2i\theta}q/a}{e^{-2i\theta}q}{a^2q^n}\\ \end{align}
となるから,
\begin{align} \frac{(q;q)_{\infty}}{(a;q)_{\infty}}C_n(x;a|q)&=\frac{(ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(e^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{in\theta}\Q21{e^{2i\theta}q/a,q/a}{e^{2i\theta}q}{a^2q^n}+\frac{(ae^{2i\theta};q)_{\infty}}{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}e^{-in\theta}\Q21{e^{-2i\theta}q/a,q/a}{e^{-2i\theta}q}{a^2q^n} \end{align}
を得る. ここで, Heineの変換公式
\begin{align} \Q21{a,b}{c}{x}&=\frac{(c/b,bx;q)_{\infty}}{(c,x;q)_{\infty}}\Q21{abx/c,b}{bx}{\frac cb} \end{align}
より,
\begin{align} &\frac{(ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(e^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{in\theta}\Q21{e^{2i\theta}q/a,q/a}{e^{2i\theta}q}{a^2q^n}\\ &=\frac{(ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(e^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{in\theta}\frac{(aq^{n+1},ae^{2i\theta};q)_{\infty}}{(a^2q^n,e^{2i\theta}q;q)_{\infty}}\Q21{q^{n+1},q/a}{aq^{n+1}}{ae^{2i\theta}}\\ &=\frac{(ae^{2i\theta},ae^{-2i\theta},aq;q)_{\infty}}{(e^{-2i\theta},e^{2i\theta},a^2;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\frac{2\sin\theta}{i}\sum_{0\leq k}\frac{(q/a;q)_k(q;q)_{n+k}}{(q;q)_k(aq;q)_{n+k}}a^ke^{i(n+2k+1)\theta} \end{align}
同様に
\begin{align} &\frac{(ae^{2i\theta};q)_{\infty}}{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}e^{-in\theta}\Q21{e^{-2i\theta}q/a,q/a}{e^{-2i\theta}q}{a^2q^n}\\ &=\frac{(ae^{2i\theta},ae^{-2i\theta},aq;q)_{\infty}}{(e^{-2i\theta},e^{2i\theta},a^2;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\frac{2\sin\theta}{-i}\sum_{0\leq k}\frac{(q/a;q)_k(q;q)_{n+k}}{(q;q)_k(aq;q)_{n+k}}a^ke^{-i(n+2k+1)\theta} \end{align}
である. よって, これらより,
\begin{align} \frac{(q;q)_{\infty}}{(a;q)_{\infty}}C_n(x;a|q)&=\frac{(ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(e^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{in\theta}\Q21{e^{2i\theta}q/a,q/a}{e^{2i\theta}q}{a^2q^n}+\frac{(ae^{2i\theta};q)_{\infty}}{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}e^{-in\theta}\Q21{e^{-2i\theta}q/a,q/a}{e^{-2i\theta}q}{a^2q^n}\\ &=\frac{2\sin\theta(ae^{2i\theta},ae^{-2i\theta},aq;q)_{\infty}}{(e^{-2i\theta},e^{2i\theta},a^2;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\sum_{0\leq k}\frac{(q/a;q)_k(q;q)_{n+k}}{(q;q)_k(aq;q)_{n+k}}a^k\frac{e^{i(n+2k+1)\theta}-e^{-i(n+2k+1)\theta}}i\\ &=\frac{4\sin\theta(ae^{2i\theta},ae^{-2i\theta},aq;q)_{\infty}}{(e^{-2i\theta},e^{2i\theta},a^2;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\sum_{0\leq k}\frac{(q/a;q)_k(q;q)_{n+k}}{(q;q)_k(aq;q)_{n+k}}a^k\sin(n+2k+1)\theta \end{align}
となって示すべき等式が得られた.