Rogers多項式のqモーメントによる表示
$x:=\cos\theta$とする. Rogers多項式は
\begin{align}
C_n(x;a|q):=\sum_{k=0}^n\frac{(a;q)_k}{(q;q)_k}\frac{(a;q)_{n-k}}{(q;q)_{n-k}}e^{i(n-2k)\theta}
\end{align}
によって定義される. $q$積分を
\begin{align}
\int_a^bf(t)\,d_qt:=\sum_{0\leq n}(bq^nf(bq^n)-aq^nf(aq^n))
\end{align}
とするとき, Rogers多項式は$q$モーメントによって以下のように表される.
\begin{align} C_n(x;a|q)=2i\sin\theta\frac{(ae^{2i\theta},ae^{-2i\theta},a,a;q)_{\infty}}{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta},a^2,q;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(ue^{i\theta}q,ue^{-i\theta}q;q)_{\infty}}{(aue^{i\theta},aue^{-i\theta};q)_{\infty}}u^n\,d_qu \end{align}
前の記事
における定理1の証明において, 以下の表示を得た.
\begin{align}
\frac{(q;q)_{\infty}}{(a;q)_{\infty}}C_n(x;a|q)&=\frac{(ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(e^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{in\theta}\Q21{e^{2i\theta}q/a,q/a}{e^{2i\theta}q}{a^2q^n}+\frac{(ae^{2i\theta};q)_{\infty}}{(e^{2i\theta};q)_{\infty}}e^{-in\theta}\Q21{e^{-2i\theta}q/a,q/a}{e^{-2i\theta}q}{a^2q^n}
\end{align}
この右辺に
Heineの変換公式
\begin{align}
\Q21{a,b}{c}x&=\frac{(abx/c;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\Q21{c/a,c/b}{c}{\frac{abx}c}
\end{align}
を用いると, 第一項は
\begin{align}
&\frac{(ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(e^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{in\theta}\Q21{e^{2i\theta}q/a,q/a}{e^{2i\theta}q}{a^2q^n}\\
&=\frac{(ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(e^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{in\theta}\frac{(q^{n+1};q)_{\infty}}{(a^2q^n;q)_{\infty}}\Q21{a,ae^{2i\theta}}{e^{2i\theta}q}{q^{n+1}}\\
&=\frac{(a;q)_{\infty}}{(a^2;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\frac{(ae^{2i\theta},ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(e^{2i\theta}q,e^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{in\theta}\sum_{0\leq k}\frac{(q^{k+1},e^{2i\theta}q^{k+1};q)_{\infty}}{(aq^k,ae^{2i\theta}q^k;q)_{\infty}}q^{(n+1)k}\\
&=-2i\sin\theta\frac{(a;q)_{\infty}}{(a^2;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\frac{(ae^{2i\theta},ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{i(n+1)\theta}\sum_{0\leq k}\frac{(q^{k+1},e^{2i\theta}q^{k+1};q)_{\infty}}{(aq^k,ae^{2i\theta}q^k;q)_{\infty}}q^{(n+1)k}
\end{align}
であり, 第二項も同様であるから,
\begin{align}
&\frac{(q;q)_{\infty}}{(a;q)_{\infty}}C_n(x;a|q)\\
&=2i\sin\theta\frac{(a;q)_{\infty}}{(a^2;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\frac{(ae^{2i\theta},ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{-i(n+1)\theta}\sum_{0\leq k}\frac{(q^{k+1},e^{-2i\theta}q^{k+1};q)_{\infty}}{(aq^k,ae^{-2i\theta}q^k;q)_{\infty}}q^{(n+1)k}\\
&\qquad-2i\sin\theta\frac{(a;q)_{\infty}}{(a^2;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\frac{(ae^{2i\theta},ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{i(n+1)\theta}\sum_{0\leq k}\frac{(q^{k+1},e^{2i\theta}q^{k+1};q)_{\infty}}{(aq^k,ae^{2i\theta}q^k;q)_{\infty}}q^{(n+1)k}\\
&=2i\sin\theta\frac{(a;q)_{\infty}}{(a^2;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\frac{(ae^{2i\theta},ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\left(e^{-i(n+1)\theta}\sum_{0\leq k}\frac{(q^{k+1},e^{-2i\theta}q^{k+1};q)_{\infty}}{(aq^k,ae^{-2i\theta}q^k;q)_{\infty}}q^{(n+1)k}-e^{i(n+1)\theta}\sum_{0\leq k}\frac{(q^{k+1},e^{2i\theta}q^{k+1};q)_{\infty}}{(aq^k,ae^{2i\theta}q^k;q)_{\infty}}q^{(n+1)k}\right)\\
&=2i\sin\theta\frac{(a;q)_{\infty}}{(a^2;q)_{\infty}}\frac{(a^2;q)_n}{(q;q)_n}\frac{(ae^{2i\theta},ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(ue^{i\theta}q,ue^{-i\theta}q;q)_{\infty}}{(aue^{i\theta},aue^{-i\theta};q)_{\infty}}u^n\,d_qu
\end{align}
となって示すべき等式が得られた.
Rogers多項式がこのように綺麗な$q$モーメントによる表示を持つことが分かったが, より一般的な直交多項式にもこのような$q$モーメントによる表示があるのかどうかは気になるところである.
母関数
定理1の両辺に
\begin{align}
\frac{(b;q)_n}{(a^2;q)_n}t^n
\end{align}
を掛けて足し合わせると, $q$二項定理より
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(b;q)_n}{(a^2;q)_n}C_n(x;a|q)t^n&=2i\sin\theta\frac{(ae^{2i\theta},ae^{-2i\theta},a,a;q)_{\infty}}{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta},a^2,q;q)_{\infty}}\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(ue^{i\theta}q,ue^{-i\theta}q;q)_{\infty}}{(aue^{i\theta},aue^{-i\theta};q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(b;q)_n}{(q;q)_n}(tu)^n\,d_qu\\
&=2i\sin\theta\frac{(ae^{2i\theta},ae^{-2i\theta},a,a;q)_{\infty}}{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta},a^2,q;q)_{\infty}}\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(ue^{i\theta}q,ue^{-i\theta}q,btu;q)_{\infty}}{(aue^{i\theta},aue^{-i\theta},tu;q)_{\infty}}\,d_qu
\end{align}
を得る. ここで,
non-terminating $q$-Whippleの変換公式の積分表示の系
\begin{align}
\int_a^b\frac{(tq/a,tq/b,ct;q)_{\infty}}{(dt,et,ft;q)_{\infty}}\,d_qt&=b\frac{(ac,bc,a/b,bq/a,abdef/c,q;q)_{\infty}}{(ad,ae,af,bd,be,bf;q)_{\infty}}\Q32{c/d,c/e,c/f}{ac,bc}{\frac{abdef}c}
\end{align}
を用いると,
\begin{align}
&\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(ue^{i\theta}q,ue^{-i\theta}q,btu;q)_{\infty}}{(aue^{i\theta},aue^{-i\theta},tu;q)_{\infty}}\,d_qu\\
&=e^{-i\theta}\frac{(bte^{i\theta},bte^{-i\theta},e^{2i\theta},e^{-2i\theta}q,a^2/b,q;q)_{\infty}}{(a,a,ae^{2i\theta},ae^{-2i\theta},te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}\Q32{bte^{i\theta}/a,bte^{-i\theta}/a,b}{bte^{i\theta},bte^{-i\theta}}{\frac{a^2}{b}}\\
&=\frac 1{2i\sin\theta}\frac{(bte^{i\theta},bte^{-i\theta},e^{2i\theta},e^{-2i\theta},a^2/b,q;q)_{\infty}}{(a,a,ae^{2i\theta},ae^{-2i\theta},te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}\Q32{b,bte^{i\theta}/a,bte^{-i\theta}/a}{bte^{i\theta},bte^{-i\theta}}{\frac{a^2}{b}}
\end{align}
となる.
Sears-Thomaeの変換公式
より,
\begin{align}
&\Q32{b,bte^{i\theta}/a,bte^{-i\theta}/a}{bte^{i\theta},bte^{-i\theta}}{\frac{a^2}{b}}\\
&=\frac{(b,ate^{i\theta},ate^{-i\theta};q)_{\infty}}{(bte^{i\theta},bte^{-i\theta},a^2/b;q)_{\infty}}\Q32{a^2/b,te^{i\theta},te^{-i\theta}}{ate^{i\theta},ate^{-i\theta}}b
\end{align}
と書き換えることもできる. まとめると以下を得る.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(b;q)_n}{(a^2;q)_n}C_n(x;a|q)t^n&=\frac{(a^2/b,bte^{i\theta},bte^{-i\theta};q)_{\infty}}{(a^2,te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}\Q32{b,bte^{i\theta}/a,bte^{-i\theta}/a}{bte^{i\theta},bte^{-i\theta}}{\frac{a^2}{b}}\\ &=\frac{(b,ate^{i\theta},ate^{-i\theta};q)_{\infty}}{(a^2,te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}\Q32{a^2/b,te^{i\theta},te^{-i\theta}}{ate^{i\theta},ate^{-i\theta}}b \end{align}
この系1の2つ目の表示は通常の母関数表示
\begin{align}
\sum_{0\leq n}C_n(x;a|q)t^n&=\frac{(ate^{i\theta},ate^{-i\theta};q)_{\infty}}{(te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}
\end{align}
と$q$二項定理を用いて
\begin{align}
&\frac{(b,ate^{i\theta},ate^{-i\theta};q)_{\infty}}{(a^2,te^{i\theta},te^{-i\theta};q)_{\infty}}\Q32{a^2/b,te^{i\theta},te^{-i\theta}}{ate^{i\theta},ate^{-i\theta}}b\\
&=\frac{(b;q)_{\infty}}{(a^2;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(a^2/b;q)_n}{(q;q)_n}\frac{(ate^{i\theta}q^n,ate^{-i\theta}q^n;q)_{\infty}}{(te^{i\theta}q^n,te^{-i\theta}q^n;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(b;q)_{\infty}}{(a^2;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n,k}\frac{(a^2/b;q)_n}{(q;q)_n}(tq^n)^kC_k(x;a|q)\\
&=\frac{(b;q)_{\infty}}{(a^2;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(a^2q^k;q)_{\infty}}{(bq^k;q)_{\infty}}t^kC_k(x;a|q)\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(b;q)_k}{(a^2;q)_k}t^kC_k(x;a|q)
\end{align}
と直接示すこともできる.
