ベクトル束を定義するだけ
はじめに
$\mathbf{K}$で実数体もしくは複素数体を指すものとします．
多様体といえば$C^\infty$級のものを指すものとします．
位相空間上のベクトル束
ベクトル束の記号って$E$なんですね．何から由来しているんだろう．
$E,X$を位相空間，$\pi:E\rightarrow X$を全射連続写像とする．
これらについて，以下の条件が満たされるとき$\pi :E\rightarrow X$をベクトル束という．
(1) $E_x=\pi^{-1}(x)$は$\mathbf{K}$上の$n$次元ベクトル空間である．
(2) ベクトル空間として$E_x$に自然に入る位相は$E$の部分空間としての位相とコンパチである．
(3) 各点$x\in X$に対し，次の性質を持つ近傍$U_x$が存在する：$\pi^{-1}(U_x)$に$E$の部分空間としての位相を入れる．下の写像$\Psi:\pi^{-1}(U_x)\rightarrow U_x\times \mathbf{K}^n$が同相写像を与えるように各$E_y$（$y\in U_x$）の基底$\{\mathbf{e}_1(y),\cdots,\mathbf{e}_n(y)\}$を定められる．
$$\Psi(\sum_{\mu=1}^n\alpha^\mu \mathbf{e}_\mu (y))=(y\,;\alpha^1,\cdots,\alpha^n)$$
$E_x$を$x$上のファイバーといいます．
(3)より明らかに$X$の連結成分ではファイバーの次元は一定です．
(3)から(2)を導くことができますが，ここでは明示的に書いておきました．
多様体上のベクトル束は$E,X$を多様体，連続写像のところを$C^\infty$写像で置き換えればよいです．
$\pi_1 :E\rightarrow X$，$\pi_2 :F\rightarrow X$を$X$上の二つのベクトル束とする．連続写像$\varphi:E\rightarrow F$が準同型であるとは以下の条件を満たすことをいう．
- 図式
$$ \xymatrix{ E \ar[rr]^{\varphi} \ar[dr]_{\pi_1} & & F \ar[dl]^{\pi_2} \\ & X & } $$
は可換である． - 任意の$x\in X$について$\varphi|_{E_x}$は$E_x$から$F_x$へのベクトル空間としての準同型となっている．
(1)より$\varphi(E_x)\subset F_x$なので(2)のような定義ができますね．
$\varphi$が全単射で$\varphi^{-1}$も準同型であるとき$\varphi$を同型写像といいます．
