ベクトル束を定義するだけ

$E,X$を位相空間，$\pi :E\to X$を全射連続写像とする．
これらについて，以下の条件が満たされるとき$\pi :E\to X$をベクトル束という．
(1) $E_x={\pi }^{-1}(x)$は$\mathbf{K}$上の$n$次元ベクトル空間である．
(2) ベクトル空間として$E_x$に自然に入る位相は$E$の部分空間としての位相とコンパチである．
(3) 各点$x\in X$に対し，次の性質を持つ近傍$U_x$が存在する：${\pi }^{-1}(U_x)$に$E$の部分空間としての位相を入れる．下の写像$\mathrm{\Psi }:{\pi }^{-1}(U_x)\to U_x\times {\mathbf{K}}^n$が同相写像を与えるように各$E_y$（$y\in U_x$）の基底$\{{\mathbf{e}}_1(y),\cdots ,{\mathbf{e}}_n(y)\}$を定められる．
$$\mathrm{\Psi }(\sum _{\mu =1}^n{\alpha }^{\mu }{\mathbf{e}}_{\mu }(y))=(y;{\alpha }^1,\cdots ,{\alpha }^n)$$

${\pi }_1:E\to X$，${\pi }_2:F\to X$を$X$上の二つのベクトル束とする．連続写像$\phi :E\to F$が準同型であるとは以下の条件を満たすことをいう．

1. 図式
   $$E\phi {\pi }_{1}F{\pi }_{2}X$$
   は可換である．
2. 任意の$x\in X$について$\phi {|}_{E_x}$は$E_x$から$F_x$へのベクトル空間としての準同型となっている．