位数3のモックテータ関数のAppell-Lerch型級数表示
位数3のモックテータ関数を以下のように定義する.
\begin{align}
f(q)&=\sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}}{(-q;q)_n^2}\\
\phi(q)&=\sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}}{(-q^2;q^2)_n}\\
\psi(q)&=\sum_{0< n}\frac{q^{n^2}}{(q;q^2)_n}\\
\chi(q)&=\sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}}{\prod_{k=1}^n(1-q^k+q^{2k})}\\
\omega(q)&=\sum_{0\leq n}\frac{q^{2n(n+1)}}{(q;q^2)_{n+1}^2}\\
\nu(q)&=\sum_{0\leq n}\frac{q^{n(n+1)}}{(-q;q^2)_{n+1}}\\
\rho(q)&=\sum_{0\leq n}\frac{q^{2n(n+1)}}{\prod_{k=0}^{n}(1+q^{2k+1}+q^{4k+2})}
\end{align}
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}}{\prod_{k=0}^n(1-2q^k\cos\theta+q^{2k})}&=\frac 1{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(3n+1)}}{1-2q^n\cos\theta+q^{2n}} \end{align}
Watsonの${}_8\phi_7$変換公式
\begin{align}
&\Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,q^{-N}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq^{N+1}}{\frac{a^2q^{N+2}}{bcde}}\\
&=\frac{(aq,aq/de;q)_N}{(aq/d,aq/e;q)_N}\Q43{aq/bc,d,e,q^{-N}}{aq/b,aq/c,deq^{-N}/a}{q}
\end{align}
において, $d,e,N\to\infty$として, $b=e^{i\theta}, c=e^{-i\theta}$とすると,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,e^{i\theta}, e^{-i\theta};q)_n}{(1-a)(q,ae^{i\theta}q,ae^{-i\theta}q;q)_n}(-1)^na^{2n}q^{\frac 12n(3n+1)}&=(aq;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{(aq;q)_na^nq^{n^2}}{(q,ae^{i\theta}q,ae^{-i\theta }q;q)_n}
\end{align}
ここで, $a\to 1$として,
\begin{align}
1+\sum_{0< n}\frac{(1+q^{n})(1-e^{i\theta})(1-e^{-i\theta})}{(1-e^{i\theta}q^n)(1-e^{-i\theta}q^n)}(-1)^nq^{\frac 12n(3n+1)}&=(q;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}}{(e^{i\theta}q,e^{-i\theta }q;q)_n}
\end{align}
ここで,
\begin{align}
&1+\sum_{0< n}\frac{(1+q^{n})(1-e^{i\theta})(1-e^{-i\theta})}{(1-e^{i\theta}q^n)(1-e^{-i\theta}q^n)}(-1)^nq^{\frac 12n(3n+1)}\\
&=(1-e^{i\theta})(1-e^{-i\theta})\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(3n+1)}}{1-2q^n\cos\theta+q^{2n}}
\end{align}
であるから, 両辺を$ (1-e^{i\theta})(1-e^{-i\theta})$で割って示すべき等式が得られる.
これは
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}}{(e^{i\theta},e^{-i\theta};q)_{n+1}}&=\frac 1{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(3n+1)}}{(1-e^{i\theta}q^n)(1-e^{-i\theta}q^n)}
\end{align}
と書くことができ, $w=e^{i\theta}$とすると,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}}{(w,1/w;q)_{n+1}}&=\frac 1{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(3n+1)}}{(1-wq^n)(1-q^n/w)}
\end{align}
と書き換えられる.
\begin{align} f(q)&=\frac 2{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(3n+1)}}{1+q^n}\\ \phi(q)&=\frac 2{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(3n+1)}}{1+q^{2n}}\\ \psi(q)&=\frac 1{(q^4;q^4)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{6n(n+1)+1}}{1-q^{4n+1}}\\ \chi(q)&=\frac 1{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(3n+1)}}{1-q^n+q^{2n}} \end{align}
補題1において, $\theta=\pi$とすれば,
\begin{align}
f(q)&=\frac{4}{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(3n+1)}}{(1+q^n)^2}\\
&=\frac{2}{(q;q)_{\infty}}\left(\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(3n+1)}}{(1+q^n)^2}+\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(3n+1)}}{(1+q^n)^2}q^n\right)\\
&=\frac{2}{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(3n+1)}}{1+q^n}
\end{align}
を得る. 補題1において, $\theta=\frac{\pi}2$とすれば,
\begin{align}
\phi(q)&=\frac{2}{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(3n+1)}}{1+q^{2n}}
\end{align}
を得る. 補題1において, $\theta=\frac{\pi}3$とすれば,
\begin{align}
\chi(q)&=\frac 1{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(3n+1)}}{1-q^n+q^{2n}}
\end{align}
を得る. 補題1において, $e^{i\theta}=q^{\frac 14}$としてから$q\to q^4$とすると,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{q^{4n^2}}{(q,q^{-1};q^4)_{n+1}}&=\frac 1{(q^4;q^4)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{2n(3n+1)}}{(1-q^{4n+1})(1-q^{4n-1})}
\end{align}
左辺は
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{q^{4n^2}}{(q,q^{-1};q^4)_{n+1}}&=\frac 1{1-q^{-1}}\sum_{0\leq n}\frac{q^{(2n)^2}(1-q^{4n+1})+q^{(2n+1)^2}}{(q;q^2)_{2n+1}}\\
&=\frac 1{1-q^{-1}}\left(\sum_{0\leq n}\frac{q^{(2n)^2}}{(q;q^2)_{2n}}+\sum_{0\leq n}\frac{q^{(2n+1)^2}}{(q;q^2)_{2n+1}}\right)\\
&=\frac 1{1-q^{-1}}(1+\psi(q))
\end{align}
右辺は
\begin{align}
&\frac 1{(q^4;q^4)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{2n(3n+1)}}{(1-q^{4n+1})(1-q^{4n-1})}\\
&=\frac 1{(1-q^2)(q^4;q^4)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}(-1)^nq^{2n(3n+1)}\left(\frac 1{1-q^{4n-1}}-\frac{q^2}{1-q^{4n+1}}\right)\\
&=\frac 1{(1-q^2)(q^4;q^4)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}(-1)^n\left(\frac {q^{2n(3n-1)}}{1-q^{-4n-1}}-\frac{q^{2n(3n+1)+2}}{1-q^{4n+1}}\right)\\
&=-\frac{q}{(1-q)(q^4;q^4)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{2n(3n+1)}}{1-q^{4n+1}}
\end{align}
よって,
\begin{align}
1+\psi(q)&=\frac 1{(q^4;q^4)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{2n(3n+1)}}{1-q^{4n+1}}
\end{align}
である.
Eulerの五角数定理
より,
\begin{align}
(q^4;q^4)_{\infty}&=\sum_{n\in\ZZ}(-1)^nq^{2n(3n+1)}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\psi(q)&=\frac 1{(q^4;q^4)_{\infty}}\left(\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{2n(3n+1)}}{1-q^{4n+1}}-\sum_{n\in\ZZ}(-1)^nq^{2n(3n+1)}\right)\\
&=\frac 1{(q^4;q^4)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{6n(n+1)+1}}{1-q^{4n+1}}
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{n(n+1)}}{\prod_{k=0}^n(1-2q^{k+\frac 12}\cos\theta+q^{2k+1})}&=\frac 1{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 32n(n+1)}}{1-2q^{n+\frac 12}\cos\theta+q^{2n+1}} \end{align}
Watsonの${}_8\phi_7$変換公式
\begin{align}
&\Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,q^{-N}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq^{N+1}}{\frac{a^2q^{N+2}}{bcde}}\\
&=\frac{(aq,aq/de;q)_N}{(aq/d,aq/e;q)_N}\Q43{aq/bc,d,e,q^{-N}}{aq/b,aq/c,deq^{-N}/a}{q}
\end{align}
において, $d,e,N\to\infty$として, $a=q,b=e^{i\theta}q^{\frac 12}, c=e^{-i\theta}q^{\frac 12}$とすると,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(1-q^{2n+1})(e^{i\theta}q^{\frac 12},e^{-i\theta} q^{\frac 12};q)_n}{(1-q)(e^{i\theta}q^{\frac 32},e^{-i\theta }q^{\frac 32};q)_n}(-1)^nq^{\frac 32n(n+1)}&=(q^2;q)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2+n}}{(e^{i\theta}q^{\frac 32},e^{-i\theta}q^{\frac 32};q)_n}
\end{align}
両辺に$\frac{1-q}{(1-e^{i\theta}q^{\frac 12})(1-e^{-i\theta}q^{\frac 12})}$を掛けて, これを書き換えればよい.
これは, $w=e^{i\theta}q^{\frac 12}$とすると,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{q^{n(n+1)}}{(w,q/w;q)_{n+1}}&=\frac 1{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 32n(n+1)}}{(1-wq^n)(1-q^{n+1}/w)}
\end{align}
と表される.
この補題を用いることによって, 残りの3つについてもAppell-Lerch型級数表示が得られる.
\begin{align} \omega(q)&=\frac 1{(q^2;q^2)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{3n(n+1)}}{1-q^{2n+1}}\\ \nu(q)&=\frac 1{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 32n(n+1)}}{1+q^{2n+1}}\\ \rho(q)&=\frac 1{(q^2;q^2)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{3n(n+1)}}{1+q^{2n+1}+q^{4n+2}} \end{align}
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{q^{n(n+1)}}{\prod_{k=0}^n(1-2q^{k+\frac 12}\cos\theta+q^{2k+1})}&=\frac 1{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 32n(n+1)}}{1-2q^{n+\frac 12}\cos\theta+q^{2n+1}}
\end{align}
補題3において, $\theta=0$として$q\mapsto q^2$とすると,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{q^{2n(n+1)}}{(q;q^2)_{n+1}^2}&=\frac 1{(q^2;q^2)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{3n(n+1)}}{(1-q^{2n+1})^2}\\
&=\frac 1{2(q^2;q^2)_{\infty}}\left(\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{3n(n+1)}}{(1-q^{2n+1})^2}-\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{3n(n+1)}}{(1-q^{2n+1})^2}q^{4n+2}\right)\\
&=\frac 1{2(q^2;q^2)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{3n(n+1)}(1+q^{2n+1})}{1-q^{2n+1}}\\
&=\frac 1{(q^2;q^2)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{3n(n+1)}}{1-q^{2n+1}}
\end{align}
を得る. 補題3において, $\theta=\frac{\pi }2$とすると,
\begin{align}
\nu(q)&=\frac 1{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 32n(n+1)}}{1+q^{2n+1}}
\end{align}
を得る. 補題3において, $\theta=\frac{2\pi}3$として, $q\mapsto q^2$とすると,
\begin{align}
\rho(q)&=\frac 1{(q^2;q^2)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{3n(n+1)}}{1+q^{2n+1}+q^{4n+2}}
\end{align}
を得る.
定理2, 定理4によって, 定義1で導入した全てのモックテータ関数にAppell-Lerch型の級数表示を与えることができた.
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