東大数理院試過去問解答例(2011B01)

正整数$k$に対して
$${\mu }_k:=\{z\in \mathbb{C}|z^k=1\}$$
とおく。これは乗法群である。非自明な有限アーベル群$G$に対して群同型
$$G\simeq {\mu }_{k_1}\times \cdots \times {\mu }_{k_{\ell }}$$
が成り立つような正整数の組$k_1,\cdots ,k_{\ell }$が存在するような最小の$\ell$を$t(G)$とおく。

1. 群同型$G\simeq {\mu }_{k_1}\times \cdots \times {\mu }_{k_{\ell }}$が成り立っているとき、不等式
   $$|\{x\in G|x^p=1\}|\le p^{\ell }$$
   が成り立つことを示しなさい。
2. 群同型$G\simeq {\mu }_{k_1}\times \cdots \times {\mu }_{k_{\ell }}$が成り立っているとき、$\ell =t(G)$であることと$gcd(k_1,\cdots ,k_{\ell })>1$であることが同値であることを示しなさい。
3. $H$を$G$の非自明な部分群とする。このとき不等式$t(H)\le t(G)$が成り立つことを示しなさい。
4. $G$が$\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$の非自明な有限アーベル群とする。このとき不等式$t(G)\le n$が成り立つことを示しなさい。