2が並んだ両側MZSVの表示
両側MZV(multitangent function), 両側MZSVをそれぞれ
\begin{align}
\hat{\zeta}(k_1,\dots,k_r;w)&:=\sum_{n_1<\cdots< n_r}\frac 1{(n_1+w)^{k_1}\cdots (n_r+w)^{k_r}}\\
\hat{\zeta}^{\star}(k_1,\dots,k_r;w)&:=\sum_{n_1\leq \cdots\leq n_r}\frac 1{(n_1+w)^{k_1}\cdots (n_r+w)^{k_r}}\\
\end{align}
とする. ここで, 和は整数全体を渡るものとする. 今回は以下の等式を示す.
$n\geq 0$に対し,
\begin{align}
\hat{\zeta}^{\star}(\{2\}^n;w)&=\frac{\hat{\zeta}(2n+1;w)}{\hat{\zeta}(1;w)}
\end{align}
が成り立つ.
母関数を考えると, 部分分数分解により,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}t^n\hat{\zeta}^{\star}(\{2\}^n;w)&=\frac 1{\prod_{n\in\ZZ}\left(1-\frac{t}{(n+w)^2}\right)}\\
&=\sum_{n\in\ZZ}\frac 1{1-\frac{t}{(n+w)^2}}\frac 1{\prod_{m\in\ZZ-\{n\}}\left(1-\frac{(n+w)^2}{(m+w)^2}\right)}
\end{align}
を得る. ここで, 三角関数の無限乗積展開により
\begin{align}
\prod_{m\in\ZZ-\{n\}}\left(1-\frac{(n+w)^2}{(m+w)^2}\right)&=\prod_{m\in\ZZ-\{n\}}\frac{(m-n)(m+n+2w)}{(m+w)^2}\\
&=\prod_{m\in\ZZ-\{0\}}\frac{m(m+2n+2w)}{(m+n+w)^2}\\
&=\prod_{0< m}\frac{m^2(m^2-(2n+2w)^2)}{(m^2-(n+w)^2)^2}\\
&=\frac{\sin\pi(2n+2w)}{\pi(2n+2w)}\frac{\pi^2(n+w)^2}{\sin^2\pi(n+w)}\\
&=\frac{(n+w)\pi\sin 2\pi w}{2\sin^2\pi w}\\
&=(n+w)\pi\cot\pi w\\
&=(n+w)\hat{\zeta}(1;w)
\end{align}
が得られるから, これを代入すると,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}t^n\hat{\zeta}^{\star}(\{2\}^n;w)&=\frac 1{\hat{\zeta}(1;w)}\sum_{n\in\ZZ}\frac 1{1-\frac{t}{(n+w)^2}}\frac 1{n+w}
\end{align}
ここで, 両辺の$t^n$の係数を比較して定理を得る.
$q$類似
全く同様の方針で以下の$q$類似を示すことができる.
$r\geq 0$のとき,
\begin{align}
&\sum_{n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{wq^{n_1}}{(1-wq^{n_1})^2}\cdots\frac{wq^{n_r}}{(1-wq^{n_r})^2}\\
&=\frac{(w,q/w;q)_{\infty}^2}{(q,q,w^2,q/w^2;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{w^{2n+r}q^{n^2+rn}(1+wq^n)}{(1-wq^n)^{2r+1}}
\end{align}
が成り立つ.
特に, $r=0$のとき,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\frac{w^{2n}q^{n^2}(1+wq^n)}{1-wq^n}&=\frac{(q,q,w^2,q/w^2;q)_{\infty}}{(w,q/w;q)_{\infty}^2}
\end{align}
である. これは
前の記事
で示したBaileyの${}_6\psi_6$の和公式の特別な場合である.
