6ψ6和公式の系として得られるLambert級数の等式2

前の記事でBaileyの $_{6} ψ_{6}$ 和公式からいくつかのLambert級数の間の等式を導出したが, 今回は他の類似も導出したいと思う.

$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{q^{(\binom{n}{2})}}{1 - x q^{n}} (x q)^{n} & = \frac{(x^{2} q, q / x^{2}, q^{2}, q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(x, q / x; q)_{\infty}} \end{aligned}$

前の記事で示した公式
$\begin{aligned} _{2} ψ_{2} [\begin{array}{c} b, c \\ a q / b, a q / c \end{array}; - \frac{a q}{b c}] & = \frac{(a q / b c; q)_{\infty} (a q, q / a, a q^{2} / b^{2}, a q^{2} / c, q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(a q / b, a q / c, q / b, q / c, - a q / b c; q)_{\infty}} \end{aligned}$
において $a = x^{2}, b = x, c \to \infty$ として,
$\begin{aligned} (1 - x) \sum_{n \in Z} \frac{q^{(\binom{n}{2})}}{1 - x q^{n}} (x q)^{n} & = \frac{(x^{2} q, q / x^{2}, q^{2}, q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(x q, q / x; q)_{\infty}} \end{aligned}$
であるから, 両辺を $1 - x$ で割って定理を得る.

$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(1 - x y q^{2 n}) q^{n^{2}}}{(1 - x q^{n}) (1 - y q^{n})} (x y)^{n} & = \frac{(x y, q / x y, q, q; q)_{\infty}}{(x, y, q / x, q / y; q)_{\infty}} \end{aligned}$

Baileyの $_{6} ψ_{6}$ 和公式
$\begin{aligned} _{6} ψ_{6} [\begin{array}{c} \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, d, e \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e \end{array}; \frac{a^{2} q}{b c d e}] \\ = \frac{(a q, a q / b c, a q / b d, a q / b e, a q / c d, a q / c e, a q / d e, q, q / a; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, q / b, q / c, q / d, q / e, a^{2} q / b c d e; q)_{\infty}} \end{aligned}$
において, $a = x y, b = x, c = y, d \to \infty, e \to \infty$ として,
$\begin{aligned} \frac{(1 - x) (1 - y)}{1 - x y} \sum_{n \in Z} \frac{(1 - x y q^{2 n}) q^{n^{2}}}{(1 - x q^{n}) (1 - y q^{n})} (x y)^{n} & = \frac{(x y q, q, q, q / x y; q)_{\infty}}{(x q, y q, q / x, q / y; q)_{\infty}} \end{aligned}$
であるから定理を得る.

特に $x = y$ として以下を得る.

$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(1 + x q^{n}) q^{n^{2}}}{1 - x q^{n}} x^{2 n} & = \frac{(x^{2}, q / x^{2}, q, q; q)_{\infty}}{(x, q / x; q)_{\infty}^{2}} \end{aligned}$

また, $x = y$ としてから $x^{2} \mapsto x$ とすると以下を得る.

$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(1 + x q^{2 n}) q^{n^{2}}}{1 - x q^{2 n}} (- x)^{n} & = \frac{(- x, - q / x, q, q; q)_{\infty}}{(x, q^{2} / x; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$

次の式の右辺は一般にテータ関数の積の形にはなっていないところがこれまでとは違うところだ.

$\begin{array}{r} \sum_{n \in Z} \frac{(1 - x y q^{2 n}) q^{(\binom{n}{2})}}{(1 - x q^{n})^{2} (1 - y q^{n})} (- y q)^{n} = \frac{(x y, q / x y, y q / x, q, q, q; q)_{\infty}}{(x, q / x, q / x, y, y, q / y; q)_{\infty}} \end{array}$

Baileyの $_{6} ψ_{6}$ 和公式
$\begin{aligned} _{6} ψ_{6} [\begin{array}{c} \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, d, e \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e \end{array}; \frac{a^{2} q}{b c d e}] \\ = \frac{(a q, a q / b c, a q / b d, a q / b e, a q / c d, a q / c e, a q / d e, q, q / a; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, q / b, q / c, q / d, q / e, a^{2} q / b c d e; q)_{\infty}} \end{aligned}$
において, $a = x y, b = x, c = x, d = y, e \to \infty$ として,
$\begin{array}{r} \frac{(1 - x)^{2} (1 - y)}{1 - x y} \sum_{n \in Z} \frac{(1 - x y q^{2 n}) q^{(\binom{n}{2})}}{(1 - x q^{n})^{2} (1 - y q^{n})} (- y q)^{n} = \frac{(x y q, y q / x, q, q, q, q / x y; q)_{\infty}}{(y q, y q, x q, q / x, q / x, q / y; q)_{\infty}} \end{array}$
であるから定理を得る.

特に, $x = y$ として, 以下を得る.

$\begin{array}{r} \sum_{n \in Z} \frac{(1 + x q^{n}) q^{(\binom{n}{2})}}{(1 - x q^{n})^{2}} (- x q)^{n} = \frac{(x^{2}, q / x^{2}; q)_{\infty} (q; q)_{\infty}^{4}}{(x, q / x; q)_{\infty}^{3}} \end{array}$