6ψ6和公式の系として得られるLambert級数の等式2
前の記事 でBaileyの${}_6\psi_6$和公式からいくつかのLambert級数の間の等式を導出したが, 今回は他の類似も導出したいと思う.
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{q^{\binom n2}}{1-xq^n}(xq)^n&=\frac{(x^2q,q/x^2,q^2,q^2;q^2)_{\infty}}{(x,q/x;q)_{\infty}} \end{align}
前の記事
で示した公式
\begin{align}
\BQ22{b,c}{aq/b,aq/c}{-\frac{aq}{bc}}&=\frac{(aq/bc;q)_{\infty}(aq,q/a,aq^2/b^2,aq^2/c,q^2;q^2)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,q/b,q/c,-aq/bc;q)_{\infty}}
\end{align}
において$a=x^2, b=x, c\to\infty$として,
\begin{align}
(1-x)\sum_{n\in\ZZ}\frac{q^{\binom n2}}{1-xq^n}(xq)^n&=\frac{(x^2q,q/x^2,q^2,q^2;q^2)_{\infty}}{(xq,q/x;q)_{\infty}}
\end{align}
であるから, 両辺を$1-x$で割って定理を得る.
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(1-xyq^{2n})q^{n^2}}{(1-xq^n)(1-yq^n)}(xy)^n&=\frac{(xy,q/xy,q,q;q)_{\infty}}{(x,y,q/x,q/y;q)_{\infty}} \end{align}
Baileyの${}_6\psi_6$和公式
\begin{align}
&\BQ66{\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e}{\frac{a^2q}{bcde}}\\
&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/cd,aq/ce,aq/de,q,q/a;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,q/b,q/c,q/d,q/e,a^2q/bcde;q)_{\infty}}
\end{align}
において, $a=xy, b=x, c=y,d\to\infty,e\to\infty$として,
\begin{align}
\frac{(1-x)(1-y)}{1-xy}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(1-xyq^{2n})q^{n^2}}{(1-xq^n)(1-yq^n)}(xy)^n&=\frac{(xyq,q,q,q/xy;q)_{\infty}}{(xq,yq,q/x,q/y;q)_{\infty}}
\end{align}
であるから定理を得る.
特に$x=y$として以下を得る.
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(1+xq^{n})q^{n^2}}{1-xq^n}x^{2n}&=\frac{(x^2,q/x^2,q,q;q)_{\infty}}{(x,q/x;q)_{\infty}^2} \end{align}
また, $x=y$としてから$x^2\mapsto x$とすると以下を得る.
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(1+xq^{2n})q^{n^2}}{1-xq^{2n}}(-x)^n&=\frac{(-x,-q/x,q,q;q)_{\infty}}{(x,q^2/x;q^2)_{\infty}} \end{align}
次の式の右辺は一般にテータ関数の積の形にはなっていないところがこれまでとは違うところだ.
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(1-xyq^{2n})q^{\binom n2}}{(1-xq^n)^2(1-yq^n)}(-yq)^n=\frac{(xy,q/xy,yq/x,q,q,q;q)_{\infty}}{(x,q/x,q/x,y,y,q/y;q)_{\infty}} \end{align}
Baileyの${}_6\psi_6$和公式
\begin{align}
&\BQ66{\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e}{\frac{a^2q}{bcde}}\\
&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/cd,aq/ce,aq/de,q,q/a;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,q/b,q/c,q/d,q/e,a^2q/bcde;q)_{\infty}}
\end{align}
において, $a=xy,b=x,c=x,d=y,e\to\infty$として,
\begin{align}
\frac {(1-x)^2(1-y)}{1-xy}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(1-xyq^{2n})q^{\binom n2}}{(1-xq^n)^2(1-yq^n)}(-yq)^n=\frac{(xyq,yq/x,q,q,q,q/xy;q)_{\infty}}{(yq,yq,xq,q/x,q/x,q/y;q)_{\infty}}
\end{align}
であるから定理を得る.
特に, $x=y$として, 以下を得る.
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(1+xq^{n})q^{\binom n2}}{(1-xq^n)^2}(-xq)^n=\frac{(x^2,q/x^2;q)_{\infty}(q;q)_{\infty}^4}{(x,q/x;q)_{\infty}^3} \end{align}
このように, $q$の指数のところに二次式が入っているようなLambert級数の類似が積で表される場合が色々あるのは興味深いと思う.
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