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6ψ6和公式の系として得られるLambert級数の等式

Baileyの $_{6} ψ_{6}$ 和公式
$\begin{aligned} _{6} ψ_{6} [\begin{array}{c} \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, d, e \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e \end{array}; \frac{a^{2} q}{b c d e}] \\ = \frac{(a q, a q / b c, a q / b d, a q / b e, a q / c d, a q / c e, a q / d e, q, q / a; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, q / b, q / c, q / d, q / e, a^{2} q / b c d e; q)_{\infty}} \end{aligned}$
の応用として, Andrews-Lewis-Liuの恒等式や, その特別な場合として Baileyによる等式
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} (\frac{a q^{n}}{(1 - a q^{n})^{2}} - \frac{b q^{n}}{(1 - b q^{n})^{2}}) & = a \frac{(a b, q / a b, b / a, a q / b; q)_{\infty} (q; q)_{\infty}^{4}}{(a, q / a, b, q / b; q)_{\infty}^{2}} \end{aligned}$
などが得られるが, 他にも様々なLambert級数(の一般化)を得ることができる.

$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(- q)^{n}}{(1 - x q^{n}) (1 - y q^{n})} & = \frac{(q; q)_{\infty}^{2} (x q^{2} / y, x q^{2} / x, x y q, q / x y; q^{2})_{\infty}}{(x, q / x, y, q / y; q)_{\infty}} \end{aligned}$

Baileyの $_{6} ψ_{6}$ 和公式において, $d = \sqrt{a}, e = - \sqrt{a}$ とすると,
$\begin{aligned} _{2} ψ_{2} [\begin{array}{c} b, c \\ a q / b, a q / c \end{array}; - \frac{a q}{b c}] & = \frac{(a q, a q / b c, \sqrt{a} q / b, - \sqrt{a} q / b, \sqrt{a} q / c, - \sqrt{a} q / c, - q, q, q / a; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / c, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, q / b, q / c, q / \sqrt{a}, - q / \sqrt{a}, - a q / b c; q)_{\infty}} \\ = \frac{(a q, q / a, a q / b c; q)_{\infty} (a q^{2} / b^{2}, a q^{2} / c, q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(a q / b, a q / c, q / b, q / c, - a q / b c; q)_{\infty} (a q^{2}, q^{2} / a; q^{2})_{\infty}} \\ = \frac{(a q / b c; q)_{\infty} (a q, q / a, a q^{2} / b^{2}, a q^{2} / c, q^{2}; q^{2})_{\infty}}{(a q / b, a q / c, q / b, q / c, - a q / b c; q)_{\infty}} \end{aligned}$
が得られる. 特に $a = x y, b = x, c = y$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(- q)^{n}}{(1 - x q^{n}) (1 - y q^{n})} & = \frac{(q; q)_{\infty}^{2} (x y q, q / x y, x q / y, y q / x; q^{2})_{\infty}}{(x, q / x, y, q / y; q)_{\infty}} \end{aligned}$
を得る.

特に $x = y$ として以下を得る.

$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(- q)^{n}}{(1 - x q^{n})^{2}} & = \frac{(q; q)_{\infty}^{2} (x^{2} q, q / x^{2}, q, q; q^{2})_{\infty}}{(x, q / x; q)_{\infty}^{2}} \end{aligned}$

Askey(1981)

$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(1 + x y q^{2 n}) q^{n}}{(1 - x^{2} q^{2 n}) (1 - y^{2} q^{2 n})} & = \frac{(x q / y, y q / x, - x y, - q / x y; q)_{\infty} (q^{2}; q^{2})_{\infty}^{2}}{(x^{2}, q^{2} / x^{2}, y^{2}, q^{2} / y^{2}; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$

Baileyの $_{6} ψ_{6}$ 和公式において, $a = - x y, b = x, c = - x, d = y, e = - y$ とすると,
$\begin{aligned} \frac{(1 - x^{2}) (1 - y^{2})}{1 + x y} \sum_{n \in Z} \frac{(1 + x y q^{2 n}) q^{n}}{(1 - x^{2} q^{2 n}) (1 - y^{2} q^{2 n})} & = \frac{(- x y q, y q / x, - q, q, q, - q, x q / y, - q / x y; q)_{\infty}}{(y q, - y q, x q, - x q, q / x, - q / x, q / y, - q / y; q)_{\infty}} \\ = \frac{(- x y q, y q / x, x q / y, - q / x y; q)_{\infty} (q^{2}; q^{2})_{\infty}^{2}}{(x^{2} q^{2}, y^{2} q^{2}, q^{2} / x^{2}, q^{2} / y^{2}; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$
より, 定理を得る.

特に $x = y$ としてから $x^{2} \mapsto x$ として以下を得る.

$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(1 + x q^{2 n}) q^{n}}{(1 - x q^{2 n})^{2}} & = \frac{(- x, - q / x; q)_{\infty} (q; q)_{\infty}^{2} (q^{2}; q^{2})_{\infty}^{2}}{(x, q^{2} / x; q^{2})_{\infty}^{2}} \end{aligned}$

以下のように, 分母が3乗のものもある.

Watson(1933)

$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(1 + x q^{n}) q^{n}}{(1 - x q^{n})^{3}} & = \frac{(x^{2}, q / x^{2}; q)_{\infty} (q; q)_{\infty}^{6}}{(x, q / x; q)_{\infty}^{4}} \end{aligned}$

$a = x^{2}, b = c = d = e = x$ として,
$\begin{aligned} \frac{(1 - x)^{4}}{1 - x^{2}} \sum_{n \in Z} \frac{(1 + x q^{n}) q^{n}}{(1 - x q^{n})^{3}} & = \frac{(x^{2} q, q, q, q, q, q, q, q / x^{2}; q)_{\infty}}{(x q, x q, x q, x q, q / x, q / x, q / x, q / x; q)_{\infty}} \\ = \frac{(x^{2} q, q / x^{2}; q)_{\infty} (q; q)_{\infty}^{6}}{(x q, q / x; q)_{\infty}^{4}} \end{aligned}$
より定理を得る.