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6ψ6和公式の系として得られるLambert級数の等式

Baileyの${}_6\psi_6$和公式
\begin{align} &\BQ66{\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e}{\frac{a^2q}{bcde}}\\ &=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/cd,aq/ce,aq/de,q,q/a;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,q/b,q/c,q/d,q/e,a^2q/bcde;q)_{\infty}} \end{align}
の応用として, Andrews-Lewis-Liuの恒等式や, その特別な場合として Baileyによる等式
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\left(\frac{aq^n}{(1-aq^n)^2}-\frac{bq^n}{(1-bq^n)^2}\right)&=a\frac{(ab,q/ab,b/a,aq/b;q)_{\infty}(q;q)_{\infty}^4}{(a,q/a,b,q/b;q)_{\infty}^2} \end{align}
などが得られるが, 他にも様々なLambert級数(の一般化)を得ることができる.

\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(-q)^n}{(1-xq^n)(1-yq^n)}&=\frac{(q;q)_{\infty}^2(xq^2/y,xq^2/x,xyq,q/xy;q^2)_{\infty}}{(x,q/x,y,q/y;q)_{\infty}} \end{align}

Baileyの${}_6\psi_6$和公式において, $d=\sqrt a,e=-\sqrt a$とすると,
\begin{align} \BQ22{b,c}{aq/b,aq/c}{-\frac{aq}{bc}}&=\frac{(aq,aq/bc,\sqrt aq/b,-\sqrt aq/b,\sqrt aq/c,-\sqrt aq/c,-q,q,q/a;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,\sqrt aq,-\sqrt aq,q/b,q/c,q/\sqrt a,-q/\sqrt a,-aq/bc;q)_{\infty}}\\ &=\frac{(aq,q/a,aq/bc;q)_{\infty}(aq^2/b^2,aq^2/c,q^2;q^2)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,q/b,q/c,-aq/bc;q)_{\infty}(aq^2,q^2/a;q^2)_{\infty}}\\ &=\frac{(aq/bc;q)_{\infty}(aq,q/a,aq^2/b^2,aq^2/c,q^2;q^2)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,q/b,q/c,-aq/bc;q)_{\infty}} \end{align}
が得られる. 特に$a=xy, b=x, c=y$とすると,
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(-q)^n}{(1-xq^n)(1-yq^n)}&=\frac{(q;q)_{\infty}^2(xyq,q/xy, xq/y,yq/x;q^2)_{\infty}}{(x,q/x,y,q/y;q)_{\infty}} \end{align}
を得る.

特に$x=y$として以下を得る.

\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(-q)^n}{(1-xq^n)^2}&=\frac{(q;q)_{\infty}^2(x^2q,q/x^2,q,q;q^2)_{\infty}}{(x,q/x;q)_{\infty}^2} \end{align}

Askey(1981)

\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(1+xyq^{2n})q^n}{(1-x^2q^{2n})(1-y^2q^{2n})}&=\frac{(xq/y,yq/x,-xy,-q/xy;q)_{\infty}(q^2;q^2)_{\infty}^2}{(x^2,q^2/x^2,y^2,q^2/y^2;q^2)_{\infty}} \end{align}

Baileyの${}_6\psi_6$和公式において, $a=-xy, b=x,c=-x,d=y,e=-y$とすると,
\begin{align} \frac{(1-x^2)(1-y^2)}{1+xy}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(1+xyq^{2n})q^n}{(1-x^2q^{2n})(1-y^2q^{2n})}&=\frac{(-xyq,yq/x,-q,q,q,-q,xq/y,-q/xy;q)_{\infty}}{(yq,-yq,xq,-xq,q/x,-q/x,q/y,-q/y;q)_{\infty}}\\ &=\frac{(-xyq,yq/x,xq/y,-q/xy;q)_{\infty}(q^2;q^2)_{\infty}^2}{(x^2q^2,y^2q^2,q^2/x^2,q^2/y^2;q^2)_{\infty}}\\ \end{align}
より, 定理を得る.

特に$x=y$としてから$x^2\mapsto x$として以下を得る.

\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(1+xq^{2n})q^n}{(1-xq^{2n})^2}&=\frac{(-x,-q/x;q)_{\infty}(q;q)_{\infty}^2(q^2;q^2)_{\infty}^2}{(x,q^2/x;q^2)_{\infty}^2} \end{align}

以下のように, 分母が3乗のものもある.

Watson(1933)

\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(1+xq^{n})q^n}{(1-xq^n)^3}&=\frac{(x^2,q/x^2;q)_{\infty}(q;q)_{\infty}^6}{(x,q/x;q)_{\infty}^4} \end{align}

$a=x^2, b=c=d=e=x$として,
\begin{align} \frac{(1-x)^4}{1-x^2}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(1+xq^n)q^n}{(1-xq^n)^3}&=\frac{(x^2q,q,q,q,q,q,q,q/x^2;q)_{\infty}}{(xq,xq,xq,xq,q/x,q/x,q/x,q/x;q)_{\infty}}\\ &=\frac{(x^2q,q/x^2;q)_{\infty}(q;q)_{\infty}^6}{(xq,q/x;q)_{\infty}^4} \end{align}
より定理を得る.

このような等式を楕円関数論の観点から考えてみるというのも面白そうである.