東大院試04-A5

問題

考察

$\lambda =0$なら，初等的な微分積分の議論で行けるのになぁ．．．
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^x}{1+e^{3x}}dx={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+t^3}dt$$
となり，あとは（かなり面倒ではあるが）頑張ればいける．このことから，この問題は（多分）かなり面倒くさそうであることが分かる．

解答

$$f(z)=e^{i\lambda z}\frac{e^z}{1+e^{3z}}=\frac{e^{(i\lambda +1)z}}{1+e^{3z}}$$
を考える．まずはこの関数の極を求める．
$$1+e^{3z}=0$$を解いて，${\displaystyle z=(\frac{1}{3}+2k)\pi i}$（$k\in \mathbb{Z}$）が特異点の候補であることが分かる．分子が指数関数で，$0$にならないことを考えると，これらは次数$1$の極であることが分かる．
積分路として，

というものをとると，上手くいく．なぜ${\displaystyle \frac{2}{3}}\pi i$を通るようにするかは後でわかる．
　$C_1$については，
$${\int }_{C_1}f(z)dz={\int }_{-R}^{R}f(x)dx$$
　$C_2$については$z=R+it$（$t:0\to {\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$）とパラメータ付けして，
$$|{\int }_{C_2}f(z)dz|=\left|{\int }_0^{\frac{2}{3}\pi }\frac{e^{(i\lambda +1)(R+it)}}{1+e^{3(R+it)}}dt\right|\le \frac{2}{3}\pi e^{3\pi |\lambda |/2}\frac{e^R}{e^{3R}-1}\to 0(R\to \mathrm{\infty })$$
とわかる．途中で$|a+b|\ge |a|-|b|$を使う．
　$C_4$については$z=-R+it$（$t:{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi \to 0$）とパラメータ付けして，
$$|{\int }_{C_4}f(z)dz|=\left|{\int }_0^{\frac{2}{3}\pi }\frac{e^{(i\lambda +1)(-R+it)}}{1+e^{3(-R+it)}}dt\right|\le \frac{2}{3}\pi e^{3\pi |\lambda |/2}\frac{e^{-R}}{1-e^{-3R}}\to 0(R\to \mathrm{\infty })$$
とわかる．
　$C_3$については，
$${\int }_R^{-R}\frac{e^{(i\lambda +1)(x+2\pi i/3)}}{1+e^{3(x+2\pi i/3)}}dx=-e^{(2\pi i/3)(i\lambda +1)}{\int }_{-R}^R\frac{e^{(i\lambda +1)}}{1+e^{3x}}dx$$
となってくれる！（こうなってくれるので${\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$を通るように積分路を考えた．）
　さて，留数を求める．
$$\text{Res}(f(z),z={\displaystyle \frac{\pi }{3}}i)=-e^{(\pi i/3)(i\lambda +1)}\frac{1}{3}$$
となるので，
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{(i\lambda +1)}}{1+e^{3x}}dx=\frac{2\pi i{e}^{(\pi i/3)(i\lambda +1)}}{3(e^{(2\pi i/3)(i\lambda +1)}-1)}$$

　これの実部を求めればよい．分子を簡単にすると，
$$2\pi e^{-\lambda \pi /3}(-\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+i\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}).$$
分母を簡単にすると，
$$3\{(e^{-(2\pi \lambda /3)}\cos \frac{2\pi }{3}-1)+i{e}^{-(2\pi \lambda /3)}\sin \frac{2\pi }{3}\}$$
よって，
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\cos \left(\lambda x\right)\frac{e^x}{1+e^{3x}}dx=\frac{4\pi (e^{-\pi \lambda }+e^{-\lambda \pi /3})}{\sqrt{3}\{(e^{-(2\pi \lambda /3)}+2{)}^2+3e^{-(4\pi \lambda /3)}\}}$$
となる．計算がエグイです．