東大数理院試2005年度専門問1解答
東大数理の院試（2005年度専門問1）の解答です．
自分が作った解答は
ここ
に置いてあります．過去にここに公開した解答のまとめも置いてありますが，こちらでも気が向いた時に投稿しようと思います．
$p$を奇素数とし，$GL_2(\FF_p)$を$p$元体$\FF_p$の元を成分に持つ可逆な$2 \times 2$行列全体のなす群とする．$M \in GL_2(\FF_p)$について，行列式$\det M$が乗法群$\FF_p^\times$の生成元ならば，$M$の位数は$p$と素であることを示せ．
対偶を示す．$M$の位数が$p$の倍数であるとする．$M$のJordan標準形は$\begin{psmallmatrix}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{psmallmatrix},
\begin{psmallmatrix}
\alpha & 1 \\
0 & \alpha
\end{psmallmatrix}$のいずれかである．$M$の固有多項式は$\FF_p$係数$2$次多項式なので$\alpha, \beta \in \FF_{p^2} \setminus \{ 0\}$である．
$\begin{psmallmatrix}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{psmallmatrix}$とすると$\alpha + \beta = \tr M \in \FF_p$なので，$\alpha, \beta \in \FF_p$であるか$\alpha, \beta \in \FF_{p^2} \setminus \FF_p$である．前者の場合は$M$の位数は$p - 1$の約数となり矛盾．後者の場合も$M$の位数は$p^2 - 1$の約数となり矛盾．
よって$M$の Jordan 標準形は$\begin{psmallmatrix}
\alpha & 1 \\
0 & \alpha
\end{psmallmatrix}$である．$2\alpha = \tr M \in \FF_p$と$p$が奇数であることから$\alpha \in \FF_p$なので，
$$(\det M)^{(p - 1) / 2}
= (\alpha^2)^{(p - 1) / 2}
= \alpha^{p - 1}
= 1.$$
従って$\det M$は$\FF_p^\times \cong \ZZ / (p - 1)\ZZ$の生成元ではない．
