東大数理院試2005年度専門問1解答

対偶を示す．$M$の位数が$p$の倍数であるとする．$M$のJordan標準形は$\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \beta \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}\alpha & 1\\ 0& \alpha \end{array}\right)$のいずれかである．$M$の固有多項式は${\mathbb{F}}_p$係数$2$次多項式なので$\alpha ,\beta \in {\mathbb{F}}_{p^2}\setminus \{0\}$である．
$\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \beta \end{array}\right)$とすると$\alpha +\beta =\mathrm{tr}M\in {\mathbb{F}}_p$なので，$\alpha ,\beta \in {\mathbb{F}}_p$であるか$\alpha ,\beta \in {\mathbb{F}}_{p^2}\setminus {\mathbb{F}}_p$である．前者の場合は$M$の位数は$p-1$の約数となり矛盾．後者の場合も$M$の位数は$p^2-1$の約数となり矛盾．
よって$M$の Jordan 標準形は$\left(\begin{array}{cc}\alpha & 1\\ 0& \alpha \end{array}\right)$である．$2\alpha =\mathrm{tr}M\in {\mathbb{F}}_p$と$p$が奇数であることから$\alpha \in {\mathbb{F}}_p$なので，
$$(\det M{)}^{(p-1)/2}=({\alpha }^2{)}^{(p-1)/2}={\alpha }^{p-1}=1.$$
従って$\det M$は${\mathbb{F}}_p^{\times }\cong \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$の生成元ではない．