数学構成論第一部(5)

1. $x \in X$をとる.$x = x$であるため, $\neg(x < x)$が成り立つ.
2. $x, y \in X$をとり, $x < y$と仮定する.
   もし$y < x$とすれば, $x \le y \land y \le x$から$x = y$が導けるが, これは$x < y$に矛盾し, $\neg(y < x)$が導ける.
   よって, $x < y \Rightarrow \neg(y < x)$が成り立つ.
3. $x, y, z \in X$をとり, $x < y \land y < z$と仮定する.$\le$の推移律により, $x \le z$である.$x = z$と仮定すると$x < y \land y < x$となり(2)により$\bot$が導かれ, $\neg I$により$x \neq z$となり, $x < z$が導ける.
   よって, $(x < y \land y < z) \Rightarrow x < z$が成り立つ.
4. $(\Rightarrow)$
   $x, y \in X$が$x \le y$をみたすと仮定する.
   このとき, $x = y$であれば$\neg(x < y) \land (x = y)$が成り立ち, $x \neq y$であれば$(x < y) \land (x \neq y)$が成り立つ.
   排中律$(x = y) \vee (x \neq y)$により$(x < y \land x \neq y) \vee (\neg(x < y) \land (x = y))$が成り立つ.
   $(\Leftarrow)$
   $x, y \in X$が$(x < y \land x \neq y) \vee (\neg(x < y) \land x = y)$をみたすと仮定する.
   $x < y \land (x \neq y)$のとき, 定義から$x \le y$がいえる.
   $\neg(x < y) \land (x = y)$のとき, 反射律から$x \le y$が成り立つ.
5. $x, y \in X$をとる.$\le$の全順序律より$x \le y \vee y \le x$が成り立つ.
   (4)から, $(x < y \land (x \neq y)) \vee (\neg(x < y) \land (x = y)) \vee (y < x \land (y \neq x)) \vee (\neg(y < x) \land (y = x))$
   $(\neg(x < y) \land (x = y)) \Leftrightarrow (x = y) \Leftrightarrow (\neg(y < x) \land (y = x))$である.
   (1)(2)より三項は排他的.
   よって, $(x < y \land (x \neq y) \land \neg(y < x)) \vee (\neg(x < y) \land (x = y) \land \neg(y < x)) \vee (\neg(x < y) \land (x = y) \land y < x)$が成り立つ.

1. $a, b \in A$が$\min A$の条件を満たすと仮定する.
   このとき, $a \le b \land b \le a$が成り立ち, $a = b$がいえる.
2. $a, b \in A$が$\max A$の条件を満たすと仮定する.
   このとき, $a \le b \land b \le a$が成り立ち, $a = b$がいえる.

$\{x\}$に正則性公理を適用すると, $x \cap \{x\} = \varnothing$が導ける.
よって, $x \notin x$が成り立つ.

1. $R = \{z \in x \mid z \in y\}$とおき, $y \in x$と仮定する.
   $z \in y$とする.$x$は順序数なので推移的集合であり, $z \in x$が成り立つ.
   よって$z \in R$となり, $y \subset R$が成り立つ.
   $z \in R$とすると$z \in y$となるので, $R \subset y$が成り立つ.
2. $y \in x, z \in y, a \in z$をとる.
   $x$は順序数であるから推移的集合であり, $y \subset x$が成り立つ.$z \in y$から$z \in x$が従う.
   $z \in x$から$z \subset x$が成り立つ.$a \in z$から$a \in x$が従う.
   ゆえに, $a, z, y \in x$であり, $a \in z, z \in y$であるから, $\in$の推移律により$a \in y$が成り立つ.
   よって, $z \subset y$が成り立ち, $y$は推移的集合.
   $y \subset x$により, 全順序集合としての$(y, \subset)$が得られ, $\in$が$\subset$の狭義全順序となる.
   $\varnothing \neq S \subset y$をとると, $y \subset x$により$\varnothing \neq S \subset x$であるから$\min S$が存在する.
   ゆえに, $(y, \subset)$は整列集合.
   よって, $y$は順序数.

$s = \bigcap_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}$とおく.
$x \in s$と仮定する.このとき$\bigcap$の定義から$\forall \mu \in \Lambda [x \in A_{\mu}]$が成り立つので, その$\mu$をひとつとる.
$A_{\mu}$は順序数であるから推移的集合であり, $x \subset A_{\mu}$が成り立つ.
$\subset$の推移律により, $x \subset s$が成り立つ.
ゆえに$s$は推移的集合.
$x, y \in s$とすると$\forall \mu \in \Lambda [x, y \in A_{\mu}]$が成り立つので, その$\mu$をひとつとる.
このとき, $A_{\mu}$は順序数なので, $x \in y \Leftrightarrow x \subset y \land x \neq y$が成り立つ.
また, $\varnothing \neq S \subset s$をとると$S \subset A_{\mu}$であるから$\min S$が存在する.
よって, $\bigcap_{\lambda \in \Lambda}$は順序数.

$x \notin x, y \notin y$により$=$と$\in$は同時に成り立つことはない.
また, $x \in y \land y \in x$と仮定すると, $x \in y \subset x$により$x \in x$が導かれ, 矛盾.ゆえに上記は同時に成り立つことはない.
$z = x \cap y$とおくと, 補題により$z$は順序数となる.
定義より$z \subset x, z \subset y$が成り立つ.
$x \neq z, y \neq z$と仮定すると, 上記とあわせて$z \in x, z \in y$が成り立つ.
このとき, $z \in z$となり矛盾.ゆえに$x = z \vee y = z$が成り立つ.
$x = z$のとき, $x = x \cap y$となる.
$\forall a [a \in x \Leftrightarrow a \in x \land a \in y]$から$\forall a \in x [a \in y]$がいえ, $x \subset y$が成り立つ.
このとき, $x \in y \vee x = y$が成り立つ.上記よりいずれか一方のみが成り立つ.
$y = z$のとき$y = x \cap y$となる.
$\forall a [a \in y \Leftrightarrow a \in x \land a \in y]$から$\forall a \in y [a \in x]$がいえ, $y \subset x$が成り立つ.
このとき, $y \in x \vee x = y$が成り立つ.上記よりいずれか一方のみが成り立つ.
どちらの場合も命題が成り立つ.

(順序数性)
$s = \bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}$とおく.
$x \in s$と仮定する.このとき$\bigcup$の定義から$\exists \mu \in \Lambda [x \in A_{\mu}]$が成り立つので, その$\mu$をひとつとる.
$A_{\mu}$は順序数なので推移的集合であり, $x \subset A_{\mu}$が成り立つ.
定義より$A_{\mu} \subset s$であるから, $\subset$の推移律より$x \subset s$が成り立つ.
ゆえに$s$は推移的集合.
$x, y \in s$とする.このとき, $\exists\mu \in \Lambda[x \in A_{\mu}], \exists\kappa \in \Lambda[y \in A_{\kappa}]$が成り立つので, その$\mu, \kappa$をひとつとる.
三一律により, $A_{\mu} \subset A_{\kappa}$と$A_{\kappa} \subset A_{\mu}$のいずれかが成り立つ.
$A_{\mu} \subset A_{\kappa}$としても一般性を失わない.
このとき, $x, y \in A_{\kappa}$が成り立つため, $x \in y \Leftrightarrow x \subset y \land x \neq y$が成り立つ.
ゆえに, $\in$が$\subset$の狭義全順序になっている.
$\varnothing \neq S \subset s$をとる.
$x_0 \in S$をひとつとる.このとき, $\exists \mu \in \Lambda [x_0 \in A_{\mu}]$が成り立つので, その$\mu$をひとつとる.
$X = S \cap A_{\mu}$を考えると, $\varnothing \neq X \subset A_{\mu}$であるから, $l = \min X$が存在する.
$x \in S$に対し, $x \in l$と仮定する.
このとき, $l \in A_{\mu}$であり, $A_{\mu}$は順序数であり推移的集合だから$x \in A_{\mu}$がいえる.これは$l = \min X$に矛盾し, $l = \min S$が成り立つ.
ゆえに$s$は整列集合.
よって$\bigcup_{\lambda \in \Lambda}A_{\lambda}$は順序数.
(sup性)
$\forall \lambda \in \Lambda [A_{\lambda} \subset s]$であるから$s$は$\{A_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$の上界.
$\{A_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$の上界$M$をとる.
$x \in s$をとる.このとき, $\exists \mu \in \Lambda [x \in A_{\mu}]$が成り立つので, その$\mu$をひとつとる.
$M$は$\{A_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$の上界であるから, $A_{\mu} \subset M$が成り立つ.ゆえに$x \in M$となり, $s \subset M$がいえる.
よって, $s = \sup A$となる.

$A \neq \varnothing$に対し正則性公理を適用すると, $\exists l \in A [l \cap A = \varnothing]$が成り立つので, この$l$をひとつとる.
$a \in A$をとると, $a, l$は順序数であるから, 三一律により$a \in l, a = l, l \in a$のいずれかひとつだけが成り立つ.
$a \in l$と仮定すると, $a \in l \cap A$となり矛盾する.
よって, $l = \min A$となる.

$X$は推移的集合であり, $\forall x \in X [x:\text{順序数}]$であると仮定する.
三一律により, $\subset$が全順序, $\in$が$\subset$の狭義全順序となる.
$\varnothing \neq S \subset X$をとると$S$は順序数の族であるから, 命題により$\min S$が存在する.
ゆえに$X$は整列集合.
よって, $X$は順序数.

$a \in \text{suc}(x)$をとる.このとき, $a \in x \vee a = x$が成り立つ.
$a \in x$のとき, $x$は順序数なので推移的集合であり, $a \subset x$が成り立つ.
$a = x$のとき, 定義より$a \subset x$が成り立ち, つくりかたから$x \subset \text{suc}(x)$がわかるので, $a \subset \text{suc}(x)$が成り立つ.($\subset$の推移律は$\Rightarrow$の推移律により成り立つ.)
ゆえに$\text{suc}(x)$は推移的集合.
$x$は順序数なので$(x, \subset)$が全順序集合となる.$x$は推移的集合なので$\forall a \in \text{suc}(x) [a \subset x]$が成り立つ.
ゆえに$(\text{suc}(x), \subset)$は全順序集合.
また, $\forall S \subset \text{suc}(x)$, $S \neq \varnothing$に対し,
$S \subset x$をみたすとき, $\exists l \in S [l = \min S]$が成り立つ.
$\neg(S \subset x)$をみたすとき, $x \in S$となる.
$S = \{x\}$のとき, 定義より$x = \min S$となる.
$S \neq \{x\}$のとき, $S' = S \setminus \{x\}$を考えると, $S' \neq \varnothing$となり, $S \subset \text{suc}(x)$から$S' \subset x$となる.
$x$は整列集合なので$l = \min S'$をとれる.
$l \in \text{suc}(x) \land l \neq x$であるから$l \in x$が成り立ち, $x$は推移的集合なので$l \subset x$が成り立つため, $l = \min S$となる.
ゆえに$\text{suc}(x)$は整列集合.
よって, $\text{suc}(x)$は順序数.

$\forall x \in \alpha \forall y \in x [\psi(y) \Rightarrow \psi(x)]$とし, $\exists z \in \alpha [\neg\psi(z)]$と仮定する.
$S = \{\beta \in \alpha \mid \neg\psi(\beta)\}$とおく.
仮定より$S \neq \varnothing$であり, $S \subset \alpha$であるから$s_0 = \min S$が存在する.
最小元の定義より,$\forall \zeta \in \alpha [(\zeta \subset s_0 \land \zeta \neq s_0) \Rightarrow \zeta \in S]$である.
$\zeta \in s_0 \Leftrightarrow (\zeta \subset s_0 \land \zeta \neq s_0)$から, $\forall \zeta \in s_0 [\psi(\zeta)]$が成り立つ.
ゆえに$\psi(s_0)$となるが, これは$\neg\psi(s_0)$に矛盾する.
よって, $\forall z\in \alpha [\psi(z)]$が成り立つ.