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二重指数(フェルマー数)が入った級数の和

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問題

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{2^{2^n}+1}=\frac{1}{2+1}+\frac{2}{2^2+1}+\frac{4}{2^4+1}+\cdots=?$$

どーなるでしょーか?
この級数は分母がフェルマー数(二重指数)でめっちゃ収束が速いので、最初の数項を計算すれば収束値は予測できるのですが、ちゃんとその値に収束することを示せますか?

解説: https://mathlog.info/articles/UzVYml6YLGyjdo68VtxI

投稿日:20231216
更新日:20231216

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furumichi
furumichi
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数学科でもないしロクな大学受かったわけでもないしガッコーのお勉強なんかむしろサボりまくってるけれどちょっと面白い話がしたかっただけの一般人です。

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