二重指数(フェルマー数)が入った級数の和

問題

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{2^{2^n}+1}=\frac{1}{2+1}+\frac{2}{2^2+1}+\frac{4}{2^4+1}+\cdots=?$$

どーなるでしょーか？
この級数は分母がフェルマー数(二重指数)でめっちゃ収束が速いので、最初の数項を計算すれば収束値は予測できるのですが、ちゃんとその値に収束することを示せますか？

投稿日：2023年12月16日

更新日：2023年12月16日

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数学科でもないしロクな大学受かったわけでもないしガッコーのお勉強なんかむしろサボりまくってるけれどちょっと面白い話がしたかっただけの一般人です。

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