付値環と加法付値は同じものの2つの側面であるとみなせる

可換環論,代数学,付値

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以下環といえば, 単位元をもつ可換環とします.

付値環と加法付値

付値環

整域 $R$ が付値環であるとは, その商体 $K$ の各元 $x$ について
$x \notin R ⟹ x^{- 1} \in R$
が成り立つことをいう. このとき $R$ を $K$ の付値環ともいう.

$Z$ の素イデアル $2 Z$ による局所化 $Z_{2 Z}$ は付値環です. 実際, $Z_{2 Z}$ の商体は有理数体 $Q$ であり, 既約分数 $a / b$ が $Z_{2 Z}$ の元でないならば $b$ は偶数ですから $a$ は奇数, したがって $(a / b)^{- 1} = b / a \in Z_{2 Z}$ です.

付値環の $R$ のイデアルの集合は全順序集合です. すなわち, 次が成り立ちます.

$I, J$ が付値環 $R$ のイデアルならば $I \subseteq J$ または $J \subseteq I$ が成り立つ.

$x \in I, x \notin J$ とすると, 任意の $0 \neq y \in J$ について $x / y \in R$ ではありえないから $y / x \in R$ , したがって $y \in I$ .

付値環は局所環である.

加法付値

全順序群

群 $G$ と $G$ 上の順序関係 $\leq$ の組 $(G, \leq)$ が全順序群であるとは, $G$ 上の全順序 $\leq$ であって, 任意の $x, y, z \in G$ に対し $x \leq y$ ならば $x + z \leq y + z$ かつ $z + x \leq z + y$ が成り立つものが存在することをいう.

加法付値

$K$ を体, $H$ を全順序Abel群, $\infty$ を $H$ のどの元よりも大きい定数とする, $K$ から $H \cup {\infty}$ への写像 $v$ が次の条件をすべてみたすとき, $v を K$ の加法付値という :
(1) $v (x y) = v (x) + v (y)$ ,
(2) $v (x + y) \geq min {v (x), v (y)}$ ,
(3) $v (x) = \infty ⟺ x = 0$ .

$K$ の乗法群を $K^{\times}$ とすると, 上の $v$ は $K^{\times}$ から $H$ への群準同型写像を定めます. この像を $v$ の値群といいます.

$K, v$ を定義3と同様とする. $R_{v} = {x \in K ∣ v (x) \geq 0}$ とするとこれは付値環であり, その極大イデアルは $m_{v} = {x \in K ∣ v (x) > 0}$ である. $R_{v}$ を $v$ の付値環, $m_{v}$ の付値イデアルという.

$v (x) = - v (x^{- 1})$ であることに注意すれば容易にわかります.

付値環と加法付値の関係

付値環と加法付値の定義などを確認しました. 命題2から, この2つには関係がありそうです. 実際, 次が成り立ちます.

$R$ を付値環, $K$ をその商体とする. $H, H^{'}$ を値群とする $K$ の2つの加法付値 $v, v^{'}$ がともに $R$ を付値環としてもてば, $H$ から $H^{'}$ の上への順序を保つ同型写像 $φ$ があって $v^{'} = φ \circ v$ が成り立つ.

$v_{*} = v |_{K^{*}}, v_{*}^{'} = v^{'} |_{K^{*}}$ とし, $N = Ker v_{*}, N^{'} = Ker v_{*}^{'}$ とおく. $R$ の極大イデアルを $m$ とすると $R = {x \in K ∣ v (x) \geq 0}, m = {x \in K ∣ v (x) > 0}$ だから $N = U (R)$ である. 同様に $N^{'} = U (R)$ . したがって準同型定理により $H ≃ K^{\times} / N = K^{\times} / N^{'} ≃ H^{'}$ であり, $K^{\times} / N \tilde{\to} H, K^{\times} / N^{'} \tilde{\to} H^{'}$ はそれぞれ $a + N \mapsto v_{*} (a), a + N^{'} \mapsto v_{*}^{'} (a)$ で与えられるから, $g \circ f^{- 1}$ は $H$ から $H^{'}$ への同型写像である. $φ = g \circ f^{- 1}$ とし, これが定理の条件をみたすことを示す. $v^{'} = φ \circ v$ であることは次の図式からわかる :
$K^{\times} / N f K^{\times} / N^{'} g K^{\times} v_{*}^{'} v_{*} ↺ ↺ H φ = g \circ f^{- 1} H^{'}$
$φ$ が順序を保つ, すなわち $x \leq y ⟺ φ (x) \leq φ (y)$ が成り立つことを示すには $0 \leq x ⟺ 0 \leq φ (x)$ が成り立つことを示せば十分である. $x \in H, x \geq 0$ とする. このとき $v (a) = x$ となる $a \in R$ が存在し, $v^{'}$ は $R$ を付値環としてもつから $v^{'} (a) =\geq 0$ , よって $φ (x) = v^{'} (a) \geq 0$ である. 逆向きの矢印も同様にして示せる.