超限帰納法による Hahn の分解定理の証明

$f \colon \omega_1 \to \mathbb{R}\cup\{\infty\}$が単調かつ単射であるとする．任意の可算順序数$\alpha$に対し，$(f(\alpha),f(\alpha+1))$は$\mathbb{R}$の空でない開集合であり，これらは互いに素であるが，これは$\mathbb{R}$が第二可算であることに矛盾する．

可算順序数$\alpha$に対し，正集合$P_\alpha$を以下のように超限帰納法により定める:

1. $P_0=\emptyset$．
2. $\alpha$が後続順序数$\beta+1$である場合，正集合$P$で$\mu(P)>0, P \cap P_\beta = \emptyset$なるものが存在するならばそのうち任意に$1$つとり$P_\alpha = P_\beta \cup P$とする．このとき$P_\alpha$は$2$つの正集合の和集合より正集合である．存在しないならば$P_\alpha = P_\beta$とする．
3. $\alpha$が極限順序数である場合，$P_\alpha = \bigcup_{\beta < \alpha}P_\beta$とする．$\alpha$は可算なので，$P_\alpha$は可算個の正集合の和集合より正集合である．

$f \colon \omega_1 \to \mathbb{R} \cup \{\infty\}$を$f(\alpha) = \mu(P_\alpha)$と定めると，定義より$f$は単調であるから，補題 1 より$f$は単射でない．特に，$P_\alpha = P_{\alpha+1}$なる可算順序数$\alpha$が存在する．$P := P_\alpha$とおくと$P$は正集合である．

$N := X \setminus P$とおく．$N$が負集合であることを示せばよい．任意の$E \in \mathcal{B}, E \subseteq N$をとり，$\mu(E) > 0$であると仮定して矛盾を導く．

可算順序数$\alpha$に対し，$E$の部分集合$E_\alpha$で$E_\alpha \in \mathcal{B},\mu(E_\alpha) \leq 0$なるものを以下のように超限帰納法により定める:

1. $E_0=\emptyset$．
2. $\alpha$が後続順序数$\beta+1$である場合，$\mu(E \setminus E_\beta) = \mu(E) - \mu(E_\beta) > 0$であり，$(E \setminus E_\beta) \cap P = \emptyset$なので$E \setminus E_\beta$は正集合でない．よって，部分集合$F \subseteq E \setminus E_\beta$で$F \in \mathcal{B}, \mu(F) < 0$なるものが存在する．そのうち任意に$1$つとり$E_\alpha = E_\beta \cup F$とおく．
3. $\alpha$が極限順序数である場合，$E_\alpha = \bigcup_{\beta < \alpha}E_\beta$とする．$\alpha$は可算より，$\alpha$より小さい順序数の単調増大列$(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$で$\sup_n \alpha_n = \alpha$なるものがとれ，このとき$E_\alpha = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}E_{\alpha_n}$より$E_\alpha \in \mathcal{B}, \mu(E_\alpha) = \lim_{n \to \infty} \mu(E_{\alpha_n}) \leq 0$．

$g \colon \omega_1 \to \mathbb{R}$を$g(\alpha) = -\mu(E_\alpha)$と定めると，定義より$g$は単調であり，任意の可算順序数$\alpha$に対し$g(\alpha) < g(\alpha+1)$であるから$g$は単射である．これは補題 1 に矛盾する．