東大数理院試1977年度専門問102解答

東大数理の院試（1977年度専門問102）の解答です．
自分が作った解答はここに置いてあります．

（東大数理1977年専門問102）

次の表の空白部分を補って，それを指標表とする有限群 $G$ が存在するかどうかを調べ，存在すればそれを生成元と基本関係で表わせ．ただし $C_{n} (1 \leq n \leq 5)$ は $G$ の全ての相異なる共役類で $C_{1}$ は単位元の類，
$χ_{n} (1 \leq n \leq 5)$ は $G$ の既約複素指標とし， $i = \sqrt{- 1}$ である．
$\begin{array}{cccccc} C_{1} & C_{2} & C_{3} & C_{4} & C_{5} \\ χ_{1} \\ χ_{2} & 1 & i \\ χ_{3} \\ χ_{4} \\ χ_{5} \end{array}$

表の上から $i$ 行目，左から $j$ 列目の数字を $a_{i j}$ とする．（すなわち $a_{21} = 1, a_{22} = i .$ ） $χ_{1}$ は単位指標として良いから $a_{1 j} = 1.$ また $C_{2}$ の代表元を $x$ とすると， $a_{21} = 1$ より $χ_{2}$ は $1$ 次表現であり， $χ_{2} (x) = i$ より $x^{4} = 1.$ よって $x$ の位数は $4$ なので $x^{2} \in C_{3}, x^{3} \in C_{4}$ として良い．この時 $a_{2 j} = χ_{2} (x^{j}) = i^{j} (j = 2, 3, 4)$ である． $| C_{2} | = | C_{3} | = | C_{4} | = d_{1}, | C_{5} | = d_{2}$ とおく． $(χ_{1}, χ_{1}) = (χ_{2}, χ_{2})$ より $1 + 3 d_{1} + d_{2} = 1 + 3 d_{1} + d_{2} | a_{25} |^{2}$ なので $| a_{25} | = 1.$ また $(χ_{1}, χ_{2}) = 0$ より $1 - d_{1} + a_{25} d_{2} = 0.$ これと $d_{1}, d_{2} \in N$ より $a_{25} = \pm 1.$ もし $a_{25} = - 1$ なら $d_{1} + d_{2} = 1$ となって不適．よって $a_{25} = 1, d_{2} = d_{1} - 1.$ $χ_{2}$ は $1$ 次表現ゆえ $\overset{―}{χ_{2}}, χ_{2}^{2}$ も $G$ の $1$ 次表現だから，それを $χ_{3}, χ_{4}$ とする． $d = d_{1}, a = a_{51}$ とおく．指標の第 $2$ 直交関係から $a_{52} = a_{53} = a_{54} = 0, a_{55} = - 4 / a$ である．また $N ∋ \frac{| G |}{| C_{5} |} = 4 + \frac{4}{d - 1}$ より $d$ は $2, 3, 5$ のいずれかであるが， $| G |$ を $2$ 通りに数えると $4 d = 4 + a^{2}$ となるから $d = 3$ は不適． $y \in C_{5}$ を取り， $H = ⟨ x | x ⟩, K = ⟨ y | y ⟩$ とおく． $G$ は $x, y$ で生成される． $d = 2$ なら $| G | = 8$ より $[G : H] = 2$ だから $G ⊳ H .$ よって $y^{- 1} x y \in C_{2} \cap H = {x}$ なので $G$ はAbel群となるが，指標表のサイズは $5 < | G |$ なので矛盾．従って $d = 5$ なので $a = 4.$ 以上から $G$ の指標表は以下となる．ただし $C_{i}$ の下の数字は $| C_{i} |$ を表す．
$\begin{array}{cccccc} C_{1} & C_{2} & C_{3} & C_{4} & C_{5} \\ 1 & 5 & 5 & 5 & 4 \\ χ_{1} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ χ_{2} & 1 & i & - 1 & - i & 1 \\ χ_{3} & 1 & - i & - 1 & i & 1 \\ χ_{4} & 1 & - 1 & 1 & - 1 & 1 \\ χ_{5} & 4 & 0 & 0 & 0 & - 1 \end{array}$
$x, y$ の関係式を求める． $y^{2}$ の位数は $5$ だが， $C_{2}, C_{3}, C_{4}$ の元の位数はそれぞれ $4, 2, 4$ なので $y^{2} \in C_{5} .$ また $G = H K$ だから $x^{- j} y x^{j} = y^{2}$ となる $j$ が存在する． $j = 0$ は明らかに不適． $j = 1$ なら $x^{- 1} y x = y^{2} .$ $j = 3$ なら $x^{- 1}$ を改めて $x$ とおけば $j = 1$ の場合に帰着される． $j = 2$ なら $x^{2} y x^{2} = y^{2}$ である．ここで $G$ のSylow $5$ -部分群の個数を $n$ とすると，Sylowの定理より $n \equiv 1 mod 5, n ∣ 20$ だから $n = 1.$ よって $G ⊳ K$ なので $σ : H \to Aut (K)$ が存在して $G = K ⋊_{σ} H$ となる． $σ : x \mapsto (y \mapsto y^{m})$ とすると $x^{2} y x^{2} = y^{m^{2}} x^{4} = y^{m^{2}}$ となるから $m^{2} \equiv 2 mod 5.$ これは矛盾．以上から
$G = ⟨ x, y | x^{4} = y^{5} = 1, x^{- 1} y x = y^{2} | x, y | x^{4} = y^{5} = 1, x^{- 1} y x = y^{2} ⟩ .$