東大数理院試1977年度専門問102解答

表の上から$i$行目，左から$j$列目の数字を$a_{ij}$とする．（すなわち$a_{21} = 1, a_{22} = i.$）$\chi_1$は単位指標として良いから$a_{1j} = 1.$また$C_2$の代表元を$x$とすると，$a_{21} = 1$より$\chi_2$は$1$次表現であり，$\chi_2(x) = i$より$x^4 = 1.$よって$x$の位数は$4$なので$x^2 \in C_3, x^3 \in C_4$として良い．この時$a_{2j} = \chi_2(x^j) = i^j \, (j = 2, 3, 4)$である．$|C_2| = |C_3| = |C_4| = d_1, |C_5| = d_2$とおく．$(\chi_1, \chi_1) = (\chi_2, \chi_2)$より$1 + 3d_1 + d_2 = 1 + 3d_1 + d_2 |a_{25}|^2$なので$|a_{25}| = 1.$また$(\chi_1, \chi_2) = 0$より$1 - d_1 + a_{25}d_2 = 0.$これと$d_1, d_2 \in \NN$より$a_{25} = \pm 1.$もし$a_{25} = -1$なら$d_1 + d_2 = 1$となって不適．よって$a_{25} = 1, d_2 = d_1 - 1.$$\chi_2$は$1$次表現ゆえ$\overline{\chi_2}, \chi_2^2$も$G$の$1$次表現だから，それを$\chi_3, \chi_4$とする．$d = d_1, a = a_{51}$とおく．指標の第$2$直交関係から$a_{52} = a_{53} = a_{54} = 0, a_{55} = -4 / a$である．また$\NN \ni \frac{|G|}{|C_5|} = 4 + \frac{4}{d - 1}$より$d$は$2, 3, 5$のいずれかであるが，$|G|$を$2$通りに数えると$4d = 4 + a^2$となるから$d = 3$は不適．$y \in C_5$を取り，$H = \braket{x}, K = \braket{y}$とおく．$G$は$x, y$で生成される．$d = 2$なら$|G| = 8$より$[G : H] = 2$だから$G \rhd H.$よって$y^{-1}xy \in C_2 \cap H = \{ x\}$なので$G$はAbel群となるが，指標表のサイズは$5 < |G|$なので矛盾．従って$d = 5$なので$a = 4.$以上から$G$の指標表は以下となる．ただし$C_i$の下の数字は$|C_i|$を表す．
$$ \begin{array}{c|ccccc} & C_1 & C_2 & C_3 & C_4 & C_5 \\ & 1 & 5 & 5 & 5 & 4 \\ \hline \chi_1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \chi_2 & 1 & i & -1 & -i & 1 \\ \chi_3 & 1 & -i & -1 & i & 1 \\ \chi_4 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ \chi_5 & 4 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array} $$
$x, y$の関係式を求める．$y^2$の位数は$5$だが，$C_2, C_3, C_4$の元の位数はそれぞれ$4, 2, 4$なので$y^2 \in C_5.$また$G = HK$だから$x^{-j} yx^j = y^2$となる$j$が存在する．$j = 0$は明らかに不適．$j = 1$なら$x^{-1} yx = y^2.$$j = 3$なら$x^{-1}$を改めて$x$とおけば$j = 1$の場合に帰着される．$j = 2$なら$x^2 yx^2 = y^2$である．ここで$G$のSylow$5$-部分群の個数を$n$とすると，Sylowの定理より$n \equiv 1 \bmod 5, n \mid 20$だから$n = 1.$よって$G \rhd K$なので$\sigma : H \to \Aut(K)$が存在して$G = K \rtimes_\sigma H$となる．$\sigma : x \mapsto (y \mapsto y^m)$とすると$x^2 yx^2 = y^{m^2} x^4 = y^{m^2}$となるから$m^2 \equiv 2 \bmod 5.$これは矛盾．以上から
$$ G = \braket{x, y \, | \, x^4 = y^5 = 1, x^{-1}yx = y^2}. $$