ルベーグ積分(テレンス・タオ) 第0章

各$n \in \mathbb{N}$について, $A_n := \{\alpha \in A: x_\alpha \geq 1/n \}$と定義する. $n$を任意に固定し, $F$を$A_n$の任意の部分集合とする. このとき, $M \geq \sum_{\alpha \in F} x_\alpha \geq \frac{\#F}{n}$なので, $\#F \leq nM$. $F$の任意性より, $\# A_n \leq nM$であり, 特に$ A_n$は有限集合である. よって, $A' = \bigcup_{n=1}^\infty A_n$ は高々可算である.

対称性があるので, 1つ目の等号さえ示せばよい. まず, $\sum_{(n,m) \in A \times B} x_{n,m} \leq \sum_{n \in A}\sum_{m \in B}x_{n,m}$を示す. $F$を任意の$A \times B$の有限部分集合とする. $F$の$A$, $B$への射影をそれぞれ$F_A$, $F_B$とする:
\begin{align} F_A &= \{n\in A: (n,m) \in F \ \text{for some}\ m \in B \},\\ F_B &= \{m\in B: (n,m) \in F \ \text{for some}\ n \in A \}. \end{align}
$F_A \subset A$と$F_B \subset B$はそれぞれ有限集合であり, $F \subset F_A \times F_B$である. したがって,
$$\sum_{(n,m) \in F} x_{n,m} \leq\sum_{(n,m) \in F_A \times F_B} x_{n,m} = \sum_{n \in F_A}\sum_{m \in F_B}x_{n,m} \leq \sum_{n \in A}\sum_{m \in B}x_{n,m}$$
よって, $F$が任意であることから, 両辺の$\sup$を取って, 示したい不等式が得られる.

次に逆向きの不等式: $\sum_{n \in A}\sum_{m \in B}x_{n,m} \leq \sum_{(n,m) \in A \times B} x_{n,m}$を示す. 定義より,
$$\forall F: \text{有限集合}, \sum_{n \in F}\sum_{m \in B}x_{n,m} \leq \sum_{(n,m) \in A \times B} x_{n,m}$$
を示せばよい. この式に関して$F$について$\sup$を取ることで, 示すべき不等式が得られることに注意する. 以下, 有限集合$F$を任意に固定する. まず, ある$n_0\in F$で, $\sum_{m \in B}x_{n_0,m}= \infty$と仮定すると, $\{(n_0,m): m \in B \} \subset A \times B$であるので, $\sum_{m \in B}x_{n_0,m} \leq \sum_{(n,m) \in A \times B} x_{n,m}$となり, $\sum_{(n,m) \in A \times B} x_{n,m} = \infty$が分かる. したがって、示すべき不等式は自動的に成立する. よって以下では, $\sum_{m \in B}x_{n,m}<\infty$がすべての$n \in F$で成立することを仮定してよい. このとき, 演習0.0.1の結果より, 可算個の$B$の元を除いて, $x_{n,m}=0$となるので, $B = \mathbb{N}$としてよい. つまり,
$$\sum_{n \in F}\sum_{m=1}^\infty x_{n,m} \leq \sum_{(n,m) \in A \times B} x_{n,m}$$
を示せばよい. この左辺は, $\sum_{n \in F}\sum_{m=1}^M x_{n,m}$の$M \rightarrow \infty$極限であるので($F$が有限であることに注意!), 任意の$M \in \mathbb{N}$について, $\sum_{n \in F}\sum_{m=1}^M x_{n,m} \leq \sum_{(n,m) \in A \times B} x_{n,m}$を示せばよい. $F \times \{1, \dots M\} \in A \times B$は有限集合なので, この不等号は成立する.