(1/2)_n/n!付きの多重級数の関係式

インデックス$(k_1,\ldots,k_r)\in(\mathbb{Z}_{>0})^r$のいくつかの成分に、ドット$\cdot$をつけて、「ドット付きのインデックス」と呼ぶことにする。例えば$(k_1,\ldots,\dot{k_i},\ldots,k_r)$(すべての成分にドットをつけても良い。)
以降、$\mathring{k}$で$k$または$\dot{k}$を表すことにして、ドット付きのインデックスの成分を$(\mathring{k}_1,\ldots,\mathring{k}_r)$と書く。

ドット付きのインデックス$\boldsymbol{k}=(\mathring{k}_1,\ldots,\mathring{k}_r)$に対して、矢印記号を次のように定める
$$\boldsymbol{k}_{\rightarrow}:=(\mathring{k}_1,\ldots,\mathring{k}_r,1) $$
$$\boldsymbol{k}_{\uparrow}:=(\mathring{k}_1,\ldots,\mathring{k_r+1}) $$
$$\boldsymbol{k}_{\dot{\rightarrow}}:=(\mathring{k}_1,\ldots,\mathring{k}_r,\dot{1}) $$
空インデックス$\varnothing$については
$$\varnothing_{\rightarrow}:=(1)$$
$$\varnothing_{\dot{\rightarrow}}:=(\dot{1})$$
矢印を$a$回作用させることを
$${\rightarrow^a},{\uparrow^a},{\dot{\rightarrow}^a}$$
のようにあらわす

インデックス$(k_1,\ldots,k_r)\in(\mathbb{Z}_{>0})^r$に対して、多重級数$\varsigma(k_1,\ldots,k_r)$を次のように定める。
$$\varsigma(k_1,\ldots,k_r)=\sum_{0=n_0\leq n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{1}{(n_1+\frac{1}{2})^{k_1}\cdots(n_r+\frac{1}{2})^{k_r}}\frac{\binom{2n_r}{n_r}}{2^{2n_r}}$$
また、ドット付きのインデックス$(k_1,\ldots,\dot{k_i},\ldots,k_r)$に対しては次のように定める。
$$\varsigma(k_1,\ldots,\dot{k_i},\ldots,k_r)= \sum_{0=n_0\leq n_1\leq\cdots\leq n_{i-1}< n_i\leq \cdots\leq n_r} \frac{1}{(n_1+\frac{1}{2})^{k_1}\cdots(n_{i-1}+\frac{1}{2})^{k_{i-1}}} \frac{1}{(n_i-\frac{1}{2})^{k_i}} \frac{1}{(n_{i+1}+\frac{1}{2})^{k_{i+1}}\cdots(n_{r}+\frac{1}{2})^{k_{r}}}\frac{\binom{2n_r}{n_r}}{2^{2n_r}} $$
ドット付きのインデックス$(\mathring{k}_1,\ldots,\mathring{k}_r)$に対応する級数表示を
$$\varsigma(\mathring{k}_1,\ldots,\mathring{k}_r)=\sum_{\boldsymbol{n}}\frac{1}{(n_1\pm\frac{1}{2})^{k_1}\cdots(n_r\pm\frac{1}{2})^{k_r}}\frac{\binom{2n_r}{n_r}}{2^{2n_r}}$$
と書くことにする

$$(a)_n:=a(a+1)\cdots(a+n-1)$$
$$C(n,m):=\frac{(\frac{1}{2})_n(\frac{1}{2})_m}{(n+m)!}$$
ドット付きのインデックス$\boldsymbol{k}=(\mathring{k}_1,\ldots,\mathring{k}_a),\boldsymbol{l}=(\mathring{l}_1,\ldots,\mathring{l}_b)$に対して、次のように連結和を定める。
$$Z(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l})=\sum_{\boldsymbol{n},\boldsymbol{m}}\frac{1}{(n_1\pm\frac{1}{2})^{k_1}\cdots(n_a\pm\frac{1}{2})^{k_a}}\frac{1}{(m_1\pm\frac{1}{2})^{l_1}\cdots(m_b\pm\frac{1}{2})^{l_b}}C(n_a,m_b)$$
$$Z(\boldsymbol{k};\varnothing)=\sum_{\boldsymbol{n},m_0=0}\frac{1}{(n_1\pm\frac{1}{2})^{k_1}\cdots(n_a\pm\frac{1}{2})^{k_a}}C(n_a,m_0)=\varsigma(\boldsymbol{k})$$

非負整数$a_1,\ldots a_s,b_1,\ldots b_s,c_1,\ldots c_{s}$を用いて、空でないドット付きのインデックスを$\boldsymbol{k}=\varnothing_{\dot{\rightarrow}^{c_1}{\rightarrow}^{a_1}\uparrow^{b_1}\cdots\dot{\rightarrow}^{c_s}{\rightarrow}^{a_s}\uparrow^{b_s}}$と表したとき、$\boldsymbol{k}$の双対インデックスを$\boldsymbol{k}^{\dagger}=\varnothing_{\dot{\rightarrow}^{b_s}{\rightarrow}^{a_s}\uparrow^{c_s}\cdots\dot{\rightarrow}^{b_1}{\rightarrow}^{a_1}\uparrow^{c_1}}$により定める。