(1/2)_n/n!付きの多重級数の関係式

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はじめに

少し前に考えた多重級数の関係式について書きます。主に連結和法を使って証明をしていきます。

本題

インデックス $(k_{1}, \dots, k_{r}) \in (Z_{> 0})^{r}$ のいくつかの成分に、ドット $\cdot$ をつけて、「ドット付きのインデックス」と呼ぶことにする。例えば $(k_{1}, \dots, \dot{k_{i}}, \dots, k_{r})$ (すべての成分にドットをつけても良い。)
以降、 $\overset{˚}{k}$ で $k$ または $\dot{k}$ を表すことにして、ドット付きのインデックスの成分を $({\overset{˚}{k}}_{1}, \dots, {\overset{˚}{k}}_{r})$ と書く。

(ドット付きの)インデックスの矢印表記

ドット付きのインデックス $k = ({\overset{˚}{k}}_{1}, \dots, {\overset{˚}{k}}_{r})$ に対して、矢印記号を次のように定める
$k_{\to} := ({\overset{˚}{k}}_{1}, \dots, {\overset{˚}{k}}_{r}, 1)$
$k_{↑} := ({\overset{˚}{k}}_{1}, \dots, \overset{˚}{k_{r} + 1})$
$k_{\dot{\to}} := ({\overset{˚}{k}}_{1}, \dots, {\overset{˚}{k}}_{r}, \dot{1})$
空インデックス $\emptyset$ については
$\emptyset_{\to} := (1)$
$\emptyset_{\dot{\to}} := (\dot{1})$
矢印を $a$ 回作用させることを
$\to^{a}, ↑^{a}, {\dot{\to}}^{a}$
のようにあらわす

インデックス $(k_{1}, \dots, k_{r}) \in (Z_{> 0})^{r}$ に対して、多重級数 $ς (k_{1}, \dots, k_{r})$ を次のように定める。
$ς (k_{1}, \dots, k_{r}) = \sum_{0 = n_{0} \leq n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{1}{(n_{1} + \frac{1}{2})^{k_{1}} \dots (n_{r} + \frac{1}{2})^{k_{r}}} \frac{(\binom{2 n_{r}}{n_{r}})}{2^{2 n_{r}}}$
また、ドット付きのインデックス $(k_{1}, \dots, \dot{k_{i}}, \dots, k_{r})$ に対しては次のように定める。
$ς (k_{1}, \dots, \dot{k_{i}}, \dots, k_{r}) = \sum_{0 = n_{0} \leq n_{1} \leq \dots \leq n_{i - 1} < n_{i} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{1}{(n_{1} + \frac{1}{2})^{k_{1}} \dots (n_{i - 1} + \frac{1}{2})^{k_{i - 1}}} \frac{1}{(n_{i} - \frac{1}{2})^{k_{i}}} \frac{1}{(n_{i + 1} + \frac{1}{2})^{k_{i + 1}} \dots (n_{r} + \frac{1}{2})^{k_{r}}} \frac{(\binom{2 n_{r}}{n_{r}})}{2^{2 n_{r}}}$
ドット付きのインデックス $({\overset{˚}{k}}_{1}, \dots, {\overset{˚}{k}}_{r})$ に対応する級数表示を
$ς ({\overset{˚}{k}}_{1}, \dots, {\overset{˚}{k}}_{r}) = \sum_{n} \frac{1}{(n_{1} \pm \frac{1}{2})^{k_{1}} \dots (n_{r} \pm \frac{1}{2})^{k_{r}}} \frac{(\binom{2 n_{r}}{n_{r}})}{2^{2 n_{r}}}$
と書くことにする

連結和

$(a)_{n} := a (a + 1) \dots (a + n - 1)$
$C (n, m) := \frac{(\frac{1}{2})_{n} (\frac{1}{2})_{m}}{(n + m)!}$
ドット付きのインデックス $k = ({\overset{˚}{k}}_{1}, \dots, {\overset{˚}{k}}_{a}), l = ({\overset{˚}{l}}_{1}, \dots, {\overset{˚}{l}}_{b})$ に対して、次のように連結和を定める。
$Z (k; l) = \sum_{n, m} \frac{1}{(n_{1} \pm \frac{1}{2})^{k_{1}} \dots (n_{a} \pm \frac{1}{2})^{k_{a}}} \frac{1}{(m_{1} \pm \frac{1}{2})^{l_{1}} \dots (m_{b} \pm \frac{1}{2})^{l_{b}}} C (n_{a}, m_{b})$
$Z (k; \emptyset) = \sum_{n, m_{0} = 0} \frac{1}{(n_{1} \pm \frac{1}{2})^{k_{1}} \dots (n_{a} \pm \frac{1}{2})^{k_{a}}} C (n_{a}, m_{0}) = ς (k)$

$\frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}} = \frac{(\frac{1}{2})_{n}}{n!}$ に注意すれば、 $C (n, m) = \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}} \frac{n! m!}{(n + m)!} \frac{(\binom{2 m}{m})}{2^{2 m}}$ と書くこともできる。

輸送関係式1

$k = ({\overset{˚}{k}}_{1}, \dots, {\overset{˚}{k}}_{a - 1}, k_{a})$ について
$Z (k_{↑}; l) = Z (k; l_{\dot{\to}})$

$\frac{1}{n + \frac{1}{2}} C (n, m_{0}) = \sum_{m_{0} < m} \frac{1}{m - \frac{1}{2}} C (n, m)$
を示せばよい。
$\begin{aligned} C (n, m - 1) - C (n, m) & = C (n, m) (\frac{n + m}{m - \frac{1}{2}} - 1) \\ = \frac{n + \frac{1}{2}}{m - \frac{1}{2}} C (n, m) \end{aligned}$
ここで、両辺 $m_{0} < m$ の範囲で和を取ることにより
$C (n, m_{0}) = \sum_{m_{0} < m} \frac{n + \frac{1}{2}}{m - \frac{1}{2}} C (n, m)$
$\frac{1}{n + \frac{1}{2}} C (n, m_{0}) = \sum_{m_{0} < m} \frac{1}{m - \frac{1}{2}} C (n, m) ◼$

輸送関係式2

$l = ({\overset{˚}{l}}_{1}, \dots, {\overset{˚}{l}}_{b - 1}, l_{b})$ について
$Z (k_{\dot{\to}}; l) = Z (k; l_{↑})$

$Z (k; l) = Z (l; k)$ が成り立つため、補題1において $k$ と $l$ の立場を入れ替えればよい $◼$

輸送関係式3

$k = ({\overset{˚}{k}}_{1}, \dots, {\overset{˚}{k}}_{a})$ について
$Z (k_{\to}; l) = Z (k; l_{\to})$

$\sum_{n \leq k} \frac{1}{k + \frac{1}{2}} C (k, m) = \sum_{m \leq k} \frac{1}{k + \frac{1}{2}} C (k, n)$
を示せばよい。
$f (a) := \sum_{n \leq k} \frac{1}{k + \frac{1}{2}} C (k, a)$

$\begin{aligned} f (a) - f (a + 1) & = \sum_{n \leq k} \frac{1}{k + \frac{1}{2}} (C (k, a) - C (k, a + 1)) \\ = \sum_{n \leq k} \frac{1}{k + \frac{1}{2}} \frac{C (k, a)}{k + a + 1} ((k + a + 1) - (a + \frac{1}{2})) \\ = \sum_{n \leq k} \frac{1}{k + \frac{1}{2}} \frac{C (k, a)}{k + a + 1} \frac{1}{a + \frac{1}{2}} ((a + \frac{1}{2}) (k + a + 1) - (a + \frac{1}{2})^{2}) \\ = \sum_{n \leq k} \frac{1}{k + \frac{1}{2}} \frac{C (k, a)}{k + a + 1} \frac{1}{a + \frac{1}{2}} ((k + \frac{1}{2}) (k + a + 1) - (k + \frac{1}{2})^{2}) ∵ (a + \frac{1}{2}) (k + a + 1) - (a + \frac{1}{2})^{2} = (k + \frac{1}{2}) (k + a + 1) - (k + \frac{1}{2})^{2} \\ = \frac{1}{a + \frac{1}{2}} \sum_{n \leq k} (C (k, a) - C (k + 1, a)) \\ = \frac{1}{a + \frac{1}{2}} C (n, a) (∵ lim_{k \to \infty} C (k, a) = 0) \end{aligned}$
したがって、 $m \leq a$ の範囲で和を取ることにより
$f (m) = \sum_{m \leq a} \frac{1}{a + \frac{1}{2}} C (n, a)$
$\to \sum_{n \leq k} \frac{1}{k + \frac{1}{2}} C (k, m) = \sum_{m \leq k} \frac{1}{k + \frac{1}{2}} C (k, n) ◼$

(ドット付きの)双対インデックス

非負整数 $a_{1}, \dots a_{s}, b_{1}, \dots b_{s}, c_{1}, \dots c_{s}$ を用いて、空でないドット付きのインデックスを $k = \emptyset_{{\dot{\to}}^{c_{1}} \to^{a_{1}} ↑^{b_{1}} \dots {\dot{\to}}^{c_{s}} \to^{a_{s}} ↑^{b_{s}}}$ と表したとき、 $k$ の双対インデックスを $k^{†} = \emptyset_{{\dot{\to}}^{b_{s}} \to^{a_{s}} ↑^{c_{s}} \dots {\dot{\to}}^{b_{1}} \to^{a_{1}} ↑^{c_{1}}}$ により定める。

次の定理がこの記事で最も述べたかった内容です。

双対性

矢印表記をしたときに、 $↑$ の直前が常に $\to$ または $↑$ であるようなドット付きのインデックス $k$ について、次が成立する。
$ς (k) = ς (k^{†})$

補題1,2,3の輸送関係式を適宜用いることにより
$\begin{aligned} ς (k) & = Z (k; \emptyset) \\ = Z (\emptyset_{{\dot{\to}}^{c_{1}} \to^{a_{1}} ↑^{b_{1}} \dots {\dot{\to}}^{c_{s}} \to^{a_{s}} ↑^{b_{s}}}; \emptyset) \\ = Z (\emptyset_{{\dot{\to}}^{c_{1}} \to^{a_{1}} ↑^{b_{1}} \dots {\dot{\to}}^{c_{s}} \to^{a_{s}}}; \emptyset_{{\dot{\to}}^{b_{s}}}) \\ ⋮ \\ = Z (\emptyset; \emptyset_{{\dot{\to}}^{b_{s}} \to^{a_{s}} ↑^{c_{s}} \dots {\dot{\to}}^{b_{1}} \to^{a_{1}} ↑^{c_{1}}}) \\ = Z (\emptyset; k^{†}) \\ = ς (k^{†}) \end{aligned}$

(補足)
系として、例えばこのツイートのような等式が分かります。
ツイート内容

$c_{1} = \dots = c_{s + 1} = 0$ と取ることで、 $k^{†}$ はよく知られた多重ゼータ値の意味での双対インデックスになります.

終わりに

もう少し工夫をしてやることで、 $\frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}}, \frac{2^{2 n}}{(\binom{2 n}{n})}$ が複数ついた級数についての関係式が出せると思いますが例えばこのツイート、結構複雑になりそうなので、それについて書くのはまた別の機会にしようと思います。
ここまで読んでいただきありがとうございました.