東大数理院試2025年度専門B問11解答

(1)
$n\ge 1$に対し$c_n=(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{1/2}{n})<0$だから，$t\in (0,1)$に対し
$$\sum _{n=0}^N|c_n|t^n=1-\sum _{n=1}^N{c}_n{t}^n\le 1-\sum _{n\ge 1}{c}^n{t}^n=1-(\sqrt{1-t}-1)\le 2.$$
よって$t\to 1$とした後に$N\to \mathrm{\infty }$として$\sum _{n\ge 0}|c_n|\le 2.$

(2)
$$\Vert \sum _{n>N}{c}_n{A}^n\Vert \le \sum _{n>N}|c_n|\parallel A^n\parallel \le \sum _{n>N}|c_n|\parallel A{\parallel }^n\le \sum _{n>N}|c_n|\to 0(N\to \mathrm{\infty })$$
だから示された．

(3)
$\parallel \cdot {\parallel }_{{\ell }^2}$を$\parallel \cdot \parallel$と書く．まず$\parallel (T-I)v_k\parallel \to 0$なら$\parallel B{v}_k\parallel \to 0$となることを示す．$f(1)=0$より
$$\begin{array}{}\text{(}\ast \text{)}& \parallel B{v}_k\parallel =\Vert \sum _{n\ge 0}{c}_n(T^n-I)v_k\Vert \le \sum _{n\ge 0}|c_n|\parallel (T^n-I)v_k\parallel \end{array}$$
である．$\parallel (T^n-I)v_k\parallel \le (\parallel T{\parallel }^n+1)\parallel v_k\parallel =2$と (1) より，$(\ast )$の右辺で$k\to \mathrm{\infty }$とする時 Lebesgue の収束定理が使える．$k\to \mathrm{\infty }$の時
$$\parallel (T^n-I)v_k\parallel \le \sum _{j=1}^n\parallel (T^j-T^{j-1})v_k\parallel \le \sum _{j=1}^n\parallel T{\parallel }^{j-1}\parallel (T-I)v_k\parallel =n\parallel (T-I)v_k\parallel \to 0$$
より$(\ast )$の右辺は$0$に収束するので示された．
ここで
$$v_k=(\underset{k-1}{\underbrace{0,\dots ,0}},\frac{c_k}{k},\frac{c_k}{k+1},\dots ),c_k=(\sum _{j\ge k}\frac{1}{j^2}{)}^{-1/2}$$
とおけば$\parallel v_k\parallel =1$である．また
$$\parallel (T-I)v_k{\parallel }^2=2(1-\sum _{j\ge k}\frac{c_k^2}{j(j+1)})=2(1-\frac{1}{k\sum _{j\ge k}{j}^{-2}})\to 0(k\to \mathrm{\infty })$$
だから，これが一例である．