東大数理院試2025年度専門B問11解答
東大数理の院試（2025年度専門B問11）の解答です．
自分が作った解答は
ここ
に置いてあります．
開区間$(-1, 1)$上の関数$f(t) = \sqrt{1 - t}$に対し，
$$
f(t) = \sum_{n = 0}^\infty c_n t^n
$$
を$f$の$t = 0$を中心とするテイラー展開とする．以下の問に答えよ．
$\dis{\sum_{n = 0}^\infty |c_n| < \infty}$を示せ．
$\mathcal{H}$をヒルベルト空間とする．有界線形作用素$A : \mathcal{H} \to \mathcal{H}$に対し，$\| A\| \leq 1$ならば，級数$\dis{\sum_{n = 0}^\infty c_n A^n}$は作用素ノルムに関して収束することを示せ．ただし，$\|A\|$は$A$の作用素ノルムを表す．
実数列$x = (x_i)_{i = 1}^\infty$で$\dis{\|x\|_{\ell^2}^2 = \sum_{i = 1}^\infty |x_i|^2 < \infty}$を満たすもの全体のなす実ヒルベルト空間$\ell^2$を考える．ヒルベルト空間$\ell^2$上の等長作用素$T : \ell^2 \to \ell^2$を
$$ Tx = (0, x_1, x_2, x_3, \dots) \qquad (x = (x_1, x_2, x_3, \dots) \in \ell^2) $$
で定め，$\dis{B = \sum_{n = 0}^\infty c_n T^n}$とする．$\ell^2$の単位ベクトルの列$\{ v_k\}_{k = 1}^\infty$で
$$ \lim_{k \to \infty} \| Bv_k\|_{\ell^2} = 0 $$
となる例を一つ与えよ．
(1)
$n \geq 1$に対し$c_n = (-1)^n \binom{1 / 2}{n} < 0$だから，$t \in (0, 1)$に対し
$$
\sum_{n = 0}^N |c_n|t^n
= 1 - \sum_{n = 1}^N c_n t^n
\leq 1 - \sum_{n \geq 1} c^n t^n
= 1 - (\sqrt{1 - t} - 1)
\leq 2.
$$
よって$t \to 1$とした後に$N \to \infty$として$\sum_{n \geq 0} |c_n| \leq 2.$
(2)
$$
\bigg\| \sum_{n > N} c_n A^n \bigg\|
\leq \sum_{n > N} |c_n| \|A^n\|
\leq \sum_{n > N} |c_n| \|A\|^n
\leq \sum_{n > N} |c_n|
\to 0 \quad (N \to \infty)
$$
だから示された．
(3)
$\| \cdot \|_{\ell^2}$を$\| \cdot\|$と書く．まず$\|(T - I)v_k\| \to 0$なら$\|Bv_k\| \to 0$となることを示す．$f(1) = 0$より
$$
\| Bv_k\|
= \bigg\| \sum_{n \geq 0} c_n (T^n - I)v_k \bigg\|
\leq \sum_{n \geq 0} |c_n| \|(T^n - I)v_k\|
\tag{$\ast$}
$$
である．$\|(T^n - I)v_k\| \leq (\|T\|^n + 1)\|v_k\| = 2$と (1) より，$(\ast)$の右辺で$k \to \infty$とする時 Lebesgue の収束定理が使える．$k \to \infty$の時
$$
\| (T^n - I)v_k\|
\leq \sum_{j = 1}^n \|(T^j - T^{j - 1})v_k\|
\leq \sum_{j = 1}^n \|T\|^{j - 1} \|(T - I)v_k\|
= n\|(T - I)v_k\|
\to 0
$$
より$(\ast)$の右辺は$0$に収束するので示された．
ここで
$$
v_k = \bigg( \underbrace{0, \dots, 0}_{k - 1}, \frac{c_k}{k}, \frac{c_k}{k + 1}, \dots \bigg), \qquad
c_k = \bigg( \sum_{j \geq k} \frac{1}{j^2} \bigg)^{-1 / 2}
$$
とおけば$\|v_k\| = 1$である．また
$$
\|(T - I)v_k\|^2
= 2\bigg( 1 - \sum_{j \geq k} \frac{c_k^2}{j(j + 1)}\bigg)
= 2\bigg( 1 - \frac{1}{k\sum_{j \geq k} j^{-2}} \bigg)
\to 0 \quad (k \to \infty)
$$
だから，これが一例である．
