大学数学基礎解説

フーリエ変換で積分を解く

フーリエ変換,積分

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フーリエ変換で積分を解く

フーリエ変換で積分を解いて見ましょう。

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^{2} + 1} d x$

留数定理を使う方法もあるけど、フーリエ変換を使ってやっていくよ。

フーリエ変換

$F [f (t)] (s) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- i s t} d t$

フーリエ変換が存在するには積分が絶対可積分であることが必要です。
この記事で扱う関数は絶対可積分なので気にしなくてもいいです。

フーリエ変換する

$f (x) = e^{- | x |}$
この関数をフーリエ変換してみよう。

$\begin{aligned} F [f (x)] (s) & = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- | x |} e^{- i s x} d x \\ = \int_{- \infty}^{0} e^{(1 - i s) x} d x + \int_{0}^{\infty} e^{- (1 + i s) x} d x \\ = {[\frac{e^{(1 - i s) x}}{1 - i s}]}_{- \infty}^{0} + {[\frac{e^{- (1 + i s) x}}{- 1 - i s}]}_{0}^{\infty} \\ = \frac{1}{1 - i s} + \frac{1}{- 1 + i s} \\ = \frac{2}{s^{2} + 1} \end{aligned}$

はい、フーリエ変換がわかりましたね。
$F [e^{- | x |}] (s) = \frac{2}{s^{2} + 1}$
ここで、フーリエの反転公式を使います。

フーリエの反転公式

$f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (s) e^{i s x} d s$

ここで、 $f$ のフーリエ変換を $F$ としている。
ここで、 $f$ は $s$ で連続。

$f (x) = e^{- | x |}$ として、フーリエの反転公式に当てはめてみましょう。

$\begin{aligned} e^{- | x |} & = \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{i s x}}{s^{2} + 1} d s \\ = \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\cos s x}{s^{2} + 1} d s + \frac{i}{π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\sin s x}{s^{2} + 1} d s \end{aligned}$
両辺の実部を比較して
$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\cos s x}{s^{2} + 1} d s = π e^{- | x |}$
$x = 1$ を代入して
$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\cos s}{s^{2} + 1} d s = \frac{π}{e}$
よって、
$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^{2} + 1} d x = \frac{π}{e}$