フーリエ変換で積分を解いて見ましょう。
∫−∞∞cosxx2+1dx
留数定理を使う方法もあるけど、フーリエ変換を使ってやっていくよ。
F[f(t)](s)=∫−∞∞f(t)e−istdt
フーリエ変換が存在するには積分が絶対可積分であることが必要です。この記事で扱う関数は絶対可積分なので気にしなくてもいいです。
f(x)=e−|x|この関数をフーリエ変換してみよう。
F[f(x)](s)=∫−∞∞e−|x|e−isxdx=∫−∞0e(1−is)xdx+∫0∞e−(1+is)xdx=[e(1−is)x1−is]−∞0+[e−(1+is)x−1−is]0∞=11−is+1−1+is=2s2+1
はい、フーリエ変換がわかりましたね。F[e−|x|](s)=2s2+1ここで、フーリエの反転公式を使います。
f(x)=12π∫−∞∞F(s)eisxds
ここで、fのフーリエ変換をFとしている。ここで、fはsで連続。
f(x)=e−|x|として、フーリエの反転公式に当てはめてみましょう。
e−|x|=1π∫−∞∞eisxs2+1ds=1π∫−∞∞cossxs2+1ds+iπ∫−∞∞sinsxs2+1ds両辺の実部を比較して∫−∞∞cossxs2+1ds=πe−|x|x=1を代入して∫−∞∞cosss2+1ds=πeよって、∫−∞∞cosxx2+1dx=πe
はい、でましたね。
おしまい!!!!
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