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フーリエ変換で積分を解く

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フーリエ変換で積分を解く

フーリエ変換で積分を解いて見ましょう。

cosxx2+1dx

留数定理を使う方法もあるけど、フーリエ変換を使ってやっていくよ。

フーリエ変換

フーリエ変換

F[f(t)](s)=f(t)eistdt

フーリエ変換が存在するには積分が絶対可積分であることが必要です。
この記事で扱う関数は絶対可積分なので気にしなくてもいいです。

フーリエ変換する

f(x)=e|x|
この関数をフーリエ変換してみよう。

F[f(x)](s)=e|x|eisxdx=0e(1is)xdx+0e(1+is)xdx=[e(1is)x1is]0+[e(1+is)x1is]0=11is+11+is=2s2+1

はい、フーリエ変換がわかりましたね。
F[e|x|](s)=2s2+1
ここで、フーリエの反転公式を使います。

フーリエの反転公式

f(x)=12πF(s)eisxds

ここで、fのフーリエ変換をFとしている。
ここで、fsで連続。

f(x)=e|x|として、フーリエの反転公式に当てはめてみましょう。

e|x|=1πeisxs2+1ds=1πcossxs2+1ds+iπsinsxs2+1ds
両辺の実部を比較して
cossxs2+1ds=πe|x|
x=1を代入して
cosss2+1ds=πe
よって、
cosxx2+1dx=πe

はい、でましたね。

おしまい!!!!

投稿日:2023730
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ららら
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