Rogersの線形化公式から得られる超幾何級数の変換公式
$x:=\cos\theta$として, Rogers多項式は
\begin{align}
C_n(x;a|q)&=\sum_{k=0}^n\frac{(a;q)_k(a;q)_{n-k}}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}e^{i(n-2k)\theta}
\end{align}
によって定義される.
Rogersの線形化公式
\begin{align}
&C_m(x;a|q)C_n(x;a|q)\\
&=\sum_{k=0}^{\min(m,n)}\frac{(q;q)_{m+n-2k}(a;q)_{m-k}(a;q)_{n-k}(a;q)_k(a^2;q)_{m+n-k}}{(a^2;q)_{m+n-2k}(q;q)_{m-k}(q;q)_{n-k}(q;q)_k(aq;q)_{m+n-k}}\frac{1-aq^{m+n-2k}}{1-a}C_{m+n-2k}(x;a|q)
\end{align}
において$e^{i(n+m-2N)\theta}$の係数を比較することを考える. 左辺は
\begin{align}
&C_m(x;a|q)C_n(x;a|q)\\
&=\sum_{k=0}^m\frac{(a;q)_k(a;q)_{m-k}}{(q;q)_k(q;q)_{m-k}}e^{i(m-2k)\theta}\sum_{l=0}^n\frac{(a;q)_l(a;q)_{n-l}}{(q;q)_l(q;q)_{n-l}}e^{i(n-2l)\theta}\\
&=\sum_{0\leq N}e^{i(m+n-2N)\theta}\sum_{k=0}^N\frac{(a;q)_k(a;q)_{m-k}}{(q;q)_k(q;q)_{m-k}}\frac{(a;q)_{N-k}(a;q)_{n-N+k}}{(q;q)_{N-k}(q;q)_{n-N+k}}
\end{align}
となるから, その$e^{i(n+m-2N)\theta}$の係数は$N\leq n$のとき,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^N\frac{(a;q)_k(a;q)_{m-k}}{(q;q)_k(q;q)_{m-k}}\frac{(a;q)_{N-k}(a;q)_{n-N+k}}{(q;q)_{N-k}(q;q)_{n-N+k}}\\
&=\frac{(a;q)_m(q;q)_N(a;q)_{n-N}}{(q;q)_m(q;q)_N(q;q)_{n-N}}\Q43{a,q^{-m},q^{-N},aq^{n-N}}{q^{1-m}/a,q^{1-N}/a,q^{1+n-N}}{\frac{q^2}{a^2}}
\end{align}
となる. 一方, 左辺は
\begin{align}
&\sum_{k=0}^{\min(m,n)}\frac{(q;q)_{m+n-2k}(a;q)_{m-k}(a;q)_{n-k}(a;q)_k(a^2;q)_{m+n-k}}{(a^2;q)_{m+n-2k}(q;q)_{m-k}(q;q)_{n-k}(q;q)_k(aq;q)_{m+n-k}}\frac{1-aq^{m+n-2k}}{1-a}C_{m+n-2k}(x;a|q)\\
&=\sum_{k=0}^{\min(m,n)}\frac{(q;q)_{m+n-2k}(a;q)_{m-k}(a;q)_{n-k}(a;q)_k(a^2;q)_{m+n-k}}{(a^2;q)_{m+n-2k}(q;q)_{m-k}(q;q)_{n-k}(q;q)_k(aq;q)_{m+n-k}}\frac{1-aq^{m+n-2k}}{1-a}\\
&\qquad\cdot\sum_{j=0}^{m+n-2k}\frac{(a;q)_j(a;q)_{m+n-2k-j}}{(q;q)_j(q;q)_{m+n-2k-j}}e^{i(m+n-2k-2j)\theta}\\
\end{align}
であるから, その$e^{i(n+m-2N)\theta}$の係数は
\begin{align}
&\sum_{k=0}^{\min(m,n)}\frac{(q;q)_{m+n-2k}(a;q)_{m-k}(a;q)_{n-k}(a;q)_k(a^2;q)_{m+n-k}}{(a^2;q)_{m+n-2k}(q;q)_{m-k}(q;q)_{n-k}(q;q)_k(aq;q)_{m+n-k}}\frac{1-aq^{m+n-2k}}{1-a}\frac{(a;q)_{N-k}(a;q)_{m+n-k-N}}{(q;q)_{N-k}(q;q)_{m+n-k-N}}\\
&=\frac{(q;q)_{m+n}(a;q)_m(a;q)_n(a;q)_N(a;q)_{m+n-N}}{(a;q)_{m+n}(q;q)_m(q;q)_n(q;q)_N(q;q)_{m+n-N}}\\
&\qquad\cdot\sum_{k=0}^{\min\{m,n,N\}}\frac{1-aq^{m+n-2k}}{1-aq^{n+m}}\frac{(q^{1-m-n}/a^2;q)_{2k}(a,q^{-m},q^{-n},q^{-N},q^{N-m-n},q^{-m-n}/a;q)_k}{(q^{-m-n};q)_{2k}(q,q^{1-m}/a,q^{1-n}/a,q^{1-N}/a,q^{1+N-m-n}/a,q^{1-m-n}/a^2;q)_k}\left(\frac{q^3}{a}\right)^k\\
&=\frac{(q;q)_{m+n}(a;q)_m(a;q)_n(a;q)_N(a;q)_{m+n-N}}{(a;q)_{m+n}(q;q)_m(q;q)_n(q;q)_N(q;q)_{m+n-N}}\\
&\qquad\cdot W\left(q^{-m-n}/a;a,q^{-m},q^{-n},q^{-N},q^{N-m-n},q^{\frac{1-m-n}2}/a,-q^{\frac{1-m-n}2}/a,q^{\frac{2-m-n}2}/a,-q^{\frac{2-m-n}2}/a;\frac qa\right)
\end{align}
となる. ここで,
\begin{align}
W(a;b_1,\dots,b_r;x)&:=\Q{r+3}{r+2}{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b_1,\dots,b_r}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b_1,\dots,aq/b_r}{x}
\end{align}
である. よって, これらを比較すると,
\begin{align}
&\Q43{a,q^{-m},q^{-N},aq^{n-N}}{q^{1-m}/a,q^{1-N}/a,q^{1+n-N}}{\frac{q^2}{a^2}}\\
&=\frac{(q;q)_{m+n}(a;q)_n(a;q)_{m+n-N}(q;q)_{n-N}}{(a;q)_{m+n}(q;q)_n(q;q)_{m+n-N}(a;q)_{n-N}}\\
&\qquad\cdot W\left(q^{-m-n}/a;a,q^{-m},q^{-n},q^{-N},q^{N-m-n},q^{\frac{1-m-n}2}/a,-q^{\frac{1-m-n}2}/a,q^{\frac{2-m-n}2}/a,-q^{\frac{2-m-n}2}/a;\frac qa\right)\\
&=\frac{(aq^{m+n},q^{n+1};q)_{-N}}{(q^{m+n+1},aq^n;q)_{-N}}\\
&\qquad\cdot W\left(q^{-m-n}/a;a,q^{-m},q^{-n},q^{-N},q^{N-m-n},q^{\frac{1-m-n}2}/a,-q^{\frac{1-m-n}2}/a,q^{\frac{2-m-n}2}/a,-q^{\frac{2-m-n}2}/a;\frac qa\right)\\
&=\frac{(q^{-m-n},q^{1-n}/a;q)_{N}}{(q^{-n},q^{1-m-n}/a;q)_{N}}\\
&\qquad\cdot W\left(q^{-m-n}/a;a,q^{-m},q^{-n},q^{-N},q^{N-m-n},q^{\frac{1-m-n}2}/a,-q^{\frac{1-m-n}2}/a,q^{\frac{2-m-n}2}/a,-q^{\frac{2-m-n}2}/a;\frac qa\right)
\end{align}
つまり,
\begin{align}
&\Q43{a,q^{-m},q^{-N},aq^{n-N}}{q^{1-m}/a,q^{1-N}/a,q^{1+n-N}}{\frac{q^2}{a^2}}\\
&=\frac{(q^{-m-n},q^{1-n}/a;q)_{N}}{(q^{-n},q^{1-m-n}/a;q)_{N}}\\
&\qquad\cdot W\left(q^{-m-n}/a;a,q^{-m},q^{-n},q^{-N},q^{N-m-n},q^{\frac{1-m-n}2}/a,-q^{\frac{1-m-n}2}/a,q^{\frac{2-m-n}2}/a,-q^{\frac{2-m-n}2}/a;\frac qa\right)
\end{align}
を得る. $q^{-m},q^{-N},aq^{n-N}$をそれぞれ, $b,c,d$と書き換えると
\begin{align}
&\Q43{a,b,c,d}{bq/a,cq/a,dq/a}{\frac{q^2}{a^2}}\\
&=\frac{(abc/d,cq/d;q)_{N}}{(ac/d,bcq/d;q)_{N}}\\
&\qquad\cdot W\left(bc/d;a,b,c,ab/d,ac/d,\sqrt{bcq/ad},-\sqrt{bcq/ad},q\sqrt{bc/ad},-q\sqrt{bc/ad};\frac qa\right)\\
&=\frac{(a/d,bq/d,cq/d,abc/d;q)_{\infty}}{(q/d,ab/d,ac/d,bcq/d;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot W\left(bc/d;a,b,c,ab/d,ac/d,\sqrt{bcq/ad},-\sqrt{bcq/ad},q\sqrt{bc/ad},-q\sqrt{bc/ad};\frac qa\right)
\end{align}
両辺は$b,d$に関する有理関数であるから, 一致の定理より一般の変数で等号が成り立つ. よって以下を得る.
$b,c$のいずれかが$q^{-N}$の形のとき,
\begin{align}
&\Q43{a,b,c,d}{bq/a,cq/a,dq/a}{\frac{q^2}{a^2}}\\
&=\frac{(a/d,bq/d,cq/d,abc/d;q)_{\infty}}{(q/d,ab/d,ac/d,bcq/d;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot W\left(bc/d;a,b,c,ab/d,ac/d,\sqrt{bcq/ad},-\sqrt{bcq/ad},q\sqrt{bc/ad},-q\sqrt{bc/ad};\frac qa\right)
\end{align}
が成り立つ.
Gasperの論文では$a,b,c$のいずれかが$q^{-N}$の形の場合に定理1が成り立つと書かれているが, $a=q^{-N}$の場合に関しては誤りであると思われる. もしそれが正しいとすると, 例えば$a=1$の場合,
\begin{align}
1&=\frac{(1-1/d)(1-bc/d)}{(1-b/d)(1-c/d)}
\end{align}
となってしまうがこれは正しくない. この原因は$c=q^{-N}$としたときには両辺の分母に
\begin{align}
(q^{1-N}/a;q)_N
\end{align}
があり, $a=q^{-M},0\leq M< N$の場合には両辺が発散してしまうため一致の定理による方法が使えないというところにある. $a=q^{-N}$の場合にも定理1のような公式があるかどうかは気になるところである.
古典極限
定理1の古典極限を考えると以下の公式を得る.
$b,c$のいずれかが負整数のとき
\begin{align}
&\F43{a,b,c,d}{1+b-a,1+c-a,1+d-a}1\\
&=\frac{\Gamma(1-d)\Gamma(a+b-d)\Gamma(a+c-d)\Gamma(1+b+c-d)}{\Gamma(a-d)\Gamma(1+b-d)\Gamma(1+c-d)\Gamma(a+b+c-d)}\\
&\qquad\cdot\F98{b+c-d,1+\frac{b+c-d}2,a,b,c,a+b-d,a+c-d,\frac{1+b+c-a-d}2,\frac{2+b+c-a-d}2}{\frac{b+c-d}2,1+b+c-a-d,1+c-d,1+b-d,1+c-a,1+b-a,\frac{1+a+b+c-d}{2},\frac{a+b+c-d}{2}}1
\end{align}
