Rogersの線形化公式

Heineの変換公式
\begin{align} \Q21{a,b}c{x}&=\frac{(abx/c;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}\Q21{c/a,c/b}{c}{\frac{abx}c} \end{align}
より, $x=\cos\theta$として,
\begin{align} C_m(x;a|q)&=\frac{(a;q)_m(ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(q;q)_m(e^{-2i\theta}q/a;q)_{\infty}}e^{im\theta}\Q21{q/a,q^{1-m}/a^2}{q^{1-m}/a}{ae^{-2i\theta}} \end{align}
と表される. よって,
\begin{align} &C_n(x;a|q)C_m(x;a|q)\\ &=\frac{(a;q)_m(a;q)_n(ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(q;q)_m(q;q)_n(e^{-2i\theta}q/a;q)_{\infty}}e^{i(n+m)\theta}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq r}\frac{(q^{-n},a;q)_r}{(q,q^{1-n}/a;q)_r}(a^{-1}e^{-2i\theta}q)^r\sum_{0\leq s}\frac{(q/a,q^{1-m}/a^2;q)_s}{(q,q^{1-m}/a;q)_s}(ae^{-2i\theta})^s\\ &=\frac{(a;q)_m(a;q)_n(ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(q;q)_m(q;q)_n(e^{-2i\theta}q/a;q)_{\infty}}e^{i(n+m)\theta}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\sum_{0\leq r\leq j}\frac{(q^{-n},a;q)_r}{(q,q^{1-n}/a;q)_r}(a^{-1}e^{-2i\theta}q)^r\frac{(q/a,q^{1-m}/a^2;q)_{j-r}}{(q,q^{1-m}/a;q)_{j-r}}(ae^{-2i\theta})^{j-r}\\ &=\frac{(a;q)_m(a;q)_n(ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(q;q)_m(q;q)_n(e^{-2i\theta}q/a;q)_{\infty}}e^{i(n+m)\theta}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(q/a,q^{1-m}/a^2;q)_j}{(q,q^{1-m}/a;q)_j}(ae^{-2i\theta})^j\sum_{0\leq r\leq j}\frac{(q^{-n},q^{-j},a,aq^{m-j};q)_r}{(q,q^{1-n}/a,aq^{-j},a^2q^{m-j};q)_r}q^r\\ &=\frac{(a;q)_m(a;q)_n(ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(q;q)_m(q;q)_n(e^{-2i\theta}q/a;q)_{\infty}}e^{i(n+m)\theta}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(q/a,q^{1-m}/a^2;q)_j}{(q,q^{1-m}/a;q)_j}(ae^{-2i\theta})^j\Q43{q^{-n},q^{-j},a,aq^{m-j}}{q^{1-n}/a,aq^{-j},a^2q^{m-j}}q \end{align}

Watsonの変換公式
\begin{align} &\Q43{x,y,z,q^{-n}}{u,v,w}{q}\\ &=\frac{(u/z,u/y;q)_n}{(u,u/yz;q)_n}\Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,w/x,v/x,y,z,q^{-n}}{\sqrt a,-\sqrt a,v,w,zu^{-1}q^{1-n},yu^{-1}q^{1-n},yzq/u}{\frac{vwq^n}{yz}} \end{align}
より, $c=q^{-m-n}/a$として
\begin{align} &\Q43{q^{-n},q^{-j},a,aq^{m-j}}{q^{1-n}/a,aq^{-j},a^2q^{m-j}}q\\ &=\frac{(q^{1-m-n}/a^2,q^{1-m}/a;q)_j}{(q^{1-m-n}/a,q^{1-m}/a^2;q)_j}\Q87{c,\sqrt{c}q,-\sqrt{c}q,q^{1+j-m-n}/a^2,q^{-m},a,q^{-n},q^{-j}}{\sqrt c, -\sqrt c,aq^{-j},q^{1-n}/a,q^{1-m-n}/a^2,q^{1-m}/a,q^{1+j-m-n}/a}{\frac qa} \end{align}
だから,
\begin{align} &C_n(x;a|q)C_m(x;a|q)\\ &=\frac{(a;q)_m(a;q)_n(ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(q;q)_m(q;q)_n(e^{-2i\theta}q/a;q)_{\infty}}e^{i(n+m)\theta}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(q/a,q^{1-m-n}/a^2;q)_j}{(q,q^{1-m-n}/a;q)_j}(ae^{-2i\theta})^j\Q87{c,\sqrt{c}q,-\sqrt{c}q,q^{1+j-m-n}/a^2,q^{-m},a,q^{-n},q^{-j}}{\sqrt c, -\sqrt c,aq^{-j},q^{1-n}/a,q^{1-m-n}/a^2,q^{1-m}/a,q^{1+j-m-n}/a}{\frac qa}\\ &=\frac{(a;q)_m(a;q)_n(ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(q;q)_m(q;q)_n(e^{-2i\theta}q/a;q)_{\infty}}e^{i(n+m)\theta}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(q/a,q^{1-m-n}/a^2;q)_j}{(q,q^{1-m-n}/a;q)_j}(ae^{-2i\theta})^j\sum_{0\leq k}\frac{(1-cq^{2k})(c,q^{1+j-m-n}/a^2,q^{-m},a,q^{-n},q^{-j};q)_k}{(1-c)(aq^{-j},q^{1-n}/a,q^{1-m-n}/a^2,q^{1-m}/a,q^{1+j-m-n}/a,q;q)_k}\left(\frac qa\right)^k\\ &=\frac{(a;q)_m(a;q)_n(ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(q;q)_m(q;q)_n(e^{-2i\theta}q/a;q)_{\infty}}e^{i(n+m)\theta}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(1-cq^{2k})(c,q^{-m},a,q^{-n};q)_k}{(1-c)(q^{1-n}/a,q^{1-m-n}/a^2,q^{1-m}/a,q;q)_k}\left(\frac qa\right)^k\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(q/a;q)_j}{(q;q)_j}(ae^{-2i\theta})^j\frac{(q^{1-m-n}/a^2;q)_{j+k}(q^{-j};q)_k}{(q^{1-m-n}/a;q)_{j+k}(aq^{-j};q)_k} \end{align}

ここで,
\begin{align} &\sum_{0\leq j}\frac{(q/a;q)_j}{(q;q)_j}(ae^{-2i\theta})^j\frac{(q^{1-m-n}/a^2;q)_{j+k}(q^{-j};q)_k}{(q^{1-m-n}/a;q)_{j+k}(aq^{-j};q)_k}\\ &=\sum_{0\leq j}\frac{(q/a;q)_j}{(q;q)_{j-k}}(-1)^kq^{\binom k2-jk}(ae^{-2i\theta})^j\frac{(q^{1-m-n}/a^2;q)_{j+k}(a;q)_{-j}}{(q^{1-m-n}/a;q)_{j+k}(a;q)_{k-j}}\\ &=\sum_{0\leq j}\frac{(q/a;q)_j}{(q;q)_{j-k}}(-1)^kq^{\binom k2-jk}(ae^{-2i\theta})^j\frac{(q^{1-m-n}/a^2;q)_{j+k}(q/a;q)_{j-k}(-q/a)^jq^{\binom j2}}{(q^{1-m-n}/a;q)_{j+k}(q/a;q)_j(-q/a)^{j-k}q^{\binom{j-k}2}}\\ &=a^{-k}\sum_{0\leq j}\frac{(q/a;q)_{j-k}}{(q;q)_{j-k}}(ae^{-2i\theta})^j\frac{(q^{1-m-n}/a^2;q)_{j+k}}{(q^{1-m-n}/a;q)_{j+k}}\\ &=e^{-2ik\theta}\frac{(q^{1-m-n}/a^2;q)_{2k}}{(q^{1-m-n}/a;q)_{2k}}\Q21{q/a,q^{1-m-n+2k}/a^2}{q^{1-m-n+2k}/a}{ae^{-2i\theta}}\\ &=e^{-2ik\theta}\frac{(q^{1-m-n}/a^2;q)_{2k}}{(q^{1-m-n}/a;q)_{2k}}\frac{(q;q)_{n+m-2k}}{(a;q)_{n+m-2k}}\frac{(e^{-2i\theta}q/a;q)_{\infty}}{(ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{i(2k-n-m)\theta}C_{n+m-2k}(x;a|q)\\ &=\frac{(q^{1-m-n}/a^2;q)_{2k}}{(q^{1-m-n}/a;q)_{2k}}\frac{(q;q)_{n+m-2k}}{(a;q)_{n+m-2k}}\frac{(e^{-2i\theta}q/a;q)_{\infty}}{(ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{-i(n+m)\theta}C_{n+m-2k}(x;a|q)\\ &=\frac{(q/a;q)_{-m-n}(q/a^2;q)_{2k-m-n}}{(q/a^2;q)_{-m-n}(q/a;q)_{2k-m-n}}\frac{(q;q)_{n+m-2k}}{(a;q)_{n+m-2k}}\frac{(e^{-2i\theta}q/a;q)_{\infty}}{(ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{-i(n+m)\theta}C_{n+m-2k}(x;a|q)\\ &=a^{-2k}\frac{(a^2;q)_{m+n}(q;q)_{m+n-2k}}{(a;q)_{m+n}(a^2;q)_{m+n-2k}}\frac{(e^{-2i\theta}q/a;q)_{\infty}}{(ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{-i(n+m)\theta}C_{n+m-2k}(x;a|q)\\ \end{align}
より,

\begin{align} &C_n(x;a|q)C_m(x;a|q)\\ &=\frac{(a;q)_m(a;q)_n(ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(q;q)_m(q;q)_n(e^{-2i\theta}q/a;q)_{\infty}}e^{i(n+m)\theta}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(1-cq^{2k})(c,q^{-m},a,q^{-n};q)_k}{(1-c)(q^{1-n}/a,q^{1-m-n}/a^2,q^{1-m}/a,q;q)_k}\left(\frac qa\right)^k\\ &\qquad\cdot a^{-2k}\frac{(a^2;q)_{m+n}(q;q)_{m+n-2k}}{(a;q)_{m+n}(a^2;q)_{m+n-2k}}\frac{(e^{-2i\theta}q/a;q)_{\infty}}{(ae^{-2i\theta};q)_{\infty}}e^{-i(n+m)\theta}C_{n+m-2k}(x;a|q)\\ &=\frac{(a;q)_m(a;q)_n}{(q;q)_m(q;q)_n}\sum_{0\leq k}\frac{(1-q^{2k-n-m}/a)(q^{-n-m}/a,q^{-m},a,q^{-n};q)_k}{(1-q^{-n-m}/a)(q^{1-n}/a,q^{1-m-n}/a^2,q^{1-m}/a,q;q)_k}\left(\frac q{a^3}\right)^k\\ &\qquad\cdot \frac{(a^2;q)_{m+n}(q;q)_{m+n-2k}}{(a;q)_{m+n}(a^2;q)_{m+n-2k}}C_{n+m-2k}(x;a|q)\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(1-q^{2k-n-m}/a)(q^{-n-m}/a,a;q)_k}{(1-q^{-n-m}/a)(q^{1-m-n}/a^2,q;q)_k}\frac{(a;q)_{n-k}(q;q)_{m-k}}{(q;q)_{n-k}(q;q)_{m-k}}\left(\frac 1{aq}\right)^k\\ &\qquad\cdot \frac{(a^2;q)_{m+n}(q;q)_{m+n-2k}}{(a;q)_{m+n}(a^2;q)_{m+n-2k}}C_{n+m-2k}(x;a|q)\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(1-q^{2k-n-m}/a)(1-aq^{n+m})(a^2;q)_{m+n-k}(a;q)_k}{(1-q^{-n-m}/a)(1-a)(aq;q)_{m+n-k}(q;q)_k}\frac{(a;q)_{n-k}(q;q)_{m-k}}{(q;q)_{n-k}(q;q)_{m-k}}\left(\frac 1{q^2}\right)^k\\ &\qquad\cdot \frac{(q;q)_{m+n-2k}}{(a^2;q)_{m+n-2k}}C_{n+m-2k}(x;a|q)\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(1-aq^{n+m-2k})(a^2;q)_{m+n-k}(a;q)_k}{(1-a)(aq;q)_{m+n-k}(q;q)_k}\frac{(a;q)_{n-k}(q;q)_{m-k}}{(q;q)_{n-k}(q;q)_{m-k}}\frac{(q;q)_{m+n-2k}}{(a^2;q)_{m+n-2k}}C_{n+m-2k}(x;a|q)\\ \end{align}
となって定理が示される.