文献あり

Rogersの線形化公式

123

Rogers多項式 $C_{n} (x; a | q)$ はGegenbauer多項式の $q$ 類似であり, 以下のように定義される.
$\begin{aligned} C_{n} (\cos θ; a | q) & := \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a; q)_{k}}{(q; q)_{k}} \frac{(a; q)_{n - k}}{(q; q)_{n - k}} e^{i (n - 2 k) θ} \\ = \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} e^{i n θ}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} q^{- n}, a \\ q^{1 - n} / a \end{array}; a^{- 1} q e^{- 2 i θ}] \end{aligned}$

Rogersの線形化公式

非負整数 $n, m$ に対して,
$\begin{aligned} C_{n} (x; a | q) C_{m} (x; a | q) \\ = \sum_{0 \leq k} \frac{(1 - a q^{n + m - 2 k}) (a; q)_{n - k} (a; q)_{m - k} (a; q)_{k} (a^{2}; q)_{n + m - k} (q; q)_{n + m - 2 k}}{(q; q)_{n - k} (q; q)_{m - k} (q; q)_{k} (a; q)_{m + n - k + 1} (a^{2}; q)_{m + n - 2 k}} C_{m + n - 2 k} (x; a | q) \end{aligned}$
が成り立つ.

Rogersの元の証明は漸化式を用いたものであったが, Gasperにより $q$ 超幾何級数の変換公式を用いた以下のような証明が得られている.

Heineの変換公式
$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} a, b \\ c \end{array}; x] & = \frac{(a b x / c; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} c / a, c / b \\ c \end{array}; \frac{a b x}{c}] \end{aligned}$
より, $x = \cos θ$ として,
$\begin{aligned} C_{m} (x; a | q) & = \frac{(a; q)_{m} (a e^{- 2 i θ}; q)_{\infty}}{(q; q)_{m} (e^{- 2 i θ} q / a; q)_{\infty}} e^{i m θ}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} q / a, q^{1 - m} / a^{2} \\ q^{1 - m} / a \end{array}; a e^{- 2 i θ}] \end{aligned}$
と表される. よって,
$\begin{aligned} C_{n} (x; a | q) C_{m} (x; a | q) \\ = \frac{(a; q)_{m} (a; q)_{n} (a e^{- 2 i θ}; q)_{\infty}}{(q; q)_{m} (q; q)_{n} (e^{- 2 i θ} q / a; q)_{\infty}} e^{i (n + m) θ} \\ \cdot \sum_{0 \leq r} \frac{(q^{- n}, a; q)_{r}}{(q, q^{1 - n} / a; q)_{r}} (a^{- 1} e^{- 2 i θ} q)^{r} \sum_{0 \leq s} \frac{(q / a, q^{1 - m} / a^{2}; q)_{s}}{(q, q^{1 - m} / a; q)_{s}} (a e^{- 2 i θ})^{s} \\ = \frac{(a; q)_{m} (a; q)_{n} (a e^{- 2 i θ}; q)_{\infty}}{(q; q)_{m} (q; q)_{n} (e^{- 2 i θ} q / a; q)_{\infty}} e^{i (n + m) θ} \\ \cdot \sum_{0 \leq j} \sum_{0 \leq r \leq j} \frac{(q^{- n}, a; q)_{r}}{(q, q^{1 - n} / a; q)_{r}} (a^{- 1} e^{- 2 i θ} q)^{r} \frac{(q / a, q^{1 - m} / a^{2}; q)_{j - r}}{(q, q^{1 - m} / a; q)_{j - r}} (a e^{- 2 i θ})^{j - r} \\ = \frac{(a; q)_{m} (a; q)_{n} (a e^{- 2 i θ}; q)_{\infty}}{(q; q)_{m} (q; q)_{n} (e^{- 2 i θ} q / a; q)_{\infty}} e^{i (n + m) θ} \\ \cdot \sum_{0 \leq j} \frac{(q / a, q^{1 - m} / a^{2}; q)_{j}}{(q, q^{1 - m} / a; q)_{j}} (a e^{- 2 i θ})^{j} \sum_{0 \leq r \leq j} \frac{(q^{- n}, q^{- j}, a, a q^{m - j}; q)_{r}}{(q, q^{1 - n} / a, a q^{- j}, a^{2} q^{m - j}; q)_{r}} q^{r} \\ = \frac{(a; q)_{m} (a; q)_{n} (a e^{- 2 i θ}; q)_{\infty}}{(q; q)_{m} (q; q)_{n} (e^{- 2 i θ} q / a; q)_{\infty}} e^{i (n + m) θ} \\ \cdot \sum_{0 \leq j} \frac{(q / a, q^{1 - m} / a^{2}; q)_{j}}{(q, q^{1 - m} / a; q)_{j}} (a e^{- 2 i θ})^{j}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} q^{- n}, q^{- j}, a, a q^{m - j} \\ q^{1 - n} / a, a q^{- j}, a^{2} q^{m - j} \end{array}; q] \end{aligned}$

Watsonの変換公式
$\begin{aligned} _{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} x, y, z, q^{- n} \\ u, v, w \end{array}; q] \\ = \frac{(u / z, u / y; q)_{n}}{(u, u / y z; q)_{n}}_{8} ϕ_{7} [\begin{array}{c} a, \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, w / x, v / x, y, z, q^{- n} \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, v, w, z u^{- 1} q^{1 - n}, y u^{- 1} q^{1 - n}, y z q / u \end{array}; \frac{v w q^{n}}{y z}] \end{aligned}$
より, $c = q^{- m - n} / a$ として
$\begin{aligned} _{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} q^{- n}, q^{- j}, a, a q^{m - j} \\ q^{1 - n} / a, a q^{- j}, a^{2} q^{m - j} \end{array}; q] \\ = \frac{(q^{1 - m - n} / a^{2}, q^{1 - m} / a; q)_{j}}{(q^{1 - m - n} / a, q^{1 - m} / a^{2}; q)_{j}}_{8} ϕ_{7} [\begin{array}{c} c, \sqrt{c} q, - \sqrt{c} q, q^{1 + j - m - n} / a^{2}, q^{- m}, a, q^{- n}, q^{- j} \\ \sqrt{c}, - \sqrt{c}, a q^{- j}, q^{1 - n} / a, q^{1 - m - n} / a^{2}, q^{1 - m} / a, q^{1 + j - m - n} / a \end{array}; \frac{q}{a}] \end{aligned}$
だから,
$\begin{aligned} C_{n} (x; a | q) C_{m} (x; a | q) \\ = \frac{(a; q)_{m} (a; q)_{n} (a e^{- 2 i θ}; q)_{\infty}}{(q; q)_{m} (q; q)_{n} (e^{- 2 i θ} q / a; q)_{\infty}} e^{i (n + m) θ} \\ \cdot \sum_{0 \leq j} \frac{(q / a, q^{1 - m - n} / a^{2}; q)_{j}}{(q, q^{1 - m - n} / a; q)_{j}} (a e^{- 2 i θ})^{j}_{8} ϕ_{7} [\begin{array}{c} c, \sqrt{c} q, - \sqrt{c} q, q^{1 + j - m - n} / a^{2}, q^{- m}, a, q^{- n}, q^{- j} \\ \sqrt{c}, - \sqrt{c}, a q^{- j}, q^{1 - n} / a, q^{1 - m - n} / a^{2}, q^{1 - m} / a, q^{1 + j - m - n} / a \end{array}; \frac{q}{a}] \\ = \frac{(a; q)_{m} (a; q)_{n} (a e^{- 2 i θ}; q)_{\infty}}{(q; q)_{m} (q; q)_{n} (e^{- 2 i θ} q / a; q)_{\infty}} e^{i (n + m) θ} \\ \cdot \sum_{0 \leq j} \frac{(q / a, q^{1 - m - n} / a^{2}; q)_{j}}{(q, q^{1 - m - n} / a; q)_{j}} (a e^{- 2 i θ})^{j} \sum_{0 \leq k} \frac{(1 - c q^{2 k}) (c, q^{1 + j - m - n} / a^{2}, q^{- m}, a, q^{- n}, q^{- j}; q)_{k}}{(1 - c) (a q^{- j}, q^{1 - n} / a, q^{1 - m - n} / a^{2}, q^{1 - m} / a, q^{1 + j - m - n} / a, q; q)_{k}} {(\frac{q}{a})}^{k} \\ = \frac{(a; q)_{m} (a; q)_{n} (a e^{- 2 i θ}; q)_{\infty}}{(q; q)_{m} (q; q)_{n} (e^{- 2 i θ} q / a; q)_{\infty}} e^{i (n + m) θ} \\ \cdot \sum_{0 \leq k} \frac{(1 - c q^{2 k}) (c, q^{- m}, a, q^{- n}; q)_{k}}{(1 - c) (q^{1 - n} / a, q^{1 - m - n} / a^{2}, q^{1 - m} / a, q; q)_{k}} {(\frac{q}{a})}^{k} \\ \cdot \sum_{0 \leq j} \frac{(q / a; q)_{j}}{(q; q)_{j}} (a e^{- 2 i θ})^{j} \frac{(q^{1 - m - n} / a^{2}; q)_{j + k} (q^{- j}; q)_{k}}{(q^{1 - m - n} / a; q)_{j + k} (a q^{- j}; q)_{k}} \end{aligned}$

ここで,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq j} \frac{(q / a; q)_{j}}{(q; q)_{j}} (a e^{- 2 i θ})^{j} \frac{(q^{1 - m - n} / a^{2}; q)_{j + k} (q^{- j}; q)_{k}}{(q^{1 - m - n} / a; q)_{j + k} (a q^{- j}; q)_{k}} \\ = \sum_{0 \leq j} \frac{(q / a; q)_{j}}{(q; q)_{j - k}} (- 1)^{k} q^{(\binom{k}{2}) - j k} (a e^{- 2 i θ})^{j} \frac{(q^{1 - m - n} / a^{2}; q)_{j + k} (a; q)_{- j}}{(q^{1 - m - n} / a; q)_{j + k} (a; q)_{k - j}} \\ = \sum_{0 \leq j} \frac{(q / a; q)_{j}}{(q; q)_{j - k}} (- 1)^{k} q^{(\binom{k}{2}) - j k} (a e^{- 2 i θ})^{j} \frac{(q^{1 - m - n} / a^{2}; q)_{j + k} (q / a; q)_{j - k} (- q / a)^{j} q^{(\binom{j}{2})}}{(q^{1 - m - n} / a; q)_{j + k} (q / a; q)_{j} (- q / a)^{j - k} q^{(\binom{j - k}{2})}} \\ = a^{- k} \sum_{0 \leq j} \frac{(q / a; q)_{j - k}}{(q; q)_{j - k}} (a e^{- 2 i θ})^{j} \frac{(q^{1 - m - n} / a^{2}; q)_{j + k}}{(q^{1 - m - n} / a; q)_{j + k}} \\ = e^{- 2 i k θ} \frac{(q^{1 - m - n} / a^{2}; q)_{2 k}}{(q^{1 - m - n} / a; q)_{2 k}}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} q / a, q^{1 - m - n + 2 k} / a^{2} \\ q^{1 - m - n + 2 k} / a \end{array}; a e^{- 2 i θ}] \\ = e^{- 2 i k θ} \frac{(q^{1 - m - n} / a^{2}; q)_{2 k}}{(q^{1 - m - n} / a; q)_{2 k}} \frac{(q; q)_{n + m - 2 k}}{(a; q)_{n + m - 2 k}} \frac{(e^{- 2 i θ} q / a; q)_{\infty}}{(a e^{- 2 i θ}; q)_{\infty}} e^{i (2 k - n - m) θ} C_{n + m - 2 k} (x; a | q) \\ = \frac{(q^{1 - m - n} / a^{2}; q)_{2 k}}{(q^{1 - m - n} / a; q)_{2 k}} \frac{(q; q)_{n + m - 2 k}}{(a; q)_{n + m - 2 k}} \frac{(e^{- 2 i θ} q / a; q)_{\infty}}{(a e^{- 2 i θ}; q)_{\infty}} e^{- i (n + m) θ} C_{n + m - 2 k} (x; a | q) \\ = \frac{(q / a; q)_{- m - n} (q / a^{2}; q)_{2 k - m - n}}{(q / a^{2}; q)_{- m - n} (q / a; q)_{2 k - m - n}} \frac{(q; q)_{n + m - 2 k}}{(a; q)_{n + m - 2 k}} \frac{(e^{- 2 i θ} q / a; q)_{\infty}}{(a e^{- 2 i θ}; q)_{\infty}} e^{- i (n + m) θ} C_{n + m - 2 k} (x; a | q) \\ = a^{- 2 k} \frac{(a^{2}; q)_{m + n} (q; q)_{m + n - 2 k}}{(a; q)_{m + n} (a^{2}; q)_{m + n - 2 k}} \frac{(e^{- 2 i θ} q / a; q)_{\infty}}{(a e^{- 2 i θ}; q)_{\infty}} e^{- i (n + m) θ} C_{n + m - 2 k} (x; a | q) \end{aligned}$
より,

$\begin{aligned} C_{n} (x; a | q) C_{m} (x; a | q) \\ = \frac{(a; q)_{m} (a; q)_{n} (a e^{- 2 i θ}; q)_{\infty}}{(q; q)_{m} (q; q)_{n} (e^{- 2 i θ} q / a; q)_{\infty}} e^{i (n + m) θ} \\ \cdot \sum_{0 \leq k} \frac{(1 - c q^{2 k}) (c, q^{- m}, a, q^{- n}; q)_{k}}{(1 - c) (q^{1 - n} / a, q^{1 - m - n} / a^{2}, q^{1 - m} / a, q; q)_{k}} {(\frac{q}{a})}^{k} \\ \cdot a^{- 2 k} \frac{(a^{2}; q)_{m + n} (q; q)_{m + n - 2 k}}{(a; q)_{m + n} (a^{2}; q)_{m + n - 2 k}} \frac{(e^{- 2 i θ} q / a; q)_{\infty}}{(a e^{- 2 i θ}; q)_{\infty}} e^{- i (n + m) θ} C_{n + m - 2 k} (x; a | q) \\ = \frac{(a; q)_{m} (a; q)_{n}}{(q; q)_{m} (q; q)_{n}} \sum_{0 \leq k} \frac{(1 - q^{2 k - n - m} / a) (q^{- n - m} / a, q^{- m}, a, q^{- n}; q)_{k}}{(1 - q^{- n - m} / a) (q^{1 - n} / a, q^{1 - m - n} / a^{2}, q^{1 - m} / a, q; q)_{k}} {(\frac{q}{a^{3}})}^{k} \\ \cdot \frac{(a^{2}; q)_{m + n} (q; q)_{m + n - 2 k}}{(a; q)_{m + n} (a^{2}; q)_{m + n - 2 k}} C_{n + m - 2 k} (x; a | q) \\ = \sum_{0 \leq k} \frac{(1 - q^{2 k - n - m} / a) (q^{- n - m} / a, a; q)_{k}}{(1 - q^{- n - m} / a) (q^{1 - m - n} / a^{2}, q; q)_{k}} \frac{(a; q)_{n - k} (q; q)_{m - k}}{(q; q)_{n - k} (q; q)_{m - k}} {(\frac{1}{a q})}^{k} \\ \cdot \frac{(a^{2}; q)_{m + n} (q; q)_{m + n - 2 k}}{(a; q)_{m + n} (a^{2}; q)_{m + n - 2 k}} C_{n + m - 2 k} (x; a | q) \\ = \sum_{0 \leq k} \frac{(1 - q^{2 k - n - m} / a) (1 - a q^{n + m}) (a^{2}; q)_{m + n - k} (a; q)_{k}}{(1 - q^{- n - m} / a) (1 - a) (a q; q)_{m + n - k} (q; q)_{k}} \frac{(a; q)_{n - k} (q; q)_{m - k}}{(q; q)_{n - k} (q; q)_{m - k}} {(\frac{1}{q^{2}})}^{k} \\ \cdot \frac{(q; q)_{m + n - 2 k}}{(a^{2}; q)_{m + n - 2 k}} C_{n + m - 2 k} (x; a | q) \\ = \sum_{0 \leq k} \frac{(1 - a q^{n + m - 2 k}) (a^{2}; q)_{m + n - k} (a; q)_{k}}{(1 - a) (a q; q)_{m + n - k} (q; q)_{k}} \frac{(a; q)_{n - k} (q; q)_{m - k}}{(q; q)_{n - k} (q; q)_{m - k}} \frac{(q; q)_{m + n - 2 k}}{(a^{2}; q)_{m + n - 2 k}} C_{n + m - 2 k} (x; a | q) \end{aligned}$
となって定理が示される.

参考文献

[1]

George Gasper, Rogers' linearization formula for the continuous q-ultraspherical polynomials and quadratic transformation formulas, SIAM J. Math. Anal., 1985, 1061-1071

投稿日：3月30日