アティマク第6章演習問題11番

$\Longrightarrow$
第5章演習問題10番より.
$\Longleftarrow$
任意の$B$のイデアル$b$に対して$f^{\ast}(V(b))$が閉集合であることを示せば良い.
$a\coloneqq f^{-1}(\sqrt{b})$とおいたとき,
$f^{\ast}(V(b))=V(a)$であることを示す.
　まず$f^{\ast}(V(b))\subset V(a)$について.
$\forall p\supset b$に対して,$f^{-1}(p)\supset f^{-1}(b)=a$より示された.
　次に$f^{\ast}(V(b))\supset V(a)$について.
仮定より$Spec(B)$はネーター空間なので,第6章演習問題5番より$V(b)$はネーター空間.
従って,第6章演習問題7番と第1章演習問題20番iv)より$V(b)$の極小素イデアルは有限個.それらを$p_1,p_2,\dots p_n$とおく.
$\forall p\supset a$に対して,
$p\supset a=f^{-1}(\sqrt{b})=f^{-1}(\bigcap_{i=1}^{n}p_i)=\bigcap_{i=1}^{n}f^{-1}(p_i)$なので,
命題1.11ii)より$\exists i　s.t.　p\supset f^{-1}(p_i)$.
第5章演習問題10番i)(c)より,
$Spec(B/p_i)\rightarrow Spec(A/f^{-1}(p_i))$は全射なので,
$\exists q\supset p_i　s.t.　p=f^{-1}(q)$
$q\supset p_i\supset b$より$q\in V(b)$なので,$p=f^{-1}(q)\in f^{\ast}(V(b))$
従って$f^{\ast}(V(b))\supset V(a)$となるので,示された.