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アティマク第6章演習問題11番

$f : A \to B :$ 環準同型, $S p e c (B) :$ ネーター空間
$f^{*} : S p e c (B) \to S p e c (A)$ が閉写像
$⟺ f : A \to B$ が上昇性質を持つ.

$⟹$
第5章演習問題10番より.
$⟸$
任意の $B$ のイデアル $b$ に対して $f^{*} (V (b))$ が閉集合であることを示せば良い.
$a : = f^{- 1} (\sqrt{b})$ とおいたとき,
$f^{*} (V (b)) = V (a)$ であることを示す.
　まず $f^{*} (V (b)) \subset V (a)$ について.
$\forall p \supset b$ に対して, $f^{- 1} (p) \supset f^{- 1} (b) = a$ より示された.
　次に $f^{*} (V (b)) \supset V (a)$ について.
仮定より $S p e c (B)$ はネーター空間なので,第6章演習問題5番より $V (b)$ はネーター空間.
従って,第6章演習問題7番と第1章演習問題20番iv)より $V (b)$ の極小素イデアルは有限個.それらを $p_{1}, p_{2}, \dots p_{n}$ とおく.
$\forall p \supset a$ に対して,
$p \supset a = f^{- 1} (\sqrt{b}) = f^{- 1} (⋂_{i = 1}^{n} p_{i}) = ⋂_{i = 1}^{n} f^{- 1} (p_{i})$ なので,
命題1.11ii)より $\exists i s . t . p \supset f^{- 1} (p_{i})$ .
第5章演習問題10番i)(c)より,
$S p e c (B / p_{i}) \to S p e c (A / f^{- 1} (p_{i}))$ は全射なので,
$\exists q \supset p_{i} s . t . p = f^{- 1} (q)$
$q \supset p_{i} \supset b$ より $q \in V (b)$ なので, $p = f^{- 1} (q) \in f^{*} (V (b))$
従って $f^{*} (V (b)) \supset V (a)$ となるので,示された.