東大数理院試過去問解答例(2023B13)

ここでは東大数理の修士課程の院試の2023B13の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2023B13

$C^{1}$ 級関数 $x, y, z : R_{> 0} \to R$ に関する常微分方程式
${\begin{matrix} x^{'} = 4 γ x (z - x) \\ y^{'} = y (1 - x - y) \\ z^{'} = x (y - γ x) \end{matrix}$
を考える。ここで $γ$ は正の実数である。そしてこの常微分方程式の初期値 $x (0) = x_{0}, y (0) = y_{0}, z (0) = z_{0}$ は不等式
$0 < y_{0} < 1$
$0 < x_{0} < 2 z_{0}$
を満たしているとする。以下の問いに解答しなさい。

$x (t)$ 及び $y (t)$ は正値関数であることを示しなさい。
$2 z (t) - x (t)$ は正値関数であることを示しなさい。
$γ$ が十分に大きければ、この初期値問題は局所漸近安定な平衡点を持つことを示しなさい。

$ϕ : R_{> 0} \to R^{3}$ を $ϕ (t) = (x (t), y (t), z (t))$ で定義する。この像が $H = {(x, y, z) \in R^{3} | x = 0}$ に $ϕ (t_{1}) = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ に於いて交わるとする。ここでリプシッツ条件を満たす常微分方程式の解の一意性と構成により、 $ϕ$ の像は $t = t_{1}$ の近傍に於いては $H$ 上にある。しかしこれは $ϕ (0) \notin H$ に矛盾する。よって $ϕ$ は $H$ と交わらず、中間値の定理から $x (t)$ は正値関数である。
$y (t)$ の正値性も同様に示せる。
(1)と同様に示せる
この常微分方程式のヤコビアンを求めると
$(\begin{matrix} 4 γ (z - 2 x) & 0 & 4 γ x \\ - y & 1 - x - 2 y & 0 \\ y - 2 γ x & x & 0 \end{matrix})$
である。この常微分方程式の平衡点
$P = (\frac{1}{1 + γ}, \frac{γ}{1 + γ}, \frac{1}{1 + γ})$
を持つが、この点に於けるヤコビアンは $γ$ を充分大きくしたとき
$(\begin{matrix} - 4 & 0 & 4 \\ - 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \end{matrix})$
に収束し、この固有多項式は $(X + 2)^{2} (X + 1)$ であり、特に根は負の数である。よって $γ$ を充分大きくしたとき $P$ はこの初期値問題の局所漸近安定平衡点である。

投稿日：2月17日

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藍色日和

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