本記事ではアローの不可能性定理の証明を解説します。
アローの不可能性定理では以下の4つの条件が満たされることを仮定します。
本章ではアローの不可能性定理を証明します。
まずは、定理の中心となる「特定のペアに決定権を持つ集団」を定義します。
以下の条件を満たすとき、集団
また、決定権の条件を緩めた「弱決定権」も定義します。
以下の条件を満たすとき、集団
定理の証明は決定権の概念のみでも行えますが、弱決定権も導入することで補題の証明が簡潔になります。決定権を持てば弱決定権も持ちますので、定理の証明を理解する上では、弱決定権を決定権と読み替えていただいて問題ありません。
では、アローの不可能性定理を証明します。証明は複数の補題から構成されているため、本章では補題が成り立つことを前提に定理を証明し、次章で補題を証明します。
証明の全体像(どの補題を使ってどの補題を示すのか)を図1に示します。矢印の元の命題を使って矢印の先の命題を証明します。
証明の全体像
アローの不可能性定理は「(前述の仮定の下で)任意のペアに決定権を持つ個人が存在してしまう」(独裁になってしまう)という定理です。その存在を直接証明するのは難しいので、条件を緩めた「特定のペアに決定権を持つ集団」に対して、集団を個人に狭める&特定ペアを任意ペアに拡張することで導きます。
まずは、特定のペアに決定権を持つ集団が存在することを示します(補題2)。
次に、補題2における集団を個人に狭めるために、決定権を持つ集団の真の部分集合に、他のペアの決定権を持つものが存在することを示します(補題3)。補題2で示した集団に補題3を繰り返し適用することで、特定のペアに決定権を持つ個人がいることを示せます(補題4)。
最後に、補題4の特定ペアから任意ペアに拡張するために、特定のペアに決定権を持つ集団は、任意のペアに決定権を持つことを示します(補題5)。これを補題4に適用することで、任意のペアに決定権を持つ個人が存在することを示せます(定理1)。
本章では定理の構成要素となる補題を証明します。
【満場一致性】より、集団
補題が成り立つ集団
任意の集団
社会的厚生関数
補題2で示した集団に補題3を繰り返し適用することで、最終的には個人からなる集団が特定のペアに決定権を持つことを示せます。
任意の集団
以下の条件を満たす任意の選好順序
集団
以下の条件を満たす任意の選好順序
【独立性】より、
以上より、集団
(本証明は選択肢が4つ以上あることを前提とした証明ですが、選択肢が3つでも示せる証明もあります。)