距離空間を二項関係で定義する
距離空間の別定義をゲットしたのでメモ。何の役に立つかはさっぱりわからん。
まず、集合$X$上の距離とは$X\times X$から$\mathbb{R}^{+}_{0}$への写像で以下の公理を満たすものを指す。$\mathbb{R}^{+}_{0}$は非負実数全体で$+\infty$を含めない。
集合$X$上の距離とは、写像$d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}_0^+$で
を満たすもののこと。ペア$(X,d)$を距離空間という。
さて、公理のことは一旦置いといて、$X\times X$から$\mathbb{R}_0^+$への写像全体を言い換える。
$X\times X$から$\mathbb{R}_0^+$への写像$d\in\text{Map}(X\times X,\mathbb{R}_0^+)$は、$X$上二項関係の$\mathbb{Q}_0^+$個の族$U_\bullet=(U_\varepsilon)_{\varepsilon\in\mathbb{Q}_0^+}\in\text{Map}(\mathbb{Q}_0^+,\mathcal{P}(X\times X))$のうち、次の(I),(II)の条件を満たすものと一対一対応する。
その一対一対応は
\begin{array}{ccrl} \phi:\;\text{Map}(X\times X,\mathbb{R}_0^+) &\longrightarrow& \text{Map}(\mathbb{Q}_0^+,\mathcal{P}(X\times X))\cap\text{条件};& \\ d & \longmapsto & \phi(d):\;\mathbb{Q}_0^+\;\;\;\longrightarrow& \mathcal{P}(X\times X);\\&&\varepsilon\;\;\;\;\;\longmapsto&\{(x,y)\in X\times X\mid d(x,y)\leq\varepsilon\}=d^{-1}\big[[0,\varepsilon]\big]; \end{array}
\begin{array}{ccrl} \tau:\;\text{Map}(\mathbb{Q}_0^+,\mathcal{P}(X\times X))\cap\text{条件} &\longrightarrow& \text{Map}(X\times X,\mathbb{R}_0^+);& \\ U_\bullet & \longmapsto & \tau(U_\bullet):X\times X\longrightarrow& \mathcal{P}(X\times X);\\&&(x,y)\;\longmapsto&\inf_\mathbb{R}\{\varepsilon\in\mathbb{Q}_0^+\mid (x,y)\in U_\varepsilon\}; \end{array}
で与えられる*2。
要は$(x,y)\in U_\varepsilon\Longleftrightarrow d(x,y)\leq\varepsilon$になるようにするってこと。そういった意味で、$(x,y)\in U_\varepsilon$を「$(x,y)$は$\varepsilon$近」と私は呼んでいる。
[i] $\inf(A)<\varepsilon$のとき：
まず条件(II)の$(\forall q\in\mathbb{Q}_0^+)[U_q\subseteq\bigcap_{q<\delta'\in\mathbb{Q}_0^+}U_{\delta'}]$より、$A=\{\delta\in\mathbb{Q}_0^+\mid(x,y)\in U_\delta\}$は$\mathbb{Q}_0^+$上で上に閉。$\inf(A)<\varepsilon\Longleftrightarrow(\exists a\in A)[a<\varepsilon]$を仮定すると、$\varepsilon$は有理数で$A$は有理数上で上に閉なので$\varepsilon\in A$を得る。
[ii] $\inf(A)=\varepsilon$のとき：
まず$\varepsilon$は有理数なので、$\inf(A)\in\mathbb{Q}_0^+$。よって、$\inf(A)\in A$が言えればよい。[i]で条件(II)を使って
$$ (\forall\delta\in\mathbb{Q}_0^+)[\inf(A)<\delta\Longrightarrow\delta\in A]$$
を得た。ここで、条件(II)の$(\forall q\in\mathbb{Q}_0^+)[U_q\supseteq\bigcap_{q<\delta\in\mathbb{Q}_0^+}U_{\delta}]$は、
任意の$q\in\mathbb{Q}_0^+$に対して
$$ (\forall\delta\in\mathbb{Q}_0^+)[q<\delta\Longrightarrow\delta\in A]\Longrightarrow q\in A$$
と同値になる。$\inf(A)$は有理数なので、$q=\inf(A)$を入れて$\inf(A)\in A$を得る。
この同一視の下で、距離の４つの公理に対応する公理を書く。
$(X,U_\bullet)$を(I),(II)を満たすものとする。定理1の同一視の下で、対応する距離の公理はそれぞれ次のようになる*1。
$(x,y)\in U_\varepsilon\Longleftrightarrow d(x,y)\leq\varepsilon$と置き換えてチェックすれば十分。三角不等式以外は自明。三角不等式から(M4)が出ることも自明。
\begin{equation} A< B\Longleftrightarrow (\exists q\in\mathbb{Q}_0^+)[A\leq q< B] \end{equation}
になっている。対偶をとると、実数$A,B\geq 0$について
\begin{equation} (\forall q\in\mathbb{Q}_0^+)[A\leq q\Longrightarrow B\leq q]\Longleftrightarrow B\leq A \end{equation}
になる。これを２回適用すればいい。(M4)を仮定する。まず$d(x,y)\leq\varepsilon$となる$\varepsilon\in\mathbb{Q}_0^+$を任意に固定し、$A=d(y,z),B=d(x,z)-\varepsilon$として$d(x,z)-d(y,z)\leq\varepsilon$を得る。$A'=d(x,y),B'=d(x,z)-d(y,z)$として再度適用すれば得られる。
同様にして、非拡大写像も言い換えてみよう。
$(X,d_X),(Y,d_Y)$を距離空間とする。写像$f:X\rightarrow Y$が非拡大写像であるとは、次の性質を満たすこと。
$(X,U_\bullet),(Y,V_\bullet)$を(I),(II)を満たすものとする。定理1の同一視のもとで、非拡大性に対応する性質はこれだ*3。
定理2の証明と同じである。$A=d_X(x,y),B=d_Y(f(x),f(y))$と置けばよい。
最後に、今回私が導入した距離空間の定義まとめる。
距離空間とは、集合$X$と写像$U_\bullet:\mathbb{Q}_0^+\rightarrow\mathcal{P}(X\times X)$のペア$(X,U_\bullet)$のうち、公理(I),(II),(M1)～(M4)*1を満たすものである。
↑よく見るとこの定義は有理数しか使っていない.（...というのはあまり正確ではなくて、実数を有理数と(I),(II)に分解している）。何らかの形で実数が前もって定義されているならば、この定義は標準的な距離の定義と同値になる。
何か言っているようで何も言っていない
(M1)：$U_0\supseteq\Delta_X$
(M2)：$U_0\subseteq\Delta_X$
(M3)：$(\forall\varepsilon\in\mathbb{Q}_0^+)[U_\varepsilon\subseteq U_\varepsilon^\top]$
(M4)：$ (\forall\varepsilon,\delta\in\mathbb{Q}_0^+)[U_\varepsilon\circ U_\delta\subseteq U_{\varepsilon+\delta}]$
↩
