Well-poised 4φ3のq有限対称モーメント
今回は, 前の記事( Well-poised超幾何級数の有限対称モーメント )の定理4の$q$類似となる以下の等式を示す.
非負整数$N$に対し,
\begin{align}
&\left(\frac{bcd}{aq^2}\right)^N\frac{(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_N}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_N}\\
&\qquad\cdot\sum_{k=0}^N\frac{(a,b,c,d;q)_k}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_k}\left(\frac{aq^2}{bcd}\right)^k\left(\frac 1{1-wq^{N-k}/a}-\frac 1{1-wq^{N+k}}\right)\\
&=\sum_{n=0}^N\frac{(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_n}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_n}\frac{(a,b,c,d;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac 1{1-w/a}-\frac 1{1-wq^{2n}}\right)\\
&\qquad-\frac{w^2}{a^2}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_n}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_{n+1}}\frac{(a,b,c,d;q)_{n+1}}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\frac{1-w^2q^{2n+1}/a}{(1-w/a)(1-wq^{2n+1})}\\
&\qquad+(1-aq/bcd)\frac wa\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-w^2q^{2n+1}/a)(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_n}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_{n+1}}\left(\frac{bcd}{aq}\right)^{n+1}\\
&\qquad\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(1-aq^{2k})(a,b,c,d;q)_k}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_k}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^k
\end{align}
が成り立つ.
\begin{align}
c_k&:=\frac{(a,b,c,d;q)_k}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_k}\left(\frac{aq^2}{bcd}\right)^k\\
S_N&:=\left(\frac{bcd}{aq^2}\right)^N\frac{(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_N}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_N}\sum_{k=0}^Nc_k\left(\frac{1}{1-wq^{N-k}/a}-\frac 1{1-wq^{N+k}}\right)
\end{align}
とする. このとき,
\begin{align}
S_N-S_{N-1}&=\left(\frac{bcd}{aq^2}\right)^N\frac{(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_N}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_N}\sum_{k=0}^Nc_k\left(\frac{1}{1-wq^{N-k}/a}-\frac 1{1-wq^{N+k}}\right)\\
&\qquad-\left(\frac{bcd}{aq^2}\right)^{N-1}\frac{(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_{N-1}}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_{N-1}}\sum_{k=0}^{N-1}c_k\left(\frac{1}{1-wq^{N-k-1}/a}-\frac 1{1-wq^{N+k-1}}\right)\\
&=\frac{(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_N}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_N}\frac{(a,b,c,d;q)_N}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_N}\left(\frac{1}{1-w/a}-\frac 1{1-wq^{2N}}\right)\\
&\qquad+\left(\frac{bcd}{aq^2}\right)^N\frac{(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_N}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_N}\sum_{k=0}^{N-1}c_{k}\left(\frac{1}{1-wq^{N-k}/a}-\frac{1}{1-wq^{N+k}}\right)\\
&\qquad-\left(\frac{bcd}{aq^2}\right)^{N-1}\frac{(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_{N-1}}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_{N-1}}\sum_{k=0}^{N-1}c_{k}\left(\frac{1}{1-wq^{N-k-1}/a}-\frac{1}{1-wq^{N+k-1}}\right)\\
&=\frac{(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_N}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_N}\frac{(a,b,c,d;q)_N}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_N}\left(\frac{1}{1-w/a}-\frac 1{1-wq^{2N}}\right)\\
&\qquad+\left(\frac{bcd}{aq^2}\right)^{N-1}\frac{(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_{N-1}}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_N}\sum_{k=0}^{N-1}c_{k}\\
&\qquad\cdot\bigg(\frac{bcd}{aq^2}(1-wq^{N}/a)(1-wq^{N}/b)(1-wq^{N}/c)(1-wq^{N}/d)\left(\frac{1}{1-wq^{N-k}/a}-\frac{1}{1-wq^{N+k}}\right)\\
&\qquad-(1-wq^{N-1})(1-wbq^{N-1}/a)(1-wcq^{N-1}/a)(1-wdq^{N-1}/a)\left(\frac{1}{1-wq^{N-k-1}/a}-\frac{}{1-wq^{N+k-1}}\right)\bigg)
\end{align}
となる. ここで, 第2項の括弧の中について, 有理関数としての等式
\begin{align}
&\frac{bcd}{aq^2}(1-wq^{N}/a)(1-wq^{N}/b)(1-wq^{N}/c)(1-wq^{N}/d)\left(\frac{1}{1-wq^{N-k}/a}-\frac{1}{1-wq^{N+k}}\right)\\
&\qquad-(1-wq^{N-1})(1-wbq^{N-1}/a)(1-wcq^{N-1}/a)(1-wdq^{N-1}/a)\left(\frac{1}{1-wq^{N-k-1}/a}-\frac{1}{1-wq^{N+k-1}}\right)\\
&=\frac{wq^{N-k-1}}{a}(1-w^2q^{2N-1}/a)\bigg(\frac{(1-aq^k)(1-bq^k)(1-cq^k)(1-dq^k)}{(1-aq^{k-N+1}/w)(1-wq^{N+k})}\\
&\qquad-\frac{bcd}{aq}\frac{(1-q^k)(1-aq^{k}/b)(1-aq^{k}/c)(1-aq^{k}/d)}{(1-aq^{k-N}/w)(1-wq^{N+k-1})}+(bcd/aq-1)(1-aq^{2k})\bigg)
\end{align}
が成り立つことが確認できる. これを用いると
\begin{align}
&\sum_{k=0}^{N-1}c_{k}\bigg(\frac{bcd}{aq^2}(1-wq^{N}/a)(1-wq^{N}/b)(1-wq^{N}/c)(1-wq^{N}/d)\left(\frac{1}{1-wq^{N-k}/a}-\frac{1}{1-wq^{N+k}}\right)\\
&\qquad-(1-wq^{N-1})(1-wbq^{N-1}/a)(1-wcq^{N-1}/a)(1-wdq^{N-1}/a)\left(\frac{1}{1-wq^{N-k-1}/a}-\frac{1}{1-wq^{N+k-1}}\right)\bigg)\\
&=\frac{wq^{N-1}}{a}(1-w^2q^{2N-1}/a)\sum_{k=0}^{N-1}c_{k}q^{-k}\bigg(\frac{(1-aq^k)(1-bq^k)(1-cq^k)(1-dq^k)}{(1-aq^{k-N+1}/w)(1-wq^{N+k})}\\
&\qquad-\frac{bcd}{aq}\frac{(1-q^k)(1-aq^{k}/b)(1-aq^{k}/c)(1-aq^{k}/d)}{(1-aq^{k-N}/w)(1-wq^{N+k-1})}\bigg)\\
&\qquad+(bcd/aq-1)\frac{wq^{N-1}}a(1-w^2q^{2N-1}/a)\sum_{k=0}^{N-1}(1-aq^{2k})c_{k}q^{-k}
\end{align}
ここで, 望遠鏡和より, 第1項, 第2項は
\begin{align}
&\sum_{k=0}^{N-1}c_{k}q^{-k}\bigg(\frac{(1-aq^k)(1-bq^k)(1-cq^k)(1-dq^k)}{(1-aq^{k-N+1}/w)(1-wq^{N+k})}\\
&\qquad-\frac{bcd}{aq}\frac{(1-q^k)(1-aq^{k}/b)(1-aq^{k}/c)(1-aq^{k}/d)}{(1-aq^{k-N}/w)(1-wq^{N+k-1})}\bigg)\\
&=\sum_{k=0}^{N-1}\bigg(\frac{(a,b,c,d;q)_{k+1}}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_k}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^k\frac{1}{(1-aq^{k-N+1}/w)(1-wq^{N+k})}\\
&\qquad-\frac{(a,b,c,d;q)_{k}}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_{k-1}}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^{k-1}\frac{1}{(1-aq^{k-N}/w)(1-wq^{N+k-1})}\bigg)\\
&=\frac{(a,b,c,d;q)_N}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_{N-1}}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^{N-1}\frac{1}{(1-a/w)(1-wq^{2N-1})}
\end{align}
と計算できるので,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^{N-1}c_{k}\bigg(\frac{bcd}{aq^2}(1-wq^{N}/a)(1-wq^{N}/b)(1-wq^{N}/c)(1-wq^{N}/d)\left(\frac{1}{1-wq^{N-k}/a}-\frac{1}{1-wq^{N+k}}\right)\\
&\qquad-(1-wq^{N-1})(1-wbq^{N-1}/a)(1-wcq^{N-1}/a)(1-wdq^{N-1}/a)\left(\frac{1}{1-wq^{N-k-1}/a}-\frac{}{1-wq^{N+k-1}}\right)\bigg)\\
&=\frac{w}{a}(1-w^2q^{2N-1}/a)\frac{(a,b,c,d;q)_N}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_{N-1}}\left(\frac{aq^2}{bcd}\right)^{N-1}\frac{1}{(1-a/w)(1-wq^{2N-1})}\\
&\qquad+(bcd/aq-1)\frac{wq^{N-1}}a(1-w^2q^{2N-1}/a)\sum_{k=0}^{N-1}\frac{(1-aq^{2k})(a,b,c,d;q)_k}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_k}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^k
\end{align}
を得る. よって,
\begin{align}
S_N-S_{N-1}
&=\frac{(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_N}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_N}\frac{(a,b,c,d;q)_N}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_N}\left(\frac{1}{1-w/a}-\frac 1{1-wq^{2N}}\right)\\
&\qquad-\frac{w^2}{a^2}\frac{(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_{N-1}}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_N}\frac{(a,b,c,d;q)_N}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_{N-1}}\frac{1-w^2q^{2N-1}/a}{(1-w/a)(1-wq^{2N-1})}\\
&\qquad+(1-aq/bcd)\frac{w}a\frac{(1-w^2q^{2N-1}/a)(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_{N-1}}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_N}\left(\frac{bcd}{aq}\right)^{N}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{(1-aq^{2k})(a,b,c,d;q)_k}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_k}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^k
\end{align}
を得る. $N\mapsto n$として$n=1$から$N$まで足し合わせると,
\begin{align}
S_N&=S_0+\sum_{n=1}^N\frac{(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_n}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_n}\frac{(a,b,c,d;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{1}{1-w/a}-\frac 1{1-wq^{2n}}\right)\\
&\qquad-\frac{w^2}{a^2}\sum_{n=1}^N\frac{(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_{n-1}}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_n}\frac{(a,b,c,d;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_{n-1}}\frac{1-w^2q^{2n-1}/a}{(1-w/a)(1-wq^{2n-1})}\\
&\qquad+(1-aq/bcd)\frac{w}a\sum_{n=1}^N\frac{(1-w^2q^{2n-1}/a)(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_{n-1}}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_n}\left(\frac{bcd}{aq}\right)^{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(1-aq^{2k})(a,b,c,d;q)_k}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_k}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^k\\
&=\sum_{n=0}^N\frac{(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_n}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_n}\frac{(a,b,c,d;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{1}{1-w/a}-\frac 1{1-wq^{2n}}\right)\\
&\qquad-\frac{w^2}{a^2}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_{n}}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_{n+1}}\frac{(a,b,c,d;q)_{n+1}}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_{n}}\frac{1-w^2q^{2n+1}/a}{(1-w/a)(1-wq^{2n+1})}\\
&\qquad+(1-aq/bcd)\frac{w}a\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-w^2q^{2n+1}/a)(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_{n}}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_{n+1}}\left(\frac{bcd}{aq}\right)^{n+1}\sum_{k=0}^{n}\frac{(1-aq^{2k})(a,b,c,d;q)_k}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_k}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^k
\end{align}
となって示すべき等式を得る.
定理1において特に$aq/bcd=1$の場合は二重和の部分が消えて少しシンプルになる.
$aq/bcd=1$のとき, 非負整数$N$に対し,
\begin{align}
&\left(\frac{bcd}{aq^2}\right)^N\frac{(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_N}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_N}\\
&\qquad\cdot\sum_{k=0}^N\frac{(a,b,c,d;q)_k}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_k}\left(\frac{aq^2}{bcd}\right)^k\left(\frac 1{1-wq^{N-k}/a}-\frac 1{1-wq^{N+k}}\right)\\
&=\sum_{n=0}^N\frac{(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_n}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_n}\frac{(a,b,c,d;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac 1{1-w/a}-\frac 1{1-wq^{2n}}\right)\\
&\qquad-\frac{w^2}{a^2}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/a,wq/b,wq/c,wq/d;q)_n}{(w,wb/a,wc/a,wd/a;q)_{n+1}}\frac{(a,b,c,d;q)_{n+1}}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\frac{1-w^2q^{2n+1}/a}{(1-w/a)(1-wq^{2n+1})}
\end{align}
が成り立つ.
