Well-poised超幾何級数の有限対称モーメント
前の記事 でwell-poised${}_4F_3$の対称モーメントを得た. 今回はその有限類似を計算していきたい. 前の記事( 超幾何級数の有限モーメント , 超幾何級数の有限モーメント2 )の命題2をまとめると以下のようになる.
$b_r:=1$とする.
\begin{align}
c_n&:=\frac{(a_1,\dots,a_r)_n}{(b_1,\dots,b_r)_n}t^n\\
\mu_N(w)&:=\sum_{n=0}^N\frac{c_n}{n+w}
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
&\frac{(w+1-a_1,\dots,w+1-a_r)_N}{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_N}t^N\mu_N(w+N)\\
&=\sum_{n=0}^N\frac{(w+1-a_1,\dots,w+1-a_r)_n}{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_n}t^n\left(\frac{c_{n-1}}{w+2n-1}+\frac{c_n}{w+2n}\right)\\
&\qquad-(-1)^r\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a_1,\dots,w+1-a_r)_n}{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_{n+1}}t^np_n(w+n)
\end{align}
と
\begin{align}
\mu_N(w-N)&=\frac{(a_1-w,\dots,a_r-w)_N}{(b_1-w,\dots,b_r-w)_N}t^N\sum_{n=0}^N\frac{(b_1-w,\dots,b_r-w)_{n-1}}{(a_1-w,\dots,a_r-w)_nt^n}p_n(w-n)
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
p_N(w)&:=\sum_{n=0}^N\frac{(b_1-w-1)\cdots(b_r-w-1)-(b_1+n-1)\cdots(b_r+n-1)}{n+w}c_n\\
&\qquad-\sum_{n=0}^N\frac{(a_1-w-1)\cdots(a_r-w-1)-(a_1+n-1)\cdots(a_r+n-1)}{n+w}tc_{n-1}
\end{align}
によって定義される.
今回は興味をWell-poisedなもの, つまり
\begin{align}
c_n&:=\frac{(b_1,\dots,b_r)_n}{(1+a-b_1,\dots,1+a-b_r)_n}t^n, t\in\{1,-1\},b_r:=a
\end{align}
に制限して考える.
\begin{align}
\hat{\mu}_N^a(w)&:=-\mu_N(w)-\mu_N(a-w)
\end{align}
によって有限対称モーメントを導入する. この場合に命題1を適用すると,
\begin{align}
&\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_N}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_N}t^N\mu_N(w+N)\\
&=\sum_{n=0}^N\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_n}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_n}t^n\left(\frac{c_{n-1}}{w+2n-1}+\frac{c_n}{w+2n}\right)\\
&\qquad-(-1)^r\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_n}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_{n+1}}t^np_n(w+n)
\end{align}
と
\begin{align}
\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_N}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_N}t^N\mu_N(a-w-N)&=\sum_{n=0}^N\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_{n-1}}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_n}t^np_n(a-w-n)
\end{align}
が得られる. これらより,
\begin{align}
&\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_N}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_N}t^N\hat{\mu}^a_N(w+N)\\
&=-\sum_{n=0}^N\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_n}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_n}t^n\left(\frac{c_{n-1}}{w+2n-1}+\frac{c_n}{w+2n}\right)\\
&\qquad+(-1)^r\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_n}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_{n+1}}t^n(p_n(w+n)-(-1)^rtp_{n+1}(a-w-n-1))\\
&\qquad-\frac 1{(w-b_1)\cdots(w-b_r)}p_0(a-w)
\end{align}
を得る. この場合の$p_n(w)$は
\begin{align}
p_N(w)&=\sum_{n=0}^N\frac{(a-b_1-w)\cdots(a-b_r-w)-(a-b_1+n)\cdots(a-b_r+n)}{n+w}c_n\\
&\qquad-\sum_{n=0}^N\frac{(b_1-w-1)\cdots(b_r-w-1)-(b_1+n-1)\cdots(b_r+n-1)}{n+w}tc_{n-1}
\end{align}
で与えられる. 特に,
\begin{align}
p_0(w)&=\frac{(a-b_1-w)\cdots(a-b_r-w)}{w}
\end{align}
である. まとめると以下を得る.
\begin{align}
c_n&:=\frac{(b_1,\dots,b_r)_n}{(1+a-b_1,\dots,1+a-b_r)_n}t^n, t\in\{1,-1\},b_r:=a\\
\mu_N(w)&:=\sum_{n=0}^N\frac{c_n}{n+w}\\
\hat{\mu}_N^a(w)&:=-\mu_N(w)-\mu_N(a-w)
\end{align}
とする. このとき,
\begin{align}
&\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_N}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_N}t^N\hat{\mu}_N^a(w+N)\\
&=-\sum_{n=0}^N\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_n}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_n}t^n\left(\frac{c_{n-1}}{w+2n-1}+\frac{c_n}{w+2n}\right)\\
&\qquad+(-1)^r\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_n}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_{n+1}}t^n\hat{p}_n(n+w)\\
&+\frac{(w-b_1)\cdots(w-b_r)}{w-a}
\end{align}
ここで,
\begin{align}
p_N(w)&:=\sum_{n=0}^N\frac{(a-b_1-w)\cdots(a-b_r-w)-(a-b_1+n)\cdots(a-b_r+n)}{n+w}c_n\\
&\qquad-\sum_{n=0}^N\frac{(b_1-w-1)\cdots(b_r-w-1)-(b_1+n-1)\cdots(b_r+n-1)}{n+w}tc_{n-1}\\
\hat{p}_N(w)&:=p_N(w)-(-1)^rtp_{N+1}(a-w-1)
\end{align}
によって定義される.
多項式$\hat{p}_N(w)$は
\begin{align}
\hat{p}_N(w)&=\sum_{n=0}^N\frac{(a-b_1-w)\cdots(a-b_r-w)-(a-b_1+n)\cdots(a-b_r+n)}{n+w}c_n\\
&\qquad-\sum_{n=0}^N\frac{(b_1-w-1)\cdots(b_r-w-1)-(b_1+n-1)\cdots(b_r+n-1)}{n+w}tc_{n-1}\\
&\qquad-(-1)^rt\sum_{n=0}^{N+1}\frac{(w+1-b_1)\cdots(w+1-b_r)-(a-b_1+n)\cdots(a-b_r+n)}{n+a-w-1}c_n\\
&\qquad+(-1)^r\sum_{n=0}^{N+1}\frac{(w+b_1-a)\cdots(w+b_r-a)-(b_1+n-1)\cdots(b_r+n-1)}{n+a-w-1}c_{n-1}\\
&=\sum_{n=0}^N\frac{(a-b_1-w)\cdots(a-b_r-w)-(a-b_1+n)\cdots(a-b_r+n)}{n+w}c_n\\
&\qquad-t\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(b_1-w-1)\cdots(b_r-w-1)-(b_1+n)\cdots(b_r+n)}{n+w+1}c_{n}\\
&\qquad-t\sum_{n=0}^{N+1}\frac{(b_1-w-1)\cdots(b_r-w-1)-(b_1-n-a)\cdots(b_r-n-a)}{n+a-w-1}c_n\\
&\qquad+\sum_{n=0}^{N}\frac{(a-b_1-w)\cdots(a-b_r-w)-(-b_1-n)\cdots(-b_r-n)}{n+a-w}c_{n}\\
&=\sum_{n=0}^N\hat{F}(n,w)c_n+t\frac{(b_1-w-1)\cdots(b_r-w-1)-(b_1+N)\cdots(b_r+N)}{N+w+1}c_{N}\\
&\qquad-t\frac{(b_1-w-1)\cdots(b_r-w-1)-(b_1-N-a-1)\cdots(b_r-N-a-1)}{N+a-w}c_{N+1}
\end{align}
ここで, $F,\hat{F}$は多項式
\begin{align}
F(x,w)&:=\frac{(a-b_1-w)\cdots(a-b_r-w)-(a-b_1+x)\cdots(a-b_r+x)}{x+w}\\
&\qquad-t\frac{(b_1-w-1)\cdots(b_r-w-1)-(b_1+x)\cdots(b_r+x)}{x+w+1}\\
\hat{F}(x,w)&:=F(x,w)-F(-x-a,w)
\end{align}
である.
\begin{align}
\left(x+\frac a2-b_1\right)\cdots\left(x+\frac a2-b_r\right)=:\sum_{k=0}^rs_{r-k}x^k
\end{align}
とすると,
\begin{align}
\hat{F}(x,w)&=2\sum_{k=1}^rs_{r-k}\sum_{\substack{0\leq i,j,i+j=k-1\\j:\mathrm{odd}}}\left(-\left(\frac a2-w\right)^i+(-1)^{r}t\left(w+1-\frac a2\right)^i\right)\left(x+\frac a2\right)^j
\end{align}
となることを
前の記事
の命題3の後で示した. これらより
\begin{align}
\hat{p}_n(n+w)&=\sum_{k=0}^n\hat{F}(k,n+w)c_k+t\frac{(b_1-n-w-1)\cdots(b_r-n-w-1)-(b_1+n)\cdots(b_r+n)}{w+2n+1}c_n\\
&\qquad-t\frac{(b_1-n-w-1)\cdots(b_r-n-w-1)-(b_1-n-a-1)\cdots(b_r-n-a-1)}{a-w}c_{n+1}
\end{align}
となる. これを命題2に代入すると,
\begin{align}
&\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_N}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_N}t^N\hat{\mu}_N^a(w+N)\\
&=-\sum_{n=0}^N\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_n}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_n}t^n\left(\frac{c_{n-1}}{w+2n-1}+\frac{c_n}{w+2n}\right)\\
&\qquad+(-1)^r\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_n}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_{n+1}}t^n\sum_{k=0}^n\hat{F}(k,n+w)c_k\\
&\qquad+(-1)^r\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_n}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_{n+1}}t^{n+1}\frac{(b_1-n-w-1)\cdots(b_r-n-w-1)-(b_1+n)\cdots(b_r+n)}{w+2n+1}c_n\\
&\qquad-(-1)^r\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_n}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_{n+1}}t^{n+1}\frac{(b_1-n-w-1)\cdots(b_r-n-w-1)-(b_1-n-a-1)\cdots(b_r-n-a-1)}{a-w}c_{n+1}\\
&\qquad+\frac{(w-b_1)\cdots(w-b_r)}{w-a}\\
&=-\sum_{n=0}^N\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_n}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_n}t^n\frac{c_n}{w+2n}\\
&\qquad+(-1)^r\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_n}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_{n+1}}t^n\sum_{k=0}^n\hat{F}(k,n+w)c_k\\
&\qquad-(-1)^r\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_n}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_{n+1}}t^{n+1}\frac{(b_1+n)\cdots(b_r+n)}{w+2n+1}c_n\\
&\qquad-\frac{1}{a-w}\sum_{n=0}^N\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_{n}}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_{n}}t^{n}c_{n}\\
&\qquad+\frac 1{a-w}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_n}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_{n+1}}t^{n+1}(1+a-b_1+n)\cdots(1+a-b_r+n)c_{n+1}
\end{align}
整理すると, 以下を得る.
$b_r:=a$とするとき,
\begin{align}
&\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_N}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_N}t^N\hat{\mu}_N^a(w+N)\\
&=-\sum_{n=0}^N\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_n}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_n}\frac{(b_1,\dots,b_r)_n}{(1+a-b_1,\dots,1+a-b_r)_n}\left(\frac{1}{w+2n}+\frac 1{a-w}\right)\\
&\qquad-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_n}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_{n+1}}\frac{(b_1,\dots,b_r)_{n+1}}{(1+a-b_1,\dots,1+a-b_r)_n}\left(\frac{(-1)^rt}{w+2n+1}-\frac 1{a-w}\right)\\
&\qquad +(-1)^r\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_n}{(w+b_1-a,\dots,w+b_r-a)_{n+1}}t^n\sum_{k=0}^n\hat{F}(k,n+w)c_k
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
\left(x+\frac a2-b_1\right)\cdots\left(x+\frac a2-b_r\right)=:\sum_{k=0}^rs_{r-k}x^k
\end{align}
として
\begin{align}
\hat{F}(x,w)&=2\sum_{k=1}^rs_{r-k}\sum_{\substack{0\leq i,j,i+j=k-1\\j:\mathrm{odd}}}\left(-\left(\frac a2-w\right)^i+(-1)^{r}t\left(w+1-\frac a2\right)^i\right)\left(x+\frac a2\right)^j
\end{align}
と表される.
${}_4F_3$の場合
$r=4, t=1$の場合,
\begin{align}
c_n&=\frac{(a,b,c,d)_n}{n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}
\end{align}
とする.
前の記事
の命題3の後で
\begin{align}
F(x,w)&=(1+a-b-c-d)(2w+1-a)(2x+a)
\end{align}
となることを示した. これを命題3に代入すると, 以下を得る.
\begin{align}
&\frac{(w+1-a,w+1-b,w+1-c,w+1-d)_N}{(w,w+b-a,w+c-a,w+d-a)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(a,b,c,d)_n}{n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}\left(\frac 1{N-n-a+w}-\frac 1{N+n+w}\right)\\
&=-\sum_{n=0}^N\frac{(w+1-a,w+1-b,w+1-c,w+1-d)_n}{(w,w+b-a,w+c-a,w+d-a)_n}\frac{(a,b,c,d)_n}{n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}\left(\frac{1}{w+2n}+\frac 1{a-w}\right)\\
&\qquad-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a,w+1-b,w+1-c,w+1-d)_n}{(w,w+b-a,w+c-a,w+d-a)_{n+1}}\frac{(a,b,c,d)_{n+1}}{n!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_n}\left(\frac{1}{w+2n+1}-\frac 1{a-w}\right)\\
&\qquad +(1+a-b-c-d)\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2(n+w)+1-a)(w+1-a,w+1-b,w+1-c,w+1-d)_n}{(w,w+b-a,w+c-a,w+d-a)_{n+1}}\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)(a,b,c,d)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_k}
\end{align}
が成り立つ.
特に$1+a-b-c-d=0$の場合, 右辺の二重和の部分が消えて少しシンプルになることが分かる. 定理4において$a=b=c=d$とすると,
\begin{align}
&\frac{(w+1-a)_N^4}{(w)_N^4}\sum_{n=0}^N\frac{(a)_n^4}{n!^4}\left(\frac 1{N-n-a+w}-\frac 1{N+n+w}\right)\\
&=-\sum_{n=0}^N\frac{(w+1-a)_n^4}{(w)_n^4}\frac{(a)_n^4}{n!^4}\left(\frac{1}{w+2n}+\frac 1{a-w}\right)-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a)_n^4}{(w)_{n+1}^4}\frac{(a)_{n+1}^4}{n!^4}\left(\frac{1}{w+2n+1}-\frac 1{a-w}\right)\\
&\qquad +(1-2a)\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(2(n+w)+1-a)(w+1-a)_n^4}{(w)_{n+1}^4}\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)(a)_k^4}{k!^4}
\end{align}
となる. 特に$a=\frac 12$のとき,
\begin{align}
&\frac{\left(w+\frac 12\right)_N^4}{(w)_N^4}\sum_{n=0}^N\frac{\left(\frac 12\right)_n^4}{n!^4}\left(\frac 1{N-n-\frac 12+w}-\frac 1{N+n+w}\right)\\
&=-\sum_{n=0}^N\frac{\left(w+\frac 12\right)_n^4}{(w)_n^4}\frac{\left(\frac 12\right)_n^4}{n!^4}\left(\frac{1}{w+2n}+\frac 1{\frac 12-w}\right)-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\left(w+\frac 12\right)_n^4}{(w)_{n+1}^4}\frac{\left(\frac 12\right)_{n+1}^4}{n!^4}\left(\frac{1}{w+2n+1}-\frac 1{\frac 12-w}\right)
\end{align}
これに$w^4$を掛けて$w\to 0$とすると,
\begin{align}
&\frac{\left(\frac 12\right)_N^4}{(N-1)!^4}\sum_{n=0}^N\frac{\left(\frac 12\right)_n^4}{n!^4}\left(\frac 1{N-n-\frac 12}-\frac 1{N+n}\right)\\
&=-\sum_{n=1}^N\frac{\left(\frac 12\right)_n^4}{(n-1)!^4}\frac{\left(\frac 12\right)_n^4}{n!^4}\left(\frac{1}{2n}+2\right)-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\left(\frac 12\right)_n^4\left(\frac 12\right)_{n+1}^4}{n!^8}\left(\frac{1}{2n+1}-2\right)\\
&=-\frac{\left(\frac 12\right)_N^8}{(N-1)!^4N!^4}\left(\frac 1{2N}+2\right)-\frac 12\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\left(\frac 12\right)_n^8}{n!^8}n^3\left(4n+1\right)+\frac 12\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\left(\frac 12\right)_n^8}{n!^8}\left(n+\frac 12\right)^3(4n+1)\\
&=-\frac{\left(\frac 12\right)_N^8}{(N-1)!^4N!^4}\left(\frac 1{2N}+2\right)+\frac 1{64}\sum_{n=0}^{N-1}(4n+1)(3(4n+1)^2+1)\frac{\left(\frac 12\right)_n^8}{n!^8}
\end{align}
つまり,
\begin{align}
&\frac{\left(\frac 12\right)_N^4}{(N-1)!^4}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\left(\frac 12\right)_n^4}{n!^4}\left(\frac 1{N-n-\frac 12}-\frac 1{N+n}\right)=\frac 1{64}\sum_{n=0}^{N-1}(4n+1)(3(4n+1)^2+1)\frac{\left(\frac 12\right)_n^8}{n!^8}
\end{align}
を得る.
定理1において$d\to\infty$とすると以下を得る.
\begin{align}
&\frac{(-1)^N(w+1-a,w+1-b,w+1-c)_N}{(w,w+b-a,w+c-a)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(-1)^n(a,b,c)_n}{n!(1+a-b,1+a-c)_n}\left(\frac 1{N-n-a+w}-\frac 1{N+n+w}\right)\\
&=-\sum_{n=0}^N\frac{(w+1-a,w+1-b,w+1-c)_n}{(w,w+b-a,w+c-a)_n}\frac{(a,b,c)_n}{n!(1+a-b,1+a-c)_n}\left(\frac{1}{w+2n}+\frac 1{a-w}\right)\\
&\qquad-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a,w+1-b,w+1-c)_n}{(w,w+b-a,w+c-a)_{n+1}}\frac{(a,b,c)_{n+1}}{n!(1+a-b,1+a-c)_n}\left(\frac{1}{w+2n+1}-\frac 1{a-w}\right)\\
&\qquad -\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(-1)^n(2(n+w)+1-a)(w+1-a,w+1-b,w+1-c)_n}{(w,w+b-a,w+c-a)_{n+1}}\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k(2k+a)(a,b,c)_k}{k!(1+a-b,1+a-c)_k}
\end{align}
が成り立つ.
有限対称モーメントは通常の対称モーメントと違い, 係数に無限和が現れないので, 一般のwell-poised超幾何級数の場合も同様に計算できるという利点がある.
