幻影ゼータ関数の非自明な零点スペクトルと重原子核のエネルギー準位の揺らぎ

　代数的に定義された幻影ゼータ関数ではあったが，$(\mathop{\mathrm{Re}}x>1)\left.\right.\&\left.\right.(\mathop{\mathrm{Re}}x+\mathop{\mathrm{Re}}y>1)$なる収束領域では本来のディリクレ級数の無限総和と一致する．
$$ \begin{aligned} \zeta_\mathbb{PH}(z) &=\zeta_\mathbb{PH}(x+y\wp) \\ &=\zeta(x)\cdot(1-\wp)+\zeta(x+y)\cdot\wp \\ &=\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^x}\right)(1-\wp)+\left(\sum_{m=1}^\infty\frac{1}{m^{x+y}}\right)\wp \\ &=\left.\left.\sum_{n=1}^\infty\right(e^{-x\ln n}(1-\wp)\right)+\left.\left.\sum_{m=1}^\infty\right(e^{-(x+y)\ln m}\wp\right) \\ &=\left.\left.\sum_{n=1}^\infty\right(e^{-x\ln n}(1-\wp)+e^{-(x+y)\ln n}\wp\right) \\ &=\left.\left.\sum_{n=1}^\infty\right(e^{-x\ln n}(1-\wp)+e^{-(x+y)\ln n}\wp+0\right) \\ &=\left.\left.\sum_{n=1}^\infty\right(e^{-x\ln n}(1-\wp)+e^{-(x+y)\ln n}\wp+((1-(1-\wp))+(1-\wp)-1)\right) \\ &=\left.\left.\sum_{n=1}^\infty\right((1+e^{-x\ln n}(1-\wp)-(1-\wp))+(1+e^{-(x+y)\ln n}\wp-\wp)-1\right) \\ &=\left.\left.\sum_{n=1}^\infty\right((1+(e^{-x\ln n}-1)(1-\wp))+(1+(e^{-(x+y)\ln n}-1)\wp)-1\right) \\ &=\left.\left.\sum_{n=1}^\infty\right(e^{(-x\ln n)(1-\wp)}+e^{(-(x+y)\ln n)\wp}-1\right) \\ &=\left.\left.\sum_{n=1}^\infty\right.e^{(-x\ln n)(1-\wp)+(-(x+y)\ln n)\wp}\right.\phantom{\Biggl(\Biggr)} \\ &=\left.\left.\sum_{n=1}^\infty\right.e^{-(x(1-\wp)+(x+y)\wp)\ln n}\right.\phantom{\Biggl(\Biggr)} \\ &=\left.\left.\sum_{n=1}^\infty\right.e^{-(x+y\wp)\ln n}\right.\phantom{\Biggl(\Biggr)} \\ &=\left.\left.\sum_{n=1}^\infty\right.e^{-z\ln n}\right.\phantom{\Biggl(\Biggr)} \\ &=\left.\left.\sum_{n=1}^\infty\right.\frac{1}{n^z}\right.\phantom{\Biggl(\Biggr)} \\ &=\zeta(z). \end{aligned} $$
　次に，環準同型定理と中国剰余定理より次に示す環同型が成り立つので，
$$ \begin{aligned} \mathbb{PH}(\mathbb{C}) &\cong\mathbb{C}[X]/(X^2-X) \\ &\cong\mathbb{C}[X]/(X)\times\mathbb{C}[X]/(X-1) \\ &\cong\mathbb{C}^2\enspace(\cong\mathbb{R}^4). \end{aligned} $$
幻影ゼータ関数は次の通りベクトル値２変数複素関数$\zeta_\mathbb{PH}\left.\right.\colon\left.\right.\left.\right.\mathbb{C}^2\setminus\{z=(x,x+y)\in\mathbb{C}^2\mid(x=1)\lor(x+y=1)\}\to\mathbb{C}^2$と看做せる．
$$\zeta_\mathbb{PH}\begin{pmatrix}x\\x+y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\zeta(x)\\\zeta(x+y)\end{pmatrix}.$$
又更に，環同型$\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2$から幻影平面$\mathbb{PH}(\mathbb{C})$は４次の実数空間とも捉えられユークリッド距離が誘導する位相を定められるから，リーマン・ゼータ関数の正則性と多変数複素関数論の「ハルトークスの定理」から収束領域$\{z=(x,x+y)\in\mathbb{C}^2\mid(\mathop{\mathrm{Re}}x>1)\land(\mathop{\mathrm{Re}}x+\mathop{\mathrm{Re}}y>1)\}$に於いての，ベクトル値２変数複素関数として扱った場合の幻影ゼータ関数の正則性は明らか．
　故に，収束領域$\{z=(x,x+y)\in\mathbb{C}^2\mid(\mathop{\mathrm{Re}}x>1)\land(\mathop{\mathrm{Re}}x+\mathop{\mathrm{Re}}y>1)\}$は２次の直積複素数環$\mathbb{C}^2$に於いて非空な開集合なので，多変数複素関数論の「一致の定理」の条件の充足が確認される．同定理を適用することで，幻影ゼータ関数が$(x=1)\left.\right.\text{or}\left.\right.(x+y=1)$なる特異$\text{“}$平面$\text{”}$を除いた連結な領域全域へ唯一つの形として解析接続されることが承認されよう．
$\square$

　各成分での代数的な独立性は本質的に幻影ゼータ関数の場合と何一つ変わらず省略．以降も同様に証明を省略．
$\square$

　幻影許容インデックス
$$\boldsymbol{\mathcal{K}}^\phantom{\dagger}\coloneqq\pmb{k}^\phantom{\dagger}+(\pmb{k}^\dagger-\pmb{k})\wp$$
を考える．それの幻影双対インデックスを計算すると，
$$\boldsymbol{\mathcal{K}}^\dagger\coloneqq\pmb{k}^\dagger+(\pmb{k}-\pmb{k}^\dagger)\wp=\overline{\boldsymbol{\mathcal{K}}}^\mathbb{PH}$$
が確認され，特に今回の場合に限り幻影双対と幻影共役が完全に一致するというのは興味深い．幻影シフト$L=l(1-\wp)+0\cdot\wp$の条件を設定し，幻影・大野関係式に諸々のパラメータを組み込んで計算すれば，
$$\left(\sum_{\vert{}\boldsymbol{e}\vert{}=l}\zeta(\pmb{k}+\boldsymbol{e})\right)\cdot(1-\wp)+\underline{\zeta(\pmb{k}^\dagger)\cdot\wp}=\left(\sum_{\vert{}\boldsymbol{e}^\prime\vert{}=l}\zeta(\pmb{k}^\dagger+\boldsymbol{e}^\prime)\right)\cdot(1-\wp)+\underline{\zeta(\pmb{k})\cdot\wp}$$
が帰結され，傍線の幻影基底の係数比較で与式を得る．尚，大野関係式は双対関係式を仮定していなく議論は循環していない．
$\square$