ゼータ関数の積分表示？
初投稿です。主に自分が思いついたことを書いていくつもりです(既出かもしれないけど)。今回は、正の整数に対するζ関数の表示が得られたので紹介します。
用いる定理
定理:オイラーの和公式:$(0,∞)$上の$C^1$級関数に対して、
$$ \sum_{n=1}^{[x]}f(n)= \int_{1}^{x}f(t)dt+ \int_{1}^{x}(t-[t]) f^{\prime}(t)dt+f(x)([x]-x)+f(1) $$
＜proof＞$1$$\leq$$n$$\leq$$x$が整数なら、
$$
\int_{n-1}^{n}[t] f^{\prime}(t)dt= \int_{n-1}^{n}(n-1) f^{\prime}(t)dt=(nf(n)-(n-1)f(n-1))-f(n)
$$
これを$n=2からn=[x]$の和をとって
$$
\int_{1}^{[x]}[t] f^{\prime}(t)dt=[x]f([x])-f(1)-\sum_{n=2}^{[x]}f(n)=[x]f([x])- \sum_{n=1}^{[x]}f(n)
$$
$[x]\leq t< x$なら$ [t]=[x] $より、
$$
\int_{[x]}^{x}[t] f^{\prime}(t)dt=[x](f(x)-f([x]))
$$
よって
$$
\int_{1}^{x}[t] f^{\prime}(t)dt=[x]f(x)- \sum_{n=1}^{[x]}f(n)
$$
一方部分積分により、
$$
\int_{1}^{x}t f^{\prime}(t)dt=xf(x)-f(1)- \int_{1}^{x}f(t)dt
$$
よって,
$$
\int_{1}^{x}(t-[t]) f^{\prime}(t)dt
$$
を計算することで示せる。$\Box$
本題
2以上の整数nに対して、
$$
\frac{ζ(n)}{n}= \int_{1}^{∞} \frac{[t]}{t^{n+1}}dt
$$
<proof＞オイラーの和公式において$f(x)= \frac{1}{x^n}$とし,$\lim_{x\to\infty}$
をとれば,
$$
\sum_{l=1}^{∞}l^{-n}=ζ(n)= \int_{1}^{∞} \frac{1}{t^n}dt+(-n)\int_{1}^{∞} \frac{t-[t]}{t^{n+1}}dt+0+1=\frac{-1}{1-n}+(-n)\int_{1}^{∞} \frac{t-[t]}{t^{n+1}}dt+1= \frac{n}{n-1}+(-n)\int_{1}^{∞} \frac{t-[t]}{t^{n+1}}dt
$$
よって,
$$
\frac{ζ(n)}{n}= \frac{1}{n-1}-\int_{1}^{∞} \frac{t-[t]}{t^{n+1}}dt=-\int_{1}^{∞} \frac{t}{t^{n+1}}+\int_{1}^{∞} \frac{[t]}{t^{n+1}}+\frac{1}{n-1}=-\int_{1}^{∞} \frac{1}{t^{n}}+\int_{1}^{∞} \frac{[t]}{t^{n+1}}+\frac{1}{n-1}
$$
ここで,
$$
\int_{1}^{∞} \frac{1}{t^n}dt= \frac{-1}{n-1}
$$
より
$$
\frac{ζ(n)}{n}= \int_{1}^{∞} \frac{[t]}{t^{n+1}}
$$
$$
\Box
$$
とはいえこの等式は、ζ関数の定義を積分で表しているだけなので、応用は効かないかもしれません。
おわりに
実は別の証明もありますが考えてくださった方に投稿許可を取ってないのでやめておきます。
今後もζ関数に関する話題は投稿するつもりです。
おわり$\square$
