位数2p(p≧3)の群の分類

ラグランジュの定理により、$G$の元の位数の候補は$1,2,p,2p$である。
ここで、位数$p,2p$の元が存在する場合、命題1は満たされている。
以後$G$には位数2以下の元しか存在しなかったと仮定する。
$G$は可換なので、その位数2の元$y$により生成される群$H$は正規部分群になる。
そうすると、$G/H=\{a_kH|1\leqq k\leqq p\}$となるが、$a_k^p\in H$であり、$a_k$の位数は$2$なので、$a_k^p=a_k\in H$
これにより$G=H$が結論されるので不合理である。
よって、命題1が証明された。

$G$の位数$p$の元$x$によって生成される群を$H=\langle x \rangle$
とおく。$H$は指数2の部分群なので、$H\triangleleft G$ となる。
$G$はある$a\in G\setminus H$によって、$G=H\oplus aH$と書くことができる。
$G$は$a,x$によって生成されることがわかり、位数6の場合と同様に考えることで、$G$は$\mathbb{Z}/2p\mathbb{Z}$か$D_{2p}$となることがわかる。