選択公理を使わない弱い圏同値の定義

$f\colon A \to C$は全射だとする。このとき、任意の$b \in B$に対し、ある$a\in A$で、$f a = g b$を満たすものが存在する。
よって、任意の$b \in B$に対し、ある$a \in A$で$(a,b) \in P$を満たすものが存在するから、射影$r \colon P \to B,(a,b) \mapsto b$は全射である。
□

関手$F$の対象のクラス間写像の部分に注目する。これを$\Phi$で表すことにする。$\Phi \colon|\mathcal{A}| \to |\mathcal{B}|$に基づいてインフレーション$[\Phi]_{\mathcal{B}}$を構成する。
このとき、関手$\overline{F}\colon \mathcal{A} \to [\Phi]_{\mathcal{B}}$を次で与えられる。

• 対象のクラス間写像として、$\overline{F}A = A$(対象上の恒等写像)
• 射のクラス間写像として、$\overline{F}\colon \mathcal{A}(A,A')\to [\Phi]_{\mathcal{B}}(A,A'),a \mapsto Fa$
  仮定より$F$は充満忠実であるから、任意の$A,A' \in |\mathcal{A}|$について$\overline{F}\colon \mathcal{A}(A,A') \to [\Phi]_{\mathcal{A}}(A,A')$は射のクラス間の全単射。
  また対象のクラス間写像としても全単射であるから、逆射が構成できる。よって$\overline{F}$は同型関手であり、$\mathcal{A}$と$[\Phi]_{\mathcal{B}}$は圏同型。
  □

定義より、$T \colon [T]_{\mathcal{A}} \to \mathcal{A},U \colon [U]_{\mathcal{A}} \to \mathcal{A}$はどちらも対象上全射な充満忠実関手。
これらの対象のクラス上の写像に注目し、引き戻しを取る。
$$ \mathcal{P} \overset{\mathrm{def}}{=} \{ (X,Y) \in |[T]_{\mathcal{A}}|\times |[U]_{\mathcal{A}}| \mid TX = UY \} $$
命題1より、射影$L\colon \mathcal{P} \to |[T]_{\mathcal{A}}|,R \colon \mathcal{P} \to |[U]_{\mathcal{A}}|$は全射であり、かつ$T \circ L = U \circ R$が成立。
全射の合成は全射であるから、$T \circ L$は対象のクラス間の全射である。よって$\mathcal{P}$に$\mathcal{B}$のインフレーションを入れられる。

$[T \circ L]_{\mathcal{B}}$は$[T]_{\mathcal{B}},[U]_{\mathcal{B}}$両方のインフレーションであることを示す。
$L,R$は対象上全射であることがすでに分かっているので、充満忠実性を示せば良いが、これは直ちに従う。任意の$(A,B),(A',B') \in \mathcal{P}$に対し、
$$ [T\circ L]_{\mathcal{A}}((A,B),(A',B')) = \mathcal{A}(TA,TA') = [T]_{\mathcal{A}}(A,A') $$
が成り立つから、射のクラス間の恒等写像が$L$の射の割り当てである。よって$L$は充満忠実かつ対象上全射な関手であるから、
直前の命題より、$[T]_{\mathcal{A}}$上のインフレーションで$[T \circ L]_{\mathcal{A}}$と同型なものが存在する。
$R \circ U$に関しても全く同様に考えることができて、$[U]_{\mathcal{A}}$上のインフレーションで$[U \circ R]_{\mathcal{A}}$と同型なものが存在する。
$[T \circ L]_{\mathcal{A}} = [U \circ R]_{\mathcal{A}}$より、主張成立。
□

$\mathcal{A} \simeq \mathcal{B}$かつ$\mathcal{B} \simeq \mathcal{C}$のとき、次の図が成り立つ。
圏同値の推移律の証明
ただし$[T \circ L]_{\mathcal{B}}$及び$L,R$とは、直前の命題と同様に構成したインフレーションと関手である。
図中で$S \circ \Theta \circ L,V \circ \Psi \circ R$はどちらも対象上全射な充満忠実関手であるから、
命題2より$\mathcal{A},\mathcal{C}$それぞれの上のインフレーションで$[T \circ L]_{\mathcal{B}}$と同型なものが存在する。
よって、$\mathcal{A} \simeq \mathcal{C}$が従う。
□

インフレーションの定義より、任意の$C \in |[T]_{\mathcal{A}}|$に対し$[T]_{\mathcal{A}}(S(TC),C) = \mathcal{A}(TC,TC)$が成り立つことから、
同型射$1_{TC}\colon S(TC)\overset{\sim}{\to} C$が標準的に存在しており、これらが自然同型$1_{[T]_{\mathcal{A}}} \simeq S\circ T$を与える。
$1_{\mathcal{A}} = T \circ S$と併せて、インフレーション横断面はインフレーション忘却関手と（一般的な意味での）圏同値を成す。
□

まず$\Pi_{\mathcal{A}}$について。任意の$A \in |\mathcal{A}|$に対し、$(A,1_{FA},FA) \in \mathcal{C}$であるから、$A = \Pi_{\mathcal{A}}(A,1_{FA},FA)$より$\Pi_{\mathcal{A}}$は全射。
次に$\Pi_{\mathcal{B}}$について。任意の$B \in |\mathcal{B}|$をとったとする。仮定より$F$は本質的に全射であるから、ある$A \in |\mathcal{A}|$と同型射$\varepsilon_A \colon FA \overset{\sim}{\to} B$が存在して、$(A,\varepsilon_A,B) \in \mathcal{C}$。
$B = \Pi_{\mathcal{B}}(A,\varepsilon_A,B)$より、$\Pi_{\mathcal{B}}$も全射である。
□

まず、$\Theta$が関手であることを示す。$f\colon (A,\theta,B)\to (A',\theta',B'),f' \colon (A',\theta',B') \to (A'',\theta'',B'')$を任意に取るとき、
$$ \Theta(f' \circ f) = \theta'' \circ F(f'\circ f) \circ \theta^{-1} = \theta'' \circ Ff' \circ \theta'^{-1} \circ \theta' \circ Ff \circ \theta^{-1} = (\Theta f')\circ(\Theta f) $$
$$ \Theta 1_{(A,\theta,B)} = \Theta 1_A = \theta \circ F1_A \circ \theta^{-1} = \theta \circ \theta^{-1} = 1_B = 1_{(A,\theta,B)} $$
が成り立つことから、$\Theta$は関手の公理を満たす。なお恒等射に関しては、インフレーションの定義より$[\Pi_{\mathcal{A}}]_{\mathcal{A}}((A,\theta,B),(A,\theta,B)) = \mathcal{A}(A,A)$が成り立つので、$1_{(A,\theta,B)} = 1_A$であることに注意。
同様に、$[\Pi_{\mathcal{B}}]_{\mathcal{B}}((A,\theta,B),(A,\theta,B)) = \mathcal{B}(B,B)$より、$1_{(A,\theta,B)} = 1_B$が成り立っている。
次に$\Theta$が同型関手であることを示す。定義より、対象のクラス上では全単射であるから、あとは充満忠実であることを示せば良い。
任意に$f \colon (A,\theta,B)\to (A',\theta',B')$が与えられたとする。
インフレーションの定義より、$\mathcal{A}(A,A') = [\Pi_{\mathcal{A}}]_{\mathcal{A}}((A,\theta,B),(A',\theta',B'))$かつ$\mathcal{B}(B,B') = [\Pi_{\mathcal{B}}]_{\mathcal{B}}((A,\theta,B),(A',\theta',B'))$が成り立ち、また$F$の充満忠実性より、$\mathcal{A}(A,A') \simeq \mathcal{B}(FA,FA')$を$F$が与えているので、あとは$\mathcal{B}(FA,FA')\simeq \mathcal{B}(B,B')$が成り立つことを示せば良い。
$\Theta$の解剖
この同型を$\mathcal{B}(FA,FA') \to \mathcal{B}(B,B'),g \mapsto \theta' \circ g \circ \theta^{-1}$によって与えているのが$\Theta$の定義である。
実際、逆写像を$h \mapsto \theta'^{-1} \circ h \circ \theta$で与えられるので、全単射であることが確かめられる。
よって、$\Theta$は逆関手$\Theta^{-1}$を持ち、同型関手である。
□

任意の$A \in |\mathcal{A}|$に対し、$\Pi_{\mathcal{B}}(\Theta(S A)) = \Pi_{\mathcal{B}}(\Theta(A,1_{FA},FA)) = \Pi_{\mathcal{B}}(A,1_{FA},FA) = FA$より、対象のクラス上で$\Pi_{\mathcal{B}}\circ \Theta \circ S = F$。
次に任意の$f\colon A \to A' \in \mathcal{A}$に対し、$\Pi_{\mathcal{B}}(\Theta(Sf)) = \Pi_{\mathcal{B}}(\Theta f) = \Pi_{\mathcal{B}}(1_{FA}\circ Ff \circ 1_{FA}^{-1}) = Ff$であるから、射に関しても$\Pi_{\mathcal{B}}\circ \Theta \circ S = F$。
よって主張成立。
同値関手の分解
□

$F$を先ほどのように$F = \Pi_{\mathcal{B}} \circ \Theta \circ S$と分解する。$\Theta$は$\mathcal{A},\mathcal{B}$それぞれのインフレーションの間の同型関手であるから、主張成立。
□

次の図が成り立つことから分かる。
選択公理があれば双方向の関手が作れる
ただし$\Pi_{\mathcal A} \circ S = 1_{\mathcal A},\Pi_{\mathcal B} \circ S' = 1_{\mathcal B}$。このとき$F,G$が一般的な意味での圏同値を与えることを示すのは容易い。
□