東大数理院試過去問解答例(2014B09)

ここでは東大数理の修士課程の院試の2014B09の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2014B09

以下の問いに答えなさい。

正則関数$f(w)=e^{-w}w^{x-1}$の領域
$$ D_\varepsilon:=\left\{w\in\mathbb{C}\middle|\mathrm{Re}w>0,\mathrm{Im}w>0,\varepsilon<|w|<\frac{1}{\varepsilon}\right\} $$
の境界での積分を考えることで、任意の$x\in(0,1)$について
$$ \int_0^\infty t^{x-1}\sin tdt=\Gamma(x)\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) $$
$$ \int_0^\infty t^{x-1}\cos tdt=\Gamma(x)\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) $$
が成り立つことを示しなさい。
積分
$$ \int_0^\infty\frac{\sin t}{{t}^\frac{3}{2}}dt $$
を計算しなさい。ただし必要であれば$\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$であることは証明なしに用いて良い。

まず
$$ C_3=D_\varepsilon\cap\{w\in\mathbb{C}|\mathrm{Re}w=0\} $$
$$ C_1=D_\varepsilon\cap\{w\in\mathbb{C}|\mathrm{Im}w=0\} $$
$$ C_2=D_\varepsilon\cap\left\{w\in\mathbb{C}\middle||w|=\frac{1}{\varepsilon}\right\} $$
$$ C_4=D_\varepsilon\cap\left\{w\in\mathbb{C}\middle||w|={\varepsilon}\right\} $$
とおく。このとき$C=C_1+C_2+C_3+C_4$に反時計回りに向きを定める。
$$ \begin{split} \int_{C_1}e^{-w}w^{x-1}dw&=\int_\varepsilon^{\frac{1}{\varepsilon}}e^{-w}w^{x-1}dw\xrightarrow{\varepsilon\to0}\Gamma(x) \end{split} $$
$$ \begin{split} \int_{C_3}e^{-w}w^{x-1}dw&=-\int_\varepsilon^{\frac{1}{\varepsilon}}e^{-iz}(iz)^{x-1}idz\\ &=-e^{i\frac{\pi x}{2}}\int_\varepsilon^{\frac{1}{\varepsilon}}e^{-iz}z^{x-1}dz\\ &=-\left(\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right)\int_\varepsilon^{\frac{1}{\varepsilon}}z^{x-1}(\cos(z)-i\sin(z))dz \end{split} $$
$$ \begin{split} \int_{C_2}e^{-w}w^{x-1}dw&=\int_0^{{\frac{\pi}{2}}}e^{-\frac{1}{\varepsilon}e^{i\theta}}\left(\frac{1} {\varepsilon}e^{i\theta}\right)^{x-1}\frac{i}{\varepsilon}e^{i\theta}d\theta\\ &\leq\int_0^{{\frac{\pi}{2}}}e^{-\frac{1}{\varepsilon}}\left(\frac{1} {\varepsilon}\right)^{x}d\theta\\ &=\frac{\pi}{2 \varepsilon^x e^{\frac{1}{\varepsilon}}}\xrightarrow{\varepsilon\to0}0 \end{split} $$
$$ \begin{split} \int_{C_4}e^{-w}w^{x-1}dw&=-\int_0^{{\frac{\pi}{2}}}e^{-\varepsilon e^{i\theta}}\left(\varepsilon e^{i\theta}\right)^{x-1}{i}{\varepsilon}e^{i\theta}d\theta\\ &\leq\int_0^{{\frac{\pi}{2}}}e^{-\varepsilon} {\varepsilon}^{x}d\theta\\ &=\frac{\pi \varepsilon^x}{2 e^{\varepsilon}}\xrightarrow{\varepsilon\to0}0 \end{split} $$
である。ここで$f$は$D_\varepsilon$内に極を持たないからCauchyの積分定理により
$$ \left(\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)-i\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\right)\int_{\varepsilon}^{\frac{1}{\varepsilon}}e^{-z}z^{x-1}-\int_{\varepsilon}^{\frac{1}{\varepsilon}}z^{x-1}(\cos(z)-i\sin(z))dz\xrightarrow{\varepsilon\to0}0 $$
である。上記の左辺の極限をとり、その実部と虚部を考えれば
$$ \int_0^\infty t^{x-1}\cos tdt=\Gamma(x)\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) $$
$$ \begin{split} \int_0^\infty t^{x-1}\sin(t)dt&=\Gamma(x)\sin(\frac{\pi x}{2}) \end{split} $$
が従う。
まず$x\in(-1,0)$について$\Gamma$-関数の性質と部分積分と(1)より
$$ \begin{split} \int_0^\infty t^{x-1}\sin(t)&=-\frac{1}{x}\int_0^\infty t^{(x+1)-1}\cos(t)dt\\ &=-\frac{1}{x} \Gamma(x+1)\cos\left(\frac{\pi(x+1)}{2}\right)\\ &=\Gamma(x)\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) \end{split} $$
であるから、(1)で示した等式は$x\in(-1,0)$についても成り立つ。よってこれに$x=-\frac{1}{2}$を代入することで
$$ \int_0^\infty\frac{\sin t}{x^{\frac{3}{2}}}dt=-\frac{1}{\sqrt{2}}\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)={\sqrt{2}}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\color{red}\sqrt{2\pi} $$
であることがわかる。

投稿日：3月5日

更新日：3月5日

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投稿者

佐々木藍

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佐々木藍(Ai Sasaki)です。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。X(旧Twitter)→＠sasaki_aiiro

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